ln?n?1??n2?3n?2e?2e?【详解】
??nne??n?N?．
*（1）f?x??mxln?x?1??x?1，令x?0时，f?0??1， ∴函数f?x?恒过点?0,1?．
f'?x??mln?x?1??mx?1，∴f'?0??1． x?1∵函数f?x?在x?0处的切线方程为：y?1?x，即x?y?1?0． （2）令g?x??e??x?1?,x?0．g?0??0.
x则g'?x??e?1?0，
x∴x?0时，函数g?x?单调递增，因此g?x??g?0??0，因此ex?x?1． ①若f?x??mxln?x?1??x?1?x?1，则f?x??e，
x则mxln?x?1??0，可得：m?0． ∴m?0时，x?0时，f?x??e恒成立．
x②m?0时，x?0时，f?x??e．
x令F?x??f?x??e,?x?0?,F?0??f?0??1?0．
x由F?x??0，可得mxln?x?1??e?x?1，
xx?0时，化为0?0，恒成立，m?R．
ex?x?1． x?0时，化为：m?xln?x?1?ex?x?11?． 下面证明：
xln?x?1?2令h?x??2e?2x?2?xln?x?1?,h?0??0．
xh'?x??2ex?2?ln?x?1??x．h'?0??0． x?1h''?x??2ex?11??h''?0??0， 2x?1?x?1?∴h'?x??0．
∴函数h?x?在0,???上单调递增，∴h?x??h?0??0．
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?ex?x?111?成立，并且是其最小值． ∴
xln?x?1?22∴m?1． 2??1?2?综上可得：实数m的取值范围是???,?． （3）由（2）知：当m?1xx时，ln?x?1??x?1?e， 2222ex∴ln?x?1??2??，
xx1?1?令x???0,1?，∴ln?1???2?2n?2nen，
n?n?∴ln?1?n??lnn?2?1?n??2ne， 累加得：∴ln?1?n??2??2?3?211n??1?n????2e?2e??nne??nne，
?∴ln?n?1??n?3n?2e?2e?【点睛】
???n?N?．
*本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线的斜率、不等式的解法与性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
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