第12课时 一次函数的图象和性质 考点1 函数的有关概念 1．常量与变量

在某一变化过程中，始终保持________的量叫做常量，数值发生________的量叫做变量，如s＝vt，当v一定时，v是常量，s、t都是变量．

[注意] 常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是：在“某一变化过程中”，同一个量在不同的变化过程中可以是常量，也可以是变量，这要根据问题的条件来确定．

2．函数 (1)函数的概念

一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，我们称x是自变量，y是x的函数．

[注意] 函数是指某一变化过程中的两个变量之间的关系． (2)自变量的取值范围 常见函数的自变量取值范围：

①整式函数，其自变量取值范围是全体实数，如y＝x2－1；

1

②含有分式的函数，其自变量取值范围是使分母不为零的实数，如y＝中x≠1；

x－1③含有二次根式的函数，其自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数，如y＝2－x中x≤2；

④与实际问题有关的函数，其自变量的取值范围是使实际问题有意义的实数，如三角形中，要考虑任意两条边之和大于第三边等．

(3)函数值

对于一个函数，如果当自变量x＝a时，因变量y＝b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值．

3．函数的表示

通常有三种表示函数的方法：

(1)________法；(2)________法；(3)________法．

[注意] 表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法．

4．函数的图象

(1)一般地，对于一个函数，如果自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

(2)描点法画函数图象的一般步骤： ①________；②________；③________.

(3)正确理解函数图象表示的意义．

如图12－1(a)所示：表示速度v与时间t的函数图象中，①代表物体从0开始加速运动，②代表物体匀速运动，③代表物体减速运动到停止；如图12－1(b)所示：表示路程s与时间t的函数图象中，①代表物体匀速运动，②代表物体停止，③代表物体反向运动直至回到原地．

图12－1

考点2 一次函数与正比例函数的概念

一般地，如果y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数，特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b变为y＝kx(k为常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数．

考点3 一次函数的图象和性质

b－，0?1．一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)是经过点(0，b)和点??k?的一条______．正比例函数y＝kx(k≠0)是经过点(0,0)和点(1，k)的一条直线．

[注意] 因为一次函数的图象是一条直线，所以由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可．

2．一次函数的性质

函数 系数取值 大致图象 经过的象限 函数性质 k>0 y＝kx (k≠0) k<0 k>0 b>0 y＝kx ＋b (k≠0) k>0 b<0 k<0 b>0 ______ y随x增大而增大 ______ y随x增大而减小 ______ ______ y随x增大而增大 ______ y随x增大而减小 k<0 b<0

______ 注意] (1)正比函数性质只与k值有关，与b的取值无关．图象过一、三象限?k>0；图象过二、四象限?k<0.

(2)一次函数y＝kx＋b可由正比例函数y＝kx平移得到，b>0，上移b个单位；b<0，下移|b|个单位．

3．两条直线的位置关系

若直线l1和l2的解析式为y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2，则它们的位置关系可由其系数确定： (1)k1≠k2?l1和l2相交； (2)k1＝k2，b1≠b2?l1与l2平行．

4．两直线的交点坐标及一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积 (1)一次函数与x轴交点坐标： 设y＝0，求出对应的x值． (2)一次函数与y轴交点坐标： 设x＝0，求出对应的y值．

(3)一次函数与其他函数图象的交点坐标，解由两个函数解析式组成的二元一次方程组，方程的解即两函数的交点坐标．

b

－，0?，与y轴交点为(0，b)，且这两个交点与坐标原(4)直线y＝kx＋b与x轴交点为??k?1?b?b2

点构成的三角形面积为S＝?－k?×|b|＝.

22|k|

考点4 由待定系数法求一次函数的解析式

因在一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)中有两个未知数k和b，所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点坐标P1(a1，b1)，P2(a2，b2)代入一次函数解析式得

??b1＝a1k＋b，?求出k、b的值即可，这种方法叫做____________________． ?b2＝a2k＋b，?

考点5 一次函数与二元一次方程(组)，一元一次不等式(组)

一次函数的值为0时，相应的自变量的值为方程(组)的根，一次函数值大于(或者小于)0，相应的自变量的值为不等式的解． 一次函数的应用

考点1 用一次函数解决实际问题 考点2 一元一次方程与一次函数

第14课时 反比例函数 考点1 反比例函数的概念

形如________(k≠0，k为常数)的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数．

k－

[注意] (1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0；(4)反比例函数y＝的变式：y＝kx1或xy

x＝k(k≠0)．

考点2 反比例函数的图象与性质

k

1．反比例函数y＝(k≠0)的图象是________；它是中心对称图形，对称中心是________；

x它

也

是

轴

对

称

图

形

，

对

称

轴

是

___________________________________________________________．

k

2．反比例函数y＝(k≠0)的图象和性质

x

函数 图象 所在象限 性质 k>0 ky＝ x(k≠0) 一、三象限 在每个象限内，y随x增大而减小 (x、y同号) k<0 二、四象限 在每个象限内，y随x增大而增大 (x、y异号) k3．反比例函数y＝(k≠0)中的比例系数k的几何意义．如图14－1，过双曲线上任一点

xP(x，y)作x轴、y轴的垂线

PM、PN，所得的矩形PMON的面积 S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|.因为xy＝k， 所以S＝|k|.

[注意] 反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数，同时要注意它的演变图形．

考点3 反比例函数的应用

1．利用待定系数法确定反比例函数

k

根据两变量之间的反比例关系，设y＝，由已知条件求出k的值，从而确定函数关系

x式．

[注意] 因为反比例函数只有一个待定的k，所以只需要一个条件即可确定反比例函数，这个条件可以是图象上的一个点的坐标，也可以是x、y的一对对应值．

k

2．直线y＝kx＋b(k≠0)和双曲线y＝(k≠0)的交点坐标，就是解联立这两个函数解析式组

x成的方程组．