jIm[z]

19151051/19|H(ej?)|0.9-0.90?Re[z]1?/?0123456（a） （b）

题4解图

n0?a?1，0?b?1，5.已知网络的输入和单位响应分别为x(n)?anu(n)，h(n)?bu(n)，

试求

（1） 用卷积法求网络输出y(n)。 （2） 用z变换法求网络输出y(n)。 解：

（1）用卷积法求网络输出y(n)

?y(n)?x(n)?h(n)??bm???mu(m)an?mu(n?m)

n =?bman?m

m?0 n?0，

nnm y(n)??bm?0an?m?an?bm?0ma?m?an1?a?n?1bn?11?ab?1?an?1?bn?1a?b

n?0，

y(n)=0

综上得到 y(n)?an?1?bn?1a?bu(n)

（2）用z变换法求网络输出y(n)

X(z)?11?az?1，H(z)?11?bz?1

Y(z)?X(z)H(z)?1(1?az?1)(1?bz?1)

226

利用部分分式法展开得

aY(z)?1(1?az?1b)(1?bz?1)?a?bb?a ??1?11?az1?bz由题意知，该系统为因果系统，所以系统在n?0之后才有输出，查教材表4-1得

y(n)?an?1?bn?1a?bu(n)

6.设计一个梳状滤波器，用于滤出心电图信号中的50Hz及其谐波100Hz的干扰，设采样频

率为200Hz。

解：

梳状滤波器系统函数的一般形式为：

H(z)?2?N1?z1?az?N?N

其零点为： zk?ejk，k?0,1,?,N?1

2?Nk1极点为： pk?aNe由题意知，要滤出的谐波频率为：

j，k?0,1,?,N?1

fh?50mHz，m?1,2,?

相应的数字频率点为：

?m? ?h?2?fhT?1001200??2m

根据梳状滤波器原理，?h应为H(z)的零点频率，所以

?h??2m?4km2?Nk

N?

当m?1时，N?4k；当m?2时，N?2k。要同时滤出50Hz及其谐波100Hz的干扰，那么N最小取4，所以所设计梳状滤波器的系统函数为：

H(z)?11?z1?az?4?4

其中a的值决定极点的模值|pk|?aN，a值越接近1，极点pk越靠近单位圆，梳状滤波器通带越平坦，过渡带越窄。题6解图（a）、（b）、（c）分别给出了a=0.5、a=0.8和a=0.95时的幅频特性。

227

题6解图

7.确定下面系统的零点，并指出系统是最小相位系统、最大相位系统还是混合相位系统？ （1）H1(z)?6?z?1?z?2 （2） H2(z)?1?z?1?6z?2 （3）H3(z)?1?解：

（1） 零点z0??1252z?1?32z?2 （4）H4(z)?1?53z?1?23z?2

，z1?13，全部零点在单位圆内，所以为最小相位系统；

（2） 零点z0??2，z1?3，全部零点在单位圆外，所以为最大相位系统； （3） 零点z0??相位系统；

（4） 零点z0??2，z1?相位系统。

8.一个因果线性时不变系统的系统函数为

H(z)?(1?2z?212，z1?3，一个零点在单位圆内，一个零点在单位圆外，所以为混合

13，一个零点在单位圆内，一个零点在单位圆外，所以为混合

)(1?0.4z?1?1)1?0.85z

求H(z)的形如

H(z)=Hmin(z)?Hap(z)

的因式分解。

228

解： 已知H(z)?(1?2z?2)(1?0.4z?1?1)1?0.85z，其极点p?0.85，零点z0??0.4，z1?2，z2??2，

z2??2，所以p?0.85，z0??0.4可以构成最小相位系统，z1?2只

能作为全通系统的零点，所以全通系统的系统函数为：

H?2z?2ap(z)?1

1?1?22z为了满足H(z)=Hmin(z)?Hap(z)，所以

(z)?(1?0.4z?1H)(1?0.5z?2)min1?0.85z?1

229