因ca=ac>0?(c+di)R(a+bi), 所以R在C*上是对称的。

(3)设(a+bi)R(c+di) ，(c+di)R(u+vi)，则有ac>0?cu>0 若c>0，则a>0?u>0? au>0 若c<0，则a<0?u<0? au>0

所以(a+bi)R(u+vi)，即R在C*上是传递的。

关系R的等价类，就是复数平面上第一、四象限上的点，或第二、三象限上的点，因为在这两种情况下，任意两个点(a,b)，(c,d)，其横坐标乘积ac>0。

3-10.9 设Π和Π?是非空集合A上的划分，并设R和R?分别为由Π和Π?诱导的等价关系，那么Π?细分Π的充要条件是R? ? R。 证明：若Π?细分Π。由假设aR?b，则在Π?中有某个块S?，使得a,b∈S?，因Π?细分Π，故在Π中，必有某个块S，使S?? S，即a,b∈S，于是有aRb,即R? ? R。

反之，若R? ? R，令S?为H?的一个分块，且a∈S?，则S?=[a]R?={x|xR?a} 但对每一个x，若xR?a，因R? ? R，故xRa，因此{x|xR?a} ?{x|xRa}即[a]R? ?[a]R 设S=[a]R,则S?? S 这就证明了Π?细分Π。

3-10.10 设Rj是表示I上的模j等价关系，Rk是表示I上的模k等价关系，证明I/Rk细分I/Rj当且仅当k是j的整数倍。 证明：由题设Rj={|x≡y(modj)}

Rk={|x≡y(modk)}

故∈Rj?x-y=c?j (对某个c∈I) ∈Rk?x-y=d?k (对某个d∈I) a)假设I/Rk细分I/Rj，则Rk ? Rj 因此∈Rk?∈Rj 故k-0=1?k=c?j (对某个c∈I) 于是k是j的整数倍。

b)若对于某个r∈I，有k=rj则： ∈Rk?x-y=ck (对某个c∈I) ? x-y=crj (对某个c,r∈I) ?∈Rj

因此，Rk ? Rj，于是I/Rk细分I/Rj