1??2,?1??2）。

例3．9：设X和Y是两个相互独立的随机变量，且X～U（0，1），Y～e（1），求Z=X+Y的分布密度函数fz(z)。

③混合型

例3．10：设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为

22

?1?X~???0.3??, ?0.7??2而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u)。

第二节 练习题

1、二维随机变量联合分布函数

例3．11：如下四个二元函数，哪个不能作为二维随机变量（X，Y）的分布函数？

?(1?e?x)(1?e?y),?（A）F1(x,y)???0,?0?x???,0?y???,

其他.（B）F2(x,y)?y?1??x????arctan?arctan??. ??22223?????（C）

?1,?F3(x,y)???0,x?2y?1,

x?2y?1.0?x???,0?y???,?1?2?x?2?y?2?x?y,?（D）F4(x,y)???0,?

其他. [ ]

例3．12：设某班车起点站上车人数X服从参数为?(??0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0

（2） 二维随机向量（X，Y）的概率分布。

例3．13：一射手进行射击，击中目标的概率为p（0

22

例3．14：设（X,Y）只在曲线y=x与x=y所围成的区域D中不为零且服从均匀分布，试求： （1）（X,Y）的联合密度；（2）边缘密度?X(x),?Y(y)；（3）P（Y?X） 例3．15：设随机变量（X，Y）的概率密度为

?1,??(x,y)???0,|y|?x,0?x?1,

其他.试求： （1）条件概率密度?(x|y),?(y|x)；

（2）P(X?12Y?0).

例3．16：设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，在X?x(0?x?1)的条件下，随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布，求

(Ⅰ) 随机变量X和Y的联合概率密度； (Ⅱ) Y的概率密度； (Ⅲ) 概率P{X?Y?1}．

2、随机变量的独立性

例3．17：设（X，Y）的联合分布密度为 ?C(x?y),?f(x,y)???0,?0?y?x?1,

其他.（1） 求C；

（2） 求X，Y的边缘分布； （3） 讨论X与Y的独立性； （4） 计算P（X+Y?1）。

?e?y?例3．18：设（X，Y）的密度函数为?(x,y)???0,?x?0,y?x,

其他.试求： （1）X，Y的边缘密度函数，并判别其独立性； （2）（X，Y）的条件分布密度； （3）P（X>2|Y<4）。

3、简单函数的分布

例3．19：设两个独立的随机变量X与Y的分布律为

X13Y24 ， Pi0.30.7 Pj0.60.4

求随机变量（1）Z=X+Y；（2）Z=XY；（3）Z=max（X，Y）的分布律。

例3．20：设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从N（0，1）和N（1，1），求P（X+Y?1），（或选择题为） （A）P(X?Y?0)?（C）P(X?Y?0)?1212; ;

（B）P(X?Y?1)?（D）P(X?Y?1)?1212; ;

例3．21：设随机变量（X，Y）的分布密度为

?3x??(x,y)???0,?0?x?1,0?y?x,

其他.试求 Z=X-Y的分布密度。

XY例3．22：设X与Y相互独立，且都服从（0,a）上的均匀分布，试求Z?

的分布密度与分布函数。

第四章 随机变量的数字特征

第一节 基本概念

1、一维随机变量的数字特征

（1）一维随机变量及其函数的期望

①设X是离散型随机变量，其分布律为P(X?xk)＝pk，k=1,2,?,n，

nE(X)??xk?1kpk

期望就是平均值。

例4．1：100个考生，100分10人，90分20人，80分40人，70分20人，60分10人，求期望。

例4．2：设某长生产的某种产品不合格率为10％，假设生产一件不合格品要亏损2元；每生产一件合格品获利10元。求每件产品的平均利润。

②设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，

??E(X)??xf(x)dx

??例4．3：设在某一规定的时间间隔里，某电气设备用于最大负荷的时间X（以分钟计）是一个随机变量，其概率密度为

x??(1500)2???3000?x?2f(x)??(1500)??0????0?x?15001500?x?3000

其他求EX。

③数学期望的性质 （1） E(C)=C

（2） E(CX)=CE(X)

nn（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，E(?CiXi)?i?1?Ci?1iE(Xi)

（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 （5） Y=g(X)

n离散：E(Y)??g(xi?1k)pk

?? 连续：E(X)??xf(x)dx

????E(Y)??g(x)f(x)dx

??例4．4：将一均匀骰子独立地抛掷3次，求出现的点数之和的数学期望。 例4．5：设离散型随机变量X的分布律为

X P

试求：（1）EX2