中考数学专题1 动态几何问题

第一部分 真题精讲

【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，BC?10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．

ADNBMC

（1）当MN∥AB时，求t的值；

（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 解：（1）由题意知，当M、N运动到t秒时，如图①，过D作DE∥AB交BC于E点，则四边形ABED是平行四边形．

ADNBEMC

∵AB∥DE，AB∥MN．

∴DE∥MN． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） MCNC∴． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ?ECCD10?2tt50∴ ． ?．解得t?10?3517【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】

（2）分三种情况讨论：

① 当MN?NC时，如图②作NF?BC交BC于F，则有MC?2FC即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）

DF4∵sin?C??，

CD53∴cos?C?，

5 1

∴10?2t?2?解得t?3t， 525． 8ADNBMFC

② 当MN?MC时，如图③，过M作MH?CD于H． 则CN?2CH，

3∴t?2?10?2t??．

560∴t?．

17ADNH

③ 当MC?CN时， 则10?2t?t． 10t?．

3256010综上所述，当t?、或时，△MNC为等腰三角形．

8317

【例2】在△ABC中，∠ACB=45o．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？

（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝42，BC?3，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）

BMC

【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。 【解析】：

2

（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；

证明如下：?AB=AC ，∠ACB=45o，∴∠ABC=45o． 由正方形ADEF得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90o， ∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即 CF⊥BD． 【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。 （2）CF⊥BD．(1)中结论成立．

A 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG F可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o． 即CF⊥BD CBGDE【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线

段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP. （3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ①点D在线段BC上运动时，

∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x，

CPx易证△AQD∽△DCP，∴CP?CD ， ∴?，

4?x4DQAQx2?CP???x．

4②点D在线段BC延长线上运动时，

∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x．

过A作AG?AC交CB延长线于点G，则?AGD??ACF．? CF⊥BD，

CPx?△AQD∽△DCP，∴CP?CD ， ∴?，

4?x4DQAQx2?CP??x．

4

【例3】已知如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?2，BC?4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ?60?保持不变．设PC?x，MQ?y，求y与x的

函数关系式；

（3）在（2）中，当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

M A D

60Q B C

P

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例

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关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】

（1）证明：∵△MBC是等边三角形 ∴MB?MC，∠MBC?∠MCB?60? ∵M是AD中点 ∴AM?MD ∵AD∥BC

∴∠AMB?∠MBC?60?， ∠DMC?∠MCB?60? ∴△AMB≌△DMC ∴AB?DC

∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）解：在等边△MBC中，MB?MC?BC?4， ∠MBC?∠MCB?60?，∠MPQ?60?

∴∠BMP?∠BPM?∠BPM?∠QPC?120? (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩) ∴∠BMP?∠QPC ∴△BMP∽△CQP ∴

PCCQ ?BMBP∵PC?x，MQ?y ∴BP?4?x，QC?4?y

∴

x4?y12 ∴y?x?x?4?44?x4 (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)

【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看 出P是中点，于是问题轻松求解。（3）解： △PQC为直角三角形 ∵y?12?x?2??3 4∴当y取最小值时，x?PC?2

∴P是BC的中点，MP?BC，而∠MPQ?60?， ∴∠CPQ?30?， ∴∠PQC?90?

以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定

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