时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.

【例4】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF?BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；

（2）将图1中?BEF绕B点逆时针旋转45?，如图2所示，取DF中点G，连接EG，． CG，

你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）将图1中?BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？

（不要求证明）

ADGEB图1CEFB图3CAGEFDADFB图2 C

【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45°到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将△BEF旋转45°之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。 （1）CG?EG

（2）（1）中结论没有发生变化，即CG?EG．

证明：连接AG，过G点作MN?AD于M，与EF的延长线交于N点． 在?DAG与?DCG中， ∵AD?CD，?ADG??CDG，DG?DG，

∴?DAG≌?DCG． ∴AG?CG．

在?DMG与?FNG中， ∵?DGM??FGN，FG?DG，?MDG??NFG， ∴?DMG≌?FNG． ∴MG?NG

在矩形AENM中，AM?EN

在Rt?AMG与Rt?ENG中， ∵AM?EN，MG?NG，

∴?AMG≌?ENG． ∴AG?EG． ∴EG?CG

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AMGDEFNCB图2

【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果△BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在△BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H，从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。 （3）（1）中的结论仍然成立．

AGEFDB图3C

【例5】已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′ 处．

BE=1 时，CF=______cm， CEBE（2）当=2 时，求sin∠DAB′ 的值；

CEBE（3）当= x 时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关

CE（1）当

系式，（只要写出结论，不要解题过程）．

D

C

A

B

【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1，第二问比例为2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例

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关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。

【解析】

（1）CF= 6 cm； （延长之后一眼看出，EAZY） （2）① 如图1，当点E在BC上时，延长AB′交DC于点M， ∵ AB∥CF，∴ △ABE∽△FCE，∴ ∵

BEAB． ?CEFCBE=2， ∴ CF=3． CE∵ AB∥CF，∴∠BAE=∠F．

又∠BAE=∠B′ AE， ∴ ∠B′ AE=∠F．∴ MA=MF． 设MA=MF=k，则MC=k -3，DM=9-k． 在Rt△ADM中，由勾股定理得： k=(9-k)+6， 解得 k=MA=∴ sin∠DAB′=

2

2

2

图1

135． ∴ DM=．（设元求解是这类题型中比较重要的方法） 22DM5?； AM13②如图2，当点E在BC延长线上时，延长AD交B′ E于点N， 同①可得NA=NE．

设NA=NE=m，则B′ N=12-m． 在Rt△AB′ N中，由勾股定理，得 m=(12-m)+6， 解得 m=AN= ∴ sin∠DAB′=

2

2

2

159． ∴ B′ N=． 22B?N3?． AN518x（3）①当点E在BC上时，y=；

x?1 （所求△A B′ E的面积即为△ABE的面积，再由相似表示

②当点E在BC延长线上时，y=

图2

出边长）

18x?18． x

【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下：

第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。

第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。

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第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。

第二部分 发散思考

【思考1】已知：如图（1），射线AM//射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动

（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持DE?EC，且AD?DE?AB?a． （1）求证：?ADE∽?BEC； （2）如图（2），当点E为AB边的中点时，求证：AD?BC?CD；

（3）设AE?m，请探究：?BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示?BEC的周

长；若无关，请说明理由．

第25题（1） 第25题（2）

【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。

【思考2】 △ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP=BA，若0?＜∠PBC＜180°，

且∠PBC平分线上的一点D满足DB=DA，

（1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD= °； （2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；

（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形．

【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有∠PBC，以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，

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