AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1，h2，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形． （1）求蝶形面积S的最大值；

（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h1的取值范围．

【分析】（1）由题意，得四边形ABCD是菱形，根据EF∥BD，求证△ABD∽△AEF，然后利用其对边成比例求得EF，然后利用三角形面积公式即可求得蝶形面积S的最大值．

（2）根据题意，得OE=OM．作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，可知RE=RM．利用勾股定理求得BR，由ML∥EK∥OB，利用平行线分线段求得

即可知h1的取值范围；

②当点E，M重合时，则h1=h2，此时可知h1的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形． ∵EF∥BD， ∴△ABD∽△AEF， ∴∴所以当

，即

时，．

（2）根据题意，得OE=OM．

如图，作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，

①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，易知RE=RM． ∵

，

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∴∴

，

由ML∥EK∥OB， 得即∴

∴，

，此时h1的取值范围为

且，

②当点E，M重合时，则h1=h2，此时h1的取值范围为0＜h1＜5．

【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，轴对称的性质，中心对称，平行线分线段成比例等知识点，综合性强，有一定的拔高难度，属于难题．

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参与本试卷答题和审题的老师有：dbz1018；zcx；HJJ；冯延鹏；zjx111；zhangCF；73zzx；wangjc3；马兴田；lantin；bjy；nhx600；HLing；lanchong；gsls；fxx（排名不分先后） 菁优网

2017年3月6日

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