第一部分 高考层级专题突破 层级二 7个能力专题 师生共研

专题五 概率与统计 第三讲 随机变量及其分布列 课时跟踪检测(十五) 随机变量及其分布列

A卷

1．(2019·广东省汕头市联考)在某市高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图所示．

(1)求这4 000名考生的竞赛平均成绩－x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可认为考生竞赛成绩Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别－

取考生的平均成绩x和考生成绩的方差s2，那么该区4 000名考生成绩超过84.81分(含84.81分)的人数估计有多少？

(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩低于84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)(精确到0.001)．

附：①s2＝204.75，204.75＝14.31；

②Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

中点值 概率 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.1 ∴－x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，

∴4 000名考生的竞赛平均成绩－x为70.5分．

(2)依题意，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝－x＝70.5，σ2＝s2＝204.75，σ＝14.31，

∴Z服从正态分布N(μ，σ2)＝N(70.5,14.312)，而P(μ－σ

∴P(Z≥84.81)＝

1－0.682 7

＝0.158 65. 2

∴竞赛成绩超过84.81分(含84.81分)的人数估计为0.158 65×4 000＝634.6≈635.

(3)全市竞赛考生成绩低于84.81分的概率为1－0.158 65＝0.841 35. 而ξ～B(4,0.841 35)，

4

∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C44×0.841 35＝1－0.501＝0.499.

2．(2019·洛阳模拟)甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)

的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：

甲公司送餐员送餐单数频数表

送餐单数 天数 38 10 39 15 40 10 41 10 42 5 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 天数 38 5 39 10 40 10 41 20 42 5 (1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率；

(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：

①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)； ②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．

解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M， C32325

则P(M)＝C3＝196.

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(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a， 当a＝38时，X＝38×6＝228， 当a＝39时．X＝39×6＝234， 当a＝40时，X＝40×6＝240， 当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，

当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254.

所以X的所有可能取值为228,234,240,247,254. 故X的分布列为

X P 228 110 234 15 240 15 247 25 254 110 11121所以E(X)＝228×10＋234×5＋240×5＋247×5＋254×10＝241.8. ②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为 38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7. 所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7＝238.8(元)． 由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元． 因为238.8<241.8，所以推荐小王去乙公司应聘．

B卷

1．第四届世界互联网大会在浙江乌镇隆重召开，人工智能技术深受全世界人民的关注，不同年龄段的人群关注人工智能技术应用与发展的侧重点有明显的不同，某中等发达城市的市场咨询与投资民调机构在该市对市民关注人工智能技术应用与发展的侧重方向进行调查，随机抽取1 000名市民，将他们的年龄分成6段：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．