（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值. 18．（12分）

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.

（1）求P（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率. 19．（12分）

已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，4an?1?3an?bn?4 ，4bn?1?3bn?an?4. （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式. 20．（12分）

已知函数f?x??lnx?x?1x?1.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y?e的切线. 21．（12分）

x1已知点A(?2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为?.记M的轨迹为曲线C.

2（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.

5

（i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，O为极点，点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:??4sin?上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P. （1）当?0=

?

时，求?0及l的极坐标方程； 3

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知f(x)?|x?a|x?|x?2|(x?a). （1）当a?1时，求不等式f(x)?0的解集； （2）若x?(??,1]时，f(x)?0，求a的取值范围.

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学·参考答案

1．A 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C

7．B 8．D 9．A 10．B

11．A 12．B 13．0.98 15．63

14．–3 16．26；2?1

17．解：（1）由已知得，B1C1?平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，

故B1C1?BE．

又BE?EC1，所以BE?平面EB1C1．

（2）由（1）知?BEB1?90?．由题设知Rt△ABE?Rt△A1B1E，所以?AEB?45?， 故AE?AB，AA1?2AB．

uuuruuur以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

6

uuuuruuur则C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），E（1，0，1），CE?(1,?1,1)，CC1?(0,0,2)．

设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则

??CB?n?0,?x?0,即? r?uuux?y?z?0,??CE?n?0,?所以可取n=(0,?1,?1).

设平面ECC1的法向量为m=（x，y，z），则

??CC1?m?0,?2z?0,即? r?uuux?y?z?0.???CE?m?0,所以可取m=（1，1，0）． 于是cos?n,m??n?m1??．

|n||m|23． 2所以，二面角B?EC?C1的正弦值为

18．解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙

得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．

（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为

[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1． 19．解：（1）由题设得4(an?1?bn?1)?2(an?bn)，即an?1?bn?1?

1(an?bn)． 27

又因为a11+b1=l，所以?an?bn?是首项为1，公比为2的等比数列． 由题设得4(an?1?bn?1)?4(an?bn)?8， 即an?1?bn?1?an?bn?2．

又因为a1–b1=l，所以?an?bn?是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，a1n?bn?2n?1，an?bn?2n?1． 所以an?12[(a(a11n?bn)?n?bn)]?2n?n?2， b111n?2[(an?bn)?(an?bn)]?2n?n?2．

20．解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．

因为f（e）=1?e?1e2?1e2e?1?0，f(e2)?2??3e2?1?e2?1?0， 所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0． 又0?1x?1，f(1)??lnxx?1??f(x1)?0， 1x1?11x1?1故f（x）在（0，1）有唯一零点

1x． 1综上，f（x）有且仅有两个零点．

（2）因为1x?e?lnx0，故点B（–lnx1x0，）在曲线y=e上． 0x0由题设知f(x0)?0，即lnx0?10?xx?1， 01?lnx1x0?10?故直线AB的斜率k?x0?lnx?x0x0?1x?1．

0?x0?0?1?xx0x00?1

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