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小学数学四年级“图形等式推算与代数模式建构”的
实验研究
任敏龙
（杭州市上城区教育学院，浙江 杭州 31006）
摘要：“图形等式推算与代数模式建构”其本质是解用图形表示 未知数的方程和列方程解决相应的应用问题。实验试图为小学数 学中加强代数教学探索新路，结果表明：具有在四年级以致更低 年级进行“图形等式推算与代数模式建构”教学的现实可行性， 认为适当的学习和训练能有效促进学生代数思维能力的早期发展。 关键词：小学数学；图形等式推算；代数模式建构；方程
一、引言
“数与代数”是《数学课程标准》中的一个独立的内容领域【1】，是数学课程的重要组成部分，但小学数学中代数教学却非常薄弱，通常在五六年级安排简单的代数式与方程、正反比例教学，内容少、起步迟是不争的事实。为探索小学数学中加强代数教学的途径与方法，我们开展了本课题的实验研究。
“图形等式推算与代数模式建构”其本质是解用图形表示未知数的方程和列方程解决相应的应用问题。在学习的早期阶段，用图形表示数是比用字母表示数更易为学生接受的形式，如在一年级10以内加减法教学中，用■覆盖3＋4＝7中的一个加数，能够比较容易地从“■盖住的数是几？”过渡到“■表示的数是几？”，有利于学生理解用图形表示未知数的方法，并在后续学习中利用图形等式解决问题。这就为代数思想的早期渗透提供了机会，有利于代数思维与算术思维的相互促进。
二、实验设计
（一）实验假设
1．通过教学内容的合理设计和教学策略的有效运用，城镇学校的大多数（80％左右）四下年级学生能掌握“图形等式推算与代数模式建构”的基本思想方法，并解决实验设定问题，发展代数思维能力。
2．小学生在数学学习中，逐步完成从算术思维向代数思维的过渡是数学认知发展的重要标志，学生代数知识的学习“主要跟教材的编排顺序和方法有关，而不是与年龄有关”【2】。“图形等式推算与代数模式建构”是培养代数思维能力的有效途径，有利于促进学生的思维水平从具体运算到形式运算的跨越。
3．学生心理结构中某些基本代数模式的建立，有利于学生更好地分析和把握应用问题数量关系结构，提高学生解决应用问题的能力。 （二）实验样本
杭州市上城区21所小学所有四年级学生2514人，上虞市实验小学615人，金华师范附小91人，嵊州市逸夫小学152人，杭州市下城区长寿桥小学117人，共计3685人。选取各相应学校五年级学生3478人作为对照组.各年级均为使用《新数学读本》实验教材的学生。
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（三）研究内容
实验所指的代数模式，主要是两积之和的模式与两积或总量相等的模式。 两积之和模式
（1）ax+bc=f （2）a×(n+x)=f （3）a×(n+x)= bx （4）ax+by=f （5）ax+by=f nx=my x+y=n 两积或总量相等的模式
（6）ax=by （7）ax+n=bx-m
x-y=n
实验的教学内容分图形等式推算和利用图形等式解决应用问题两部分，如：“52×(4+●)= 60×●” 为代数模式（3）的图形等式，属“一图一式”问题，相应的应用问题为“甲、乙两人从A地出发向B地而行，甲的速度是52米／分，甲走4分钟后乙出发，乙的速度是60米／分，乙多少分钟可以追上甲？”。先教学图形等式推算，再教学相应的应用问题。
（四）研究工具
1．前测试卷。2．后测试卷。3．实验后教师问卷。4．实验后学生问卷。 （五）研究的过程与控制
全部内容分14课时教学。课题组提供教材、教学设计、练习与应用三种教学材料。要求实验教师按规定用14课时的时间完成规定的实验教学任务，除对学生的必要的个别辅导外不得增加教学时间，学生作业都在学校中完成，不留回家作业。
研究分三个阶段：实验准备阶段；先行实验与实验教师的全员培训阶段；全面实验阶段。图形等式推算的重点在于应用推算规则解决图形等式推算问题，难点在于探索推算规则。解决应用问题的难点在于把问题的数量关系结构表征为图形等式。为此，在培训中，我们强调了三大教学策略：
一是模式直观策略【3】。实验所谓的模式直观是指用线段图、面积图直观呈现一类问题的数量关系结构——代数模式。在图形等式推算的学习中，教师用模式直观策略呈现教材，便于学生方便地列出图形等式，由于图形等式推算的推算规则是基于运算的各部分关系而不是等式性质，因此，模式直观有利于学生更好地理解运算各部分之间的关系，为学生探索、解释图形等式的推算规则提供了有力的支撑。在应用问题解决中，应用模式直观策略分析数量关系结构，有利于学生发现问题的代数模式，列出图形等式解决问题。
二是多元表征策略。图形等式本质上是方程。正如“路程、时间、速度”之间的关系可以表示成三种形式，用方程表征一个问题的数量关系结构必然存在多种形式，这些形式之间必然存在某种相互转化的规则，教学中可以把表征同一问题数量关系结构的多个图形等式，按难易程度确定解决的先后顺序，分析化难为易的途径和方法，从而发现推算所需要的代数变换规则。这不仅有利于学生拾级而上、降低学习难度，也有利于学生感悟方法、体会数学内在的和谐与统一。
三是逐次逼近策略：通过确立解决问题的目标状态，采用逐次逼近的方法解决问题是重要的数学思想方法。解决图形等式问题的最终目标是得到“图形＝？”的结果，通过当下状态与目标状态的比较，让学生认识到通过转化逐次逼近目标并最终得出结果的观念性认识，这不仅是数学思想方法教学的需要，也是帮助儿童建立他所能理解和建构的数学哲学之所必需。如在一图一式的推算中，通过比较让学生认识到两边有图形需要转化为一边有图形，一边有两处图形要合
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并成一处，??，把两图两式问题转化为一图一式的算问题，等等。
三、结果分析与讨论
（一）前测
实验前测主要是为了通过比较评估四年级学生的学习起点。试题编制以五年级 “代数式与方程”单元学习内容（五年级学生已经学过）为基本框架，试题含图形等式推算题三题，分别为ax±bc＝d、ax±bx＝c和模式（4）的题，应用问题七题，其中第4、6题为模式（1）的题、第5题为求两商差问题、第7题为模式（4）的题，第8、9题为比较复杂的反比例问题，第10题为比较复杂的正比例问题，其中第8、10题为典型题。在试卷中植入模式（4）的图形等式推算和应用问题，是想了解不同知识经验背景的学生群体在解决新问题时的差异。
表1 前测各题通过率
通过率 四年级 （%） 五年级
2x
通过率 四年级 （%） 五年级
2x
第1题 87.5 90.5
**
21.5第6题 94.4 95.7 6.33
第2题 82.1 88.1
**
49.3第7题 52.5 61.6
**
60.5
第3题 64.6 74.7
**
85.7第8题 88.3 91.7
**
22.9
第4题 89.1 90.2 2.03 第9题 75.7 86.2
**
127.3
第5题 86.4 88.4 6.62 第10题 80.7 86.6
**
44.9
注：表中“**”表示有极其显著差异。
从表1来看，四下年级学生各题通过率都低于五下年级，除比较简单的应用问题（如第4、5、6题）外，其余各题都存在极其显著差异，但通过率之差都不超过11%，仍远低于我们的预想。另外，除第3、7题外，四下年级学生各题的通过率基本上都达到或超过80%，说明他们已经具备了较强的解决一图一式图形等式推算及其应用问题的能力，解决两图两式问题也有了一定的基础，可以想见，学生可能在更早时候就已经具备了学习一图一式推算问题的基础。四五年级学生在解决第3、7、9题时通过率有10%左右的相差量，这可能与五年级学生学习了“代数式与方程”单元、受到了更好的代数思维训练有关。
（二）后测
试题依次为模式（3）～（7）的图形等式推算（第1～5题）和相应的应用问题（第6～10题）。
表2 后测各题通过率
通过率 四年级 （%） 五年级
2x
通过率 四年级 （%） 五年级
2x
第1题 84.2 52.0
**
773.1第6题 67.5 50.5
**
343.5
第2题 78.3 59.9
**
242.9第7题 72.7 49.5
**
343.4
第3题 77.1 45.1
**
677.6第8题 77.8 46.4
**
672.3
第4题 75.0 58.9
**
170.8第9题 58.8 29.3
**
531.8
第5题 85.8 54.2
**
781.5第10题 73.3 25.4
**
1523.3
注：表中“**”表示有极其显著差异。
从表2可以看出，四、五年级各题通过情况的差异均达到极其显著水平，说明“代数模式建构和图形等式推算”的学习确实有效地提高了四年级学生代数
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推理和解决复杂应用问题的能力。
从四年级的后测情况来看，图形等式推算部分的平均通过率为80％，应用问题部分的平均通过率70％。其中一图一式图形等式推算——模式（3）、（7）的平均通过率为85％，而模式（3）、（7）的推算以熟练掌握模式（1）、（2）的推算方法为基础，由此可知，实验设定的一图一式的图形等式推算平均通过率在85％左右，高于实验预期。两图两式的图形等式推算平均通过率在75％～80％之间，低于实验预期，主要原因是两图两式问题要转化为一图一式来解决，转化本身是难点，而部分学生由于缺乏足够的练习，没有牢固掌握一图一式的推算方法，难免顾此失彼，造成了通过率降低。
根据表中数据，可求得五年级图形等式推算与相应的应用问题解决成绩之间的相关系数为r＝－0.312，︱Z︱＝20.04＞Z0.001＝2.58，呈极其显著的负相关.这意味着图形等式推算得分相对较高的题其相应的应用问题得分相对较低，也就是说解决应用问题相对较难而解决相应的图形等式推算问题则相对容易。其原因在于学生缺乏用图形等式推算解决应用问题的意识与能力，没能把应用问题有效表征为图形推算等式，使得图形等式推算相对高得分的优势难以有效发挥.求得四年级学生图形等式推算问题解决与应用问题解决成绩之间的相关系数为r＝0.246，︱Z︱＝15.89＞Z0.001=2.58，呈极其显著正相关，说明“图形等式推算与代数模式建构”的学习确实有效提高了学生解决较复杂的应用问题的能力。另外，我们看到四年级在解决模式（3）、（7）、（4）、（6）各题组的图形等式推算与应用问题时，与相应的图形等式推算成绩相比，应用问题的成绩一致下降，X2检验显示其间均存在极其显著差异，这说明，把应用问题表征为相应的图形等式确实是学生解决应用问题的一大难点.
（三）师生问卷
调查共收回四年级学生有效问卷3154份，教师有效问卷42份。 1. 关于教、学的难度与负荷 从学生问卷来看，认为学习内容从整体上来说“很难”或“有点难”的学生分别占5.5％和36.0％，认为“不难”和“很容易”的占33.1％和25.4％。28.3％的学生认为实验过程中作业和学习时间有增加，其中认为“多很多”的占4.3％，29.2％的学生认为比平时减少，其中认为“少很多”的占9.5％。总的来说，图形等式推算具有一定的挑战性，没有过重增加学生学习中的负担。
表3 教师关于各种模式“图形等式推算”教学难度的主观感受
模式⑴ 模式⑵ 模式⑶ 模式⑷ 模式⑸ 模式⑹ 模式⑺
很容易 28.6 4.8 2.4
容易 59.5 54.8 9.5 4.8 4.8 21.4
一般 11.9 33.3 66.7 33.3 19.1 23.8 33.3
不容易 7.1 23.8 57.1 52.4 50.0 28.6
很不容易 9.5 23.8 21.4 14.3
注：表中数据为各种模式相应选项人数占总人数的百分比。
表4 教师关于各种模式应用问题“代数模式建构”教学难度的主观感受
很容易
容易
一般
不容易
很不容易
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模式⑴ 模式⑵ 模式⑶ 模式⑷ 模式⑸ 模式⑹ 模式⑺
23.8 4.8 2.4
14.3 42.9 14.3 21.4 23.8 28.6 16.7
40.5 40.5 50.0 40.5 47.6 33.3 26.2
21.4 9.5 28.6 35.7 23.8 28.6 50.0
2.4 4.8 2.4 4.8 9.5 7.1
注：表中数据为各种模式相应选项人数占总人数的百分比。
从表3来看，认为模式（1）、（2）、（3）的图形等式推算比较容易的教师都占到75％以上，而认为两图两式的图形推算有难度的教师占了65％以上。从表4来看，除模式（7）之外，认为根据应用问题列出图形等式有难度的教师都不超过40％，说明关键还在于图形等式推算。另外，与通常的教学相比，28.6％的教师认为自己用于学生辅导的时间“增加20％以上”，54.8％的教师“增加10％以上”，16.7％教师认为与通常“差不多”，无疑，辅导用时的增加与一定的教学难度和相对偏少的教学课时有关。
2.关于教、学的价值与意愿
83％的学生“喜欢”解图形等式推算题，74.8％的学生“喜欢”用图形等式解决应用问题，81.4％的学生认为图形等式推算提高了自己分析数量关系和解决难题的能力。从自己的教学感受出发，教师普遍认为学生用图形等式解决应用问题的意愿随问题的难度提高呈明显的上升趋势，80％以上的教师认为实验设定的教学内容对于学生今后学习、培养代数思维能力“非常有利”。总的来说，师生对实验内容的教学价值持比较积极正面的看法，教、学意愿比较高。
3.关于教学的策略与方法
课题设计主要是根据运算关系来解决图形等式推算问题，只在两图两式的加减消元法介绍时借助等式性质，但实验后仍有28.3％的教师认为用运算关系不利于学生后续学习，应利用等式基本性质，这是的一种误解，从五年级等式性质教学的现状来看，学生普遍不愿意用等式性质解决问题，用运算关系解题却驾轻就熟，我们认为，运算关系、等式性质都是解决问题的有效方法，不应强求一律，应提倡学生根据解决问题的实际需要选择适当的方法。另外，教师普遍认为理解推算方法、进行类似模式的比较练习是帮助学生掌握图形等式推算方法、提高模式识别能力的基本途径。教师普遍认为实验的教学内容过于集中，应通过分散渗透与集中教学相结合的方法安排到各个年级的教学中，教学效果会更好。
四、结论与建议
实验结果验证了实验的假设，我们可以认为：具有在四年级以致更低年级进行“图形等式推算与代数模式建构”教学的现实可行性，其中模式（1）～（3）的图形等式推算可放在五年级“代数式与方程”之前教学，在“代数式与方程”教学中重点突破模式（7），两图两式的教学可适当延后，但思想方法可前期渗透。
在教材编写中，要注意代数思维与算术思维相互促进，把四则运算的意义、运算性质、运算顺序和应用问题的教学与“图形等式推算与代数模式建构”的教学相结合，采用分散渗透和集中教学相结合的编排方法，使代数相关知识的学习起步早、应用广，并通过专项思维训练帮助学生掌握代数思维的方法和技能，促进代数思维能力的发展。
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[参考文献]
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[2][美]全美数学顾问小组著，赵中建，朱鹏译.成功的基础——全美数学顾问小组最终报告[J].全球教育展望，2008，（7）：69.
[3]张广祥，张奠宙.代数教学中的模式直观[J].数学教育学报，2006，15(1)：1-4.
作者简介：任敏龙（1969-），男，浙江杭州人，主要从事小学数学教学、教材建设和教师培训研究。
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