全国各地中考数学压轴题汇编之 下载本文

2017全国各地中考数学压轴题汇编之一

11.(2017江苏淮安,28,14分)如图①,在平面直角坐标系中,二次函数y=?x2?bx?c3的图像与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点O出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒.连接PQ. (1)填空:b=________,c=________;

(2)在点P、Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;

(3)在x轴下方,该二次函数的图像上是否存在点M,使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出运动时间t;若不存在,请说明理由; (4)如图△,点N的坐标为(?3,0),线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线2NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q′的坐标.

yyCCPHxANOQBxAOBx图① 图② 备用图

yCPAOQB1【分析】(1)将A(-3,0)、B(4,0)代入y=?x2?bx?c即可求解;(2)若△APQ为

3直角三角形,则∠APQ=90°(∠PAQ与∠PQA不可能为直角).连接QC,则AQ2-AP2=QC2-PC2=PQ2,据此列出关于t的方程求解,若t的值满足0≤t≤4,则△APQ可能是直角三角形,否则不可能;(3)①过点P作DE∥x轴,分别过点M、Q作MD⊥DE,QE⊥DE,垂足分别为D、E,构成“一线三直角”全等模型,用含t的式子表示点M的坐标;②将点M的坐标代入二次函数的表达式求解;(4)①分别求直线BC、直线NQ′的函数表达式;②解直线BC、NQ′的函数达式组成的方程组.

1【解析】(1)b=,c=4.

3(2)在点P、Q运动过程中,△APQ不可能是直角三角形.理由如下:

若△APQ是直角三角形,因为在点P、Q运动过程中,∠PAQ、∠PQA始终为锐角,所以∠APQ=90°.

∴AQ2-AP2=QC2-PC2=PQ2. 连接QC.

11由(1)知抛物线的函数表达式为y=?x2?x?4,当x=0时,y=4.

33∴C(0,4). ∴OC=4. ∵A(-3,0), ∴OA=3.

由题意,得AP=OQ=t. ∴AQ=OA+OQ=3?t.

在Rt△AOC中,由勾股定理得AC=OA2?OC2=32?42=5. ∴PC=5?t.

在Rt△OCQ中,QC2=OQ2+OC2=t2?42.

∵∠APQ=90°,

∴AQ2-AP2=QC2-PC2=PQ2. ∴(3?t)2?t2=t2?42?(5?t)2. 解得t=4.5. 由题意知0≤t≤4.

∴t=4.5不符合题意,舍去.

∴在点P、Q运动过程中,△APQ不可能是直角三角形.

(3)如图,过点P作DE∥x轴,分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE,垂足分别为点D、E,MD交x轴于点F,过点P作PG⊥x轴,垂足为点G,则PG∥y轴,∠D=∠E=90°. ∴△APG∽△ACO. ∴

PGAGAPPGAGt==,即==. OCOAAC43543∴PG=t,AG=t.

55324∴PE=GQ=GO+OQ=AO-AG+OQ=3?t?t=3?t,DF=EQ=t.

555∵∠MPQ=90°,∠D=90°,

∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°. ∴∠DMP=∠EPQ. 又∵∠D=∠E,PM=PQ, ∴△MDP≌△PEQ.

42∴PD=EQ=t,MD=PE=3?t.

55242∴AM=MD-DF=3?t?t=3?t,

555