正方形得面积为

256

25625

．

因为25＜16， 所以a＝．

516

3．（2017江苏连云港，27，14分）问题呈现：

如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE＝DG，求证：2S

四边形EFGH

＝S矩形ABCD．（S表示面积）

实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．

如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S四边形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形A1B1C1D1．

如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与

S矩形A1B1C1D1之间的数量关系，并说明理由．

迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四边形EFGH＝11，HF＝29，求EG的长．

（2）如图5，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E、H分别在边AB、AD上，BE＝1，DH＝2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG＝10，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．

【分析】问题呈现：根据矩形的性质，通过割补法利用三角形的面积和矩形的面积可得到结

论；实验探究：由题意得当将点G向点D靠近(DG

△四边形AEGD是矩形， △S△HGE＝

1S矩形AEGD， 21S矩形BEGC， 21S矩形BEGC． 2同理S△EGF＝

△S四边形EFGH＝S△HGE＋S△EFG＝

实验探究：结论：2S四边形EFGH＝S矩形ABCD－S矩形A1B1C1D1．

理由：△S△EHC1＝

1111S矩形AEC1H，S△HGD1＝S矩形HDGD1，S△EFB1＝S矩形EBFB1，S△FGA1＝S矩形CFA1G， 2222△S四边形EFGH＝S△EHC1＋S△HGD1＋S△EFB1＋S△FGA1－S矩形A1B1C1D1， △2S四边形EFGH＝2S△EHC1＋2S△HGD1＋2S△EFB1＋2S△FGA1－2S矩形A1B1C1D1，

△2S四边形EFGH＝S矩形ABCD－S矩形A1B1C1D1． 迁移应用：解：（1）如图4中， △2S四边形EFGH＝S矩形ABCD－S矩形A1B1C1D1．

△S矩形A1B1C1D1＝25－2×11＝3＝A1B1·A1D1， △正方形的面积为25，△边长为5， △A1D12＝HF2－52＝29－25＝4， △A1D1＝2，A1B1＝

3， 2△EG2＝A1B12＋52＝

109． 2109， 4EG＝（2）△2S四边形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形A1B1C1D1．

△四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．

△如图5－1中，当G与C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大．

此时矩形A1B1C1D1面积＝1·(10－2)＝10 △如图5－2中，当G与D重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，矩形EFGH的面积最大． 此时矩形A1B1C1D1面积＝2·1＝2，

△2＞10－2，

△矩形EFGH的面积最大值＝

17． 24．（2017江苏南通，28，13分）已知直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2（a＞0）相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D． （1）若∠AOB＝60°，AB∥x轴，AB＝2，求a的值；

（2）若∠AOB＝90°，点A的横坐标为－4，AC＝4BC，求点B的坐标； （3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE＝CO．

【分析】（1）如图1，由条件可知△AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在Rt△AOD中可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，代入抛物线解析式可得a的值；

（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF∥BG，由A的横坐标为－4，得B的横坐标为1，所以A（－4，16a），B（1，a），证明△ADO∽△OEB，则的值及B的坐标；

（3）如图3，设AC＝nBC由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（－mn，am2n2），分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得出结论． 【解析】解：（1）如图1，∵抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴， ∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB＝2，AB⊥OC，

∴AC＝BC＝1，∠BOC＝30°，

ADOD，得a＝OEBE∴OC＝3，

∴A（－1，3），

把A（－1，3）代入抛物线y＝ax2（a＞0）中得：a＝3；

（2）如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F， ∵CF∥BG， ∴

ACAF， ＝BCFG