长方体与正方体

对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．

例题精讲

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如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．

①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：S长方体?2(ab?bc?ca)； 长方体的体积：V长方体?abcA．

③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a，那么：S正方体?6a2，V正方体?a3．

板块一 长方体与正方体的表面积

【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？

后面上面左面前面下面右面

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【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？

【例 2】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何

体的表面积是多少？

【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下

的立体图形的表面积是多少？

【例 3】 如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它

的表面积减少了多少?

【例 4】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米

的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）

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【例 5】 如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立

方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？

【例 6】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小

洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为两个相同为

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厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前

厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？

【例 7】 （《小学生数学报》邀请赛）从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、

高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)

【例 8】 （北京市第十二届迎春杯）一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、

3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？

【例 9】 从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表

面积之和是 平方厘米．

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【巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正

方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？

【例 10】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成

4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？

【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条

又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?

【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为56cm2的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体

表面积的和是 cm2．

【例 11】 右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，

这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？

【例 12】 有n个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如

果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么n为多少？

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