2020年芜湖市、马鞍山市高考数学一模试卷(文科)含答案解析 下载本文

参考公式:回归方程,其中=.参考数据:,

【考点】线性回归方程. 【分析】(1)根据回归系数公式计算回归系数;

(2)利用回归方程计算x=8时的估计值,计算误差得出结论;

(3)求出利润的解析式,根据二次函数的性质得出利润取最值时的x. 【解答】解:(Ⅰ)由题意知=8, =

=

=40.

=10, =

∴y关于x的回归直线方程是=﹣3.2x+40.

=﹣3.2×8+40=14.4.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当x=8时,﹣y=14.4﹣14=0.4<0.5.

∴可认为所得到的回归直线方程是理想的.

(Ⅲ)依题意得,利润L=(x﹣2.5)?(﹣3.2x+40)=﹣3.2x2+48x﹣100(2.5<x<12.5). 当

时,L取得最大值.

即该产品的单价定为7.5元时,利润最大.

19.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AD⊥平面A1BC,其垂足D落在直线A1B上. (Ⅰ)求证:BC⊥A1B; (Ⅱ)若P是线段AC上一点,的值.

,AB=BC=2,三棱锥A1﹣PBC的体积为

,求

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系.

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【分析】(I)由AD⊥平面A1BC得BC⊥AD,由AA1⊥平面ABC得BC⊥AA1,故BC⊥平面A1AB,所以BC⊥A1B;

(II)设PC=x,用x表示出棱锥A1﹣BPC的体积,列出方程解出x,得到AP和PC的值.

【解答】(Ⅰ)证明∵AD⊥平面A1BC,BC?平面A1BC, ∴AD⊥BC.

∵AA1⊥平面ABC,BC?平面ABC, ∴AA1⊥BC.

又∵AA1∩AD=A,AA1?平面AA1B,AD?平面AA1B, ∴BC⊥平面AA1B,∵A1B?平面AA1B, ∴BC⊥A1B.

(Ⅱ)解:设PC=x,过点B作BE⊥AC于点E. 由(Ⅰ)知BC⊥平面AA1B1B,∴BC⊥AB, ∵AB=BC=2,∴,. ∴

∵AD⊥平面A1BC,其垂足D落在直线A1B上, ∴AD⊥A1B.∴BD=∴Rt△ABD∽Rt△A1BA,∴∴∴解得:∴

, .∴

=

=1,又∵AA1⊥AB,

20.F为椭圆C:x2+已知O为坐标原点,

=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为﹣

的直线l与C交与A、B两点,四边形OAPB为平行四边形. (Ⅰ)证明:点P在椭圆C上; (Ⅱ)求四边形OAPB的面积.

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【考点】椭圆的简单性质.

【分析】(Ⅰ)由已知F(0,1),直线l的方程为

,代入

,得

,由平行四边形性质得

(Ⅱ)由已知求出|AB|和原点O到直线l:的面积.

,由此能证明点P在椭圆C上. 的距离,由此能求出四边形OAPB

【解答】证明:(Ⅰ)∵O为坐标原点,F为椭圆C:x2+

=1在y轴正半轴上的焦点,

∴F(0,1),直线l的方程为,代入

并化简得,…2分

设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3), ∵四边形OAPB为平行四边形,∴,…3分 可得(x3,y3)=(x1,y1)+(x2,y2) ∴

,故

…5分

经验证点P的坐标故点P在椭圆C上.…6分 解:(Ⅱ)∵

满足方程,

…8分

原点O到直线l:∴四边形OAPB的面积:

的距离…10分

.…12分.

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21.已知函数f(x)=ex﹣ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线平行于x轴.

(Ⅰ)求a的值及函数y=f(x)的极值;

(Ⅱ)若不等式xf(x)>3lnx+(k﹣3)x在x≥3时恒成立,证明:k<e3﹣1.

【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】(Ⅰ)求函数的导数,根据导数的几何意义建立方程关系即可求a的值及函数y=f(x)的极值;

(Ⅱ)若不等式xf(x)>3lnx+(k﹣3)x在x≥3时恒成立,利用参数分离法,求函数的最值即可证明:k<e3﹣1. 【解答】解:(Ⅰ)由题意知f′(x)=ex﹣a,…1分,

∵A(0,1)且曲线y=f(x)在点A处的切线平行于x轴, ∴f′(0)=e0﹣a=0,∴a=1…3分 此时,f′(x)=ex﹣1. 令f′(x)=0得x=0.

当x变化时,f′(x)与f(x)变化情况如下表

(﹣∞,

x 0 (0,+∞)

0)

f′(x) 0 + ﹣ f(x)=ex﹣x 单调递减 极小值1 单调递增 ∴f(x)有极小值1,无极大值…5分 (Ⅱ)证明:由xf(x)>3lnx+(k﹣3)x得令

…6分

…7分,

…8分,

∵x≥3>e,∴lnx>lne=1.∴

又∵ex﹣1>0,∴g'(x)>0.

∴g(x)在[3,+∞)上为增函数…10分 ∴

…11分

∴k<e3﹣ln3<e3﹣1…12分.

[选修4-1:几何证明选讲] 22.PC切圆O于点C,如图所示,点P是圆O直径AB延长线上的一点,直线PQ平分∠APC,分别交AC、BC于点M、N.求证: (1)△CMN为等腰三角形; (2)PB?CM=PC?BN.

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