（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）

（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布

2N??,?2?，其

中??225，?为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正态分布模型，解决以下问题：

（i）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；

（ii）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为?，求随机变量?的分布列和数学期望与方差.

附：若随机变量X服从正态分布

N??,?2?，则P(????X????)?0.6826，

P(??2??X???2?)?0.9554，P(??3??X???3?)?0.9974.

【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）根据频率分布直方图得到16分，17分，18分的人数，再根据古典概率的计算公式求解． （2）根据离散型随机变量的分布列和数学期望与方差的公式进行求解． 【详解】

（1）设“两人得分之和小于35分”为事件A，则事件A包括以下四种情况： ①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分； ③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分.

由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，

221111C6?C12?C6C12?C6C1829?. 则由古典概型的概率计算公式可得P(A)?2C1005503329；（2）（i）1683；（ii）,.

24550

所以两人得分之和小于35的概率为

29. 550（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数X的估计值为：

X?(0.006?150?0.012?160?0.018?170?0.034?180?0.016?190?0.008?200?0.006?210)?10?179（个）.

又由?2?225，得标准差??15，

所以高二年级全体学生的跳绳个数X近似服从正态分布N179,15（i）因为????179?15?164，所以P(X?164)?1?故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为

?2?.

1?0.6826?0.8413， 22000?0.8413?1682.6?1683（人）.

（ii）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为所以?~B?3,1， 2??1??，?的所有可能的取值为0，1，2，3. 2?0303?1??1?1所以P(??0)?C?????1???， ?2??2?81?1?31P(??1)?C3???1???，

2?2?8?1??1?3P(??2)?C?????1???，

?2??2?823212?1?13?1?P(??3)?C3?????1???，

?2??2?8故?的分布列为：

30? P 0 1 3 82 3 83 1 81 8所以E(?)?3?【点睛】

1?1?313?，D(?)?3???1???.

2?2?422

本题考查了频率分布直方图的应用问题、正态分布的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题．

9．在直角坐标系xOy中，点P到两点（0,?3），（0,3）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx+1与A交于A，B两点. （1）写出C的方程；

uuuruuur（2）若OA?OB，求k的值.

1y2【答案】（1）x?（2）± ?1；

242

【解析】 【分析】

（1）根据已知条件可判断动点轨迹为椭圆，结合题意写出椭圆方程即可； （2）联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理以及向量垂直，即可求得参数k. 【详解】

（1）设P（x,y），由椭圆定义可知，

点P的轨迹C是以（0,?3），（0,3）为焦点，长半轴为2的椭圆. 它的短半轴b?4?3?1，

2

y2故曲线C的方程为x??1.

4（2）设A（x1,y1），B（x2,y2），

?2y2?1?x?其坐标满足?， 4?y?kx?1?消去y并整理得（k2+4）x2+2kx﹣3＝0，

2k3??xx，， 12

k2?4k2?4uuuruuur若OA?OB，即x1x2+y1y2＝0.

故x1+x2??而y1y2＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，

33k22k2则x1x2+y1y2??2?2?2?1＝0，

k?4k?4k?4化简得﹣4k2+1＝0，

解得k＝±. 【点睛】

本题考查根据定义求解椭圆方程，以及直线与椭圆相交时，求参数的值，属综合基础题.

12f(x)?10．已知函数

12x?alnx(a?0)2．

（1）若a?2，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程． （2）求f(x)在区间[1,e]上的最小值．

（3）若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】（1）2x?2y?3?0．（2）见解析．（3）?e,【解析】

试题分析：（1）把a=2代入可得f??1???1，f?1????12?e? 2?1，进而可得方程，化为一般式即可； 2（2）可得x=a为函数的临界点，分a≤1，1＜a＜e，a?e，三种情形来讨论，可得最值；

?1?2a?1?lna??0?1?（3）由（2）可知当0＜a≤1或a≥e2时，不合题意，当1＜a＜e2时，需?f?1???0，解之可得a

2?12?f(e)=e?a?0?2?的范围．

试题解析：（1）当a?2时，f?x??∴f??1???1，f?1??122x?2lnx，f??x??x?， 2x1， 21???x?1?，即2x?2y?3?0． 2∴f?x?在1,f?1?处的切线方程为y???ax2?a（2）f??x??x??．

xx由于a?0及定义域为?0,???，所以令f??x??0得x?a．

①若a?1，即0?a?1，则x?(1,e)时，f??x??0，f?x?在?1,e?上单调递增，