习题2

2.1 把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。

?? (1) f(x)??n???rect(x?2n) (2) g(x)??n???tri(x?2n)

2.2 证明下列傅里叶变换关系式：

(1) F{rect(x)rect(y)}?sinc(?)sinc(?); (2) F{?(x)?(y)}?sinc2(?)sinc2(?); (3) F{1}??(?,?); (4) F{sgn(x)sgn(y)}??(5) F{n?(sinnx)}; (6) Fe?1??1????; iπ?iπ???????π(x?y)/a222?。

2.3 求x和xf(2x)的傅里叶变换。

2.4 求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。 H(?)?tr?i(?1?)?tr?i( G(?)?rec?t(?/3)r?e c2.5 证明下列傅里叶变换定理：

(1) 在所在f(x,y)连续的点上FF{f(x,y)}?F?1F?1{f(x,y)}?f(?x,?y)； (2) F{f(x,y)h(x,y)?F{f(x,y)}*F(g(x,y)}。 2.6 证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式：

(1) 若fr(r)??(r?r0)，则B{fr(r)}?2πr0J0(2πr0?); (2) 若a?r?1时fr(r)?1，而在其他地方为零，则B{fr(r)}?J1(2π?)?aJ1(2πa?)? ;

(3) 若B{fr(r)}?F(?)，则B{fr(r)}??πr21???? ; 2?a?a? (4) B{e}?e?π?2

im?2.7 设g(r,?)在极坐标中可分离变量。证明若f(r,?)?fr(r)e，则：

mim?,)?}?(i)emfHr{ ()} F{f(r?r 其中Hm{}为m阶汉克尔变换：Hm{fr(r)}?2π?rfr(r)Jm(2πr?)dr。而(?,?)空间频率中的极坐

0?标。(提示：e

iasinx???J(a)ek???kikx)

65

2.8 计算下列各式的一维卷积。

(1) rect??x?1??x?3? (2) *?(2x?3)rect???*?(x?4)*?(x?1)

?2??2??πx?x?1? (4) sin*comb(x)???2?2????rect(x) ?(3) rect?2.9 试用卷积定理计算下列各式。

(1) sinc(x)*sinc(x) (2) F{sinc(x)sinc(2x)} 2.10 用宽度为a的狭缝，对平面上强度分布 f(x)?2?cosπ(?2x) 0扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出强度分布。

2.11 利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N。 2.12 计算下面函数的相关。

(1) rect??x?1??x?1?★rect??? (2) tri?2x?1?★tri?2x?1?

?2??2?2.13 应用傅里叶定理求下面积分。

(1)

????e?πx2cos(2πax)dx (2)

????sinc(x)sin(πx)dx

22.14 求函数f(x)?rect(x)和f(x)?tri(x)的一阶和二阶导数。 2.15 试求下图所示函数的一维自相关。

2.16 试计算函数f(x)?rect(x?3)的一阶矩。

2.17 证明实函数f(x,y)的自相关是实的偶函数，即：Rff(x,y)?Rff(?x,?y)。 2.18 求下列广义函数的傅里叶变换。

(1) step(x) (2) sgn(x) (3) sin(2π?0x)

2.19 求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。 (1) H(x)?tri(x?1)?tri(x?1) (2) G(x)?rect(x/3)?rect(x) 2.20 表达式

66

p(x,y)?g(x,y)*?comb????x??y??comb???? X???Y??定义了一个周期函数，它在x方向上的周期为X，它在y方向上的周期为Y。 (a) 证明p的傅里叶变换可以写为： P(?,?)??nG???X?n???m?????m,Y????nm?????,???

XY?? 其中G是g的傅里叶变换。

??x??y?rect??2?时，画出函数p(x,y)的图形，并求出对应的傅里叶变换X??Y? (b) 当g(x,y)?rect?2P(?,?)。

习题3

3.1 设在一线性系统上加一个正弦输入：g(x,y)?cos[2π(?x??y)]，在什么充分条件下，输出是一个

空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。

3.2 证明零阶贝塞尔函数2J0(2π?0r)是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本

征值是什么？

3.3 傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。试

问：

(a) 这个系统是线性的吗？

(b) 你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能？ 3.4 某一成像系统的输入是复数值的物场分布Uo(x,y)，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场

分布Ui(x,y)。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间

?(x,y)，|?|?Bx，|?|?By之外恒等于零。证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体Uo它与真实物体Uo产生完全一样的像Ui，并且等产供效物体的场分布可写成：

????nm??(x,y)????U(?,?)sinc(n?2B?)sinc(m?2B?)d?d??x?,y? Uo??? 0XY??2BX2BY?n???m??????????3.5 定义： ?xy?

??f(0,0)1?f(x,y)xdyd, ????????F(0,0)67

1?F(?,?)d?d?

?? 分别为原函数f(x,y)及其频谱函数F(?,?)的“等效面积”和“等效带宽”，试证明： ?xy?????1

上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。 3.6 已知线性不变系统的输入为：f(x)?comb(x)。系统的传递函数为rect(?/b)。当b?1和b?3时，

求系统的输出g(x)，并画出函数及其频谱。 3.7 对一个线性不变系统，脉冲响应为： h(x)?7sincx( 7 用频率域方法对下列的每一个输入fi(x)，求其输出gi(x)(必要时，可取合理近似)： (1) f1(x)?cos4πx (2) f2(x)?cos(4πx)rect(x/75)

(3) f3(x)?[1?cos(8πx)]rect(x/75) (4) f4(x)?comb(x)*rect(2x) 3.8 给定正实常数?0和实常数a和b，求证： (1) 若|b|?12?012?0，则

1|b|1|b|sinc(x/b)*cos(2π?0x)?cos(2π?0x)

(2) 若|b|?，则

sinc(x/b)*cos(2π?0x)?0

(3) 若|b|?|a|，则sinc(x/b)*sinc(x/a)?|b|sinc(x/a)

(4) 若|b|?|a|2，则sinc(x/b)*sinc(x/a)?|b|sinc(x/a)

1w223.9 若限带函数f(x)的傅里叶变换在带宽w之外恒为零，(1) 如果|a|?1|a|1w，证明：

sincx(a/ ) (2) 如果|a|?f)*x?(f)x (，上面的等式还成立吗？

3.10 给定一个线性系统，输入为有限延伸的矩形波： g(x)??combx(?3?1? *rect()/3)rxect(?/100)x?若系统脉冲响应：h(x)?rect(x?1)。求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的图形。

3.11 给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波

68

g(x)??2combx(??1?/2)rxect?(? )/50x*tri()对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出：

(1) H(?)?rect(?/2) (2) H(?)?rect(?/4)?rect(?/2) 3.12 若对函数：h(x)?asinc2(ax)抽样，求允许的最大抽样间隔。

3.13 证明在频率平面上一个半径为B的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽样定

理：

?? g(x,y)???n???m???22m?π??J1[2πB(x?n/2B)?(y?m/2B)]???ng?,? ??222?2B2B?4?2πB(x?n/2B)?(y?m/2B)???

习 题 4

4.1 尺寸为a?b的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上

透射光场的角谱。

4.2 采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在

孔径轴上的强度分布：

(1) t(x0,y0)?circ(x?y) (2) 4.3 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为： t(x0)?a?bcos(2?x0/d)

式中，d为光栅的周期，a?b?0。观察平面与光栅相距z。当z分别取下述值时，确定

单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。 (1) z?zr?2d22020??1,t(x0,y0)????0,a?其它x0?y0?122 ? (2) z?zr2?d2? (3) z?zr4?d22?

4.4 参看下图，用向P点会聚的单色球面波照明孔径?。P点位于孔径后面距离为z的观察平

面上，坐标为(0,b)。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。

69

4.5 方向余弦为cos?,cos?，振幅为A的倾斜单色平面波照明一个半径为a的圆孔。观察平面

位于夫琅禾费区，也孔径相距为z。求衍射图样的强度分布。 4.6 环形孔径的外径为2a，内径为2?a(0???1)。其透射率可以表示为： t(r0)???1,?0,?a?r0?a其他

用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强

度分布。

4.7 下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为a，中心距离为d(d??a)。采用

单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y方向截面图。

4.8 参看下图，边长为2a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落在

(?,?)点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z的观察平面上夫琅禾

费射图样的光场分布。画出x??y??0时，孔径频谱在x方向上的截面图。

70

4.9 下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为a，长度为b，中心相距d。采用单

位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。假定b?4a及d?1.5a，画出沿x和y方向上强度分布的截面图。

4.10 下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即： t(x0)?step(x0)

采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图

样的复振幅分布。画出沿x方向的振幅分布曲线。

4.11 下图所示为宽度为a的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差π。采用单

位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。画出沿x方向的截面图。

4.12 线光栅的缝宽为a，光栅常数为d，光栅整体孔径是边长L的正方形。试对下述条件，

分别确定a和d之间的关系：

(1) 光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。 (2) 光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。 4.13 衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为：

71

t(x,y)?00combx(a/0)co0ymb?b(/)c?xomb[a(0 y)ba0.10)/]comb(/) 采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强

度分布。画出沿x方向的截面图。

4.14 如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。其折射率为n，齿宽为a，齿形角为?，光栅的

整体孔径为边长为L的正方形。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距光栅为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。若使用衍射图样中某个一级谱幅值最大，?角应如何选择？

4.15 衍射零是由m?n个圆孔构成的方形列阵，它们的半径都为a，其中心在x0方向间距为

dx，在y0方向间距为dy，采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z的观

察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。

4.16 在透明玻璃板上有大量(N)无规则分布的不透明小圆颗粒，它们的半径都是a。采用单

位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上的夫琅禾费衍射图样的强度分布。

72