计算传热学大作业报告

戴 平 0708180209

选题：题目1 题目3

题目1

已知：一块厚度为0.1mm的无限大平板，具有均匀内热源，q＝50×103W/m3，，导热系数K＝10W/m.℃，一侧边界给定温度为75℃，另一侧对流换热，Tf＝25℃，，h=50W/m2.℃,求解稳态分布。（边界条件用差分代替微分和能量平衡法），画图。(内,外节点)

解：由题目分析可得此情况是有内热源的一维稳态导热问题。 采用均匀网格，外节点法，网格间距取为0.01mm，将无限大的平板沿其厚度方向均匀分为10份。如图：

`2 3 4 5 6 7 网格的具体分布： 当I=2,3,4，…9，10

1

8 9 10 11

0.01 0.005 I-1 0.005 边界条件： 当I=1时，

0.01 0.005 w I 0.01 e 0.005 I+1 x=0 e 2 e (?x)1 (?x)2

T1=75℃

1 3 当I=11时：

x=0.1

h

w 9 10

11 Tf=25℃

w q d?dT?控制微分方程为： ?k??q?0

dx?dx?x?0边界条件为：一边为第一类边界条件

T0?75?C

另一边为第三类边界条件Tf＝25℃，，h=50W/m2.℃ 方程的离散化：对控制微分方程进行积分

?dT??dT??k???k???xq?0 ?dx?e?dx?w设相邻网格之间的温度是线性分布的，而导热系数k是常数，所以得

?TE?TP??TP?TWk?k????x???????x?e??w????xq?0 ???经整理得：2TI?TI?1?TI?1?0.5 I=2,3，…，9,10）

边界条件：左边是第一类边界条件，得：

2T2?T3?75.5

右边是第三类边界条件，在节点11的半个控制容积内对

1控制微分方程进行积分：q10.5?q11?q?x?0

2而由条件得：q11?h?T11?Tf? 且 q10.5T10?T11?k?x

T10?T111?h?T11?Tf? 所以得：q?x?k2?x整理得：1.05T11?T10?1.5

从而可得三对角矩阵，利用TDMA解法解之得到温度的稳态分布。 计算结果：

解控制微分方程得代数解：

T?250x?2500x2?75比较两者得：数值解的精确度很高，可达1.88×10E1-5％。以上是10等分时的结果。当然，若想要更高的精度，可增加节点数。

T82818079787776757400.02数值解与分析解比较准确解分析解x0.040.060.080.1

题目3

对于有源项的一维稳态方程，

ddd?(?u?)?(T)?sdxdxdx

已知 x=0,φ=0,x=1, φ=1.源项S=0.5-X

利用迎风格式、混合格式、乘方格式求解φ的分布.

解：分析题目知控制微分方程是有源项的一维稳态对流导热问题，采用均匀网格和外节点法，将L=1长的区域均匀分为10份，如图：

`2 3 4 具体网格如图：

1

5 6 7 8 9 10 11

0.1 0.005 0.005 0.1 I-1 0.05 w I 0.1 e 0.05 I+1 ddd?(?u?)?(T)?sdxdx控制微分方程为：dx

d??x??0 连续性方程:dx边界条件：两边都是第一类边界条件：x=0, Φ=0 ; x=1, Φ=1 方程的离散化：对控制微分方程在控制容积内进行积分

?F??e??F??w1)、上风格式：认为 即：

所以整理成标准形式得： 其中：

?d???d???????????s?x ?dx?e?dx?waPTP?aWTW?aETE?bPb?s?x2）、混合格式：由混合方案的假设得：

可得标准形式为：

aPTP?aWTW?aETE?bP 式中：

3）、幂格式： 即：

可得标准形式为：

b?s?xaPTP?aWTW?aETE?bP式中：

aE?De[[0,(1?0.1FeDeDw)5]]????0,?Fe???)]]????0,Fw???5aW?Dw[[0,(1?0.1FwaP?aE?aW??Fe?Fw?b?s?x无论那种格式，都必须满足连续性方程。由连续性方程积分可得：

ρu=constant.

所以： Dim F≡ρ

?u=constant Dim D =

?x Dim p = F/D

采用均匀网格和外节点法，将L=1长的区域均匀划分为10段，共11个节点。则：（δx）=Δx=0.1

源项：S=0.5-X，仅是x的函数，与φ无关，所以源项线性化后得：

Sc=0.5-X ，Sp=0

因此，可以让源项采用阶梯分布，即在每个控制容积中S都是定值。 两边的边界条件都是第一类边界条件：Φ0＝0，Φ11＝1 Γ的取值分3种情况： （1）、Γ=constant

若令F=1，Γ=1，此时其精确解为：

?(x)??0.5x?0.5x?1.16395?1.16395e2x

各种方案解得结果为： 上风方案结果为：

混合方案结果为：

幂方案结果为：

几种方案结果比较：

当F=3，Γ=1时：上风方案结果：

混合方案结果为：

幂方案结果为：

各种方案结果比较：

从结果中分析可以看出：幂方案的精度最高，其次是混合方案，最后是上风方案。并且随着F的增大，混合和上风方案的误差明显增大，而幂方案误差增大较小。

（2）、当Γ仅为x的函数时，令Γ=0.5x+0.1。结算的结果为： 此时由于方程较复杂，分析解难以得到，同时考虑到幂方案与精确方

案的接近程度，可以将幂方案当做精确解。 当F=1时： 上风格式：

混合格式：

幂格式为：

各方案结果比较：

若令F=3，个方案结果比较为：

上风格式结果为：

混合格式结果为：

幂格式结果为:

从上面的结果可以看出，幂方案的精确度最高，混合方案其次，上风方案最低，但上风方案最简单，而幂方案最难。且流动强度F越大，误差越大。

（3）、当Γ为φ的函数时，是非线性情况，需迭代求解。

先假设φ*=x，线性分布。由φ*求得流动强度F以及广义扩散系数Γ的值，在解线性方程组得到的新的一组φ后，再判断φ与φ*之间的差值是否小于预定的值，若是，则求解过程结束；若否，则将φ

值赋予φ*，再回到用φ*求解系数的步骤，如此循环，迭代求解。 令Γ=0.4-0.3φ， 结算的结果为： 当F=1时：各方案结果比较

上风方案结果为：

混合方案结果为：

幂方案结果为：

令F=3时，各方案结果比较：

上风方案结果为：

混合方案结果为：

幂方案结果为：

由上面的结果得：幂方案的精确度最高，混合方案其次，上风方案最低，F的值对最终的结果影响很大，而F=ρu，代表流动强度，当F>0时，F越大，φ分布受x=1边界面影响越大，反之，当F<0时，F越大，φ分布受x=0边界面影响越大。