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蒋殿春《高级微观经济学》
第13章 独占市场
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1．如果一个独占厂商面对的反需求函数是p?10?y，其边际成本是常数12，求厂商的利润最大化产量。
解：根据MR?MC，有：
10?2y?0.5
由此解出利润最大化产出为y??4.75。
2．市场反需求函数是p?100y，某独占厂商以两个工厂的生产来供给这个市场，成本
2函数分别是c1?y12?2y1和c2?2y2。求厂商在两个工厂的最佳产量。
解：根据两个工厂的成本函数，可得：
??4y2 c1??2y1?2，c2当y1?0，y2?12时，c??0??2，而工厂2的边际成本不超过2，故当y?12时厂商将只使用工厂2，此时y1?0，y2?y。
当y?12时，厂商要同时在两个工厂生产，产量分配依据边际成本相等原则，即2y1?2?4y2，从而得到y1?2y2?1。
由于y1?y2?y，所以有：
2y?1y?1，y2? 33根据需求函数，只要厂商的产量y?0，厂商总有收益R?py?100，这是与产量无关的
y1?一个常数。厂商要实现利润最大化，只需成本最小即可，而厂商的产量越小其成本也越小，但产量又不能为零，所以厂商只要选取一个非常小但又不为零的产量??0，按一开始的分析，让工厂2生产这个产量，闲置工厂1。
3．假设市场需求函数是p?10y?a?a?0?，独占厂商的成本函数c?y??y2。在什么条件下厂商的产量为正？
解：厂商的利润最大化问题为：
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一阶条件是：
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max?y?10y?a?y2?
10?1?a?y?a?2y?0
解得，y????5?1?a???1?1?a?。
由此，得到厂商有正产量的必要条件是a?1。此外，上述y?是使得厂商利润最大的产量，但若这一产量不能使得厂商获得正利润，它就不会投入生产。所以，还需要下式成立：
??y???10??5?1?a????1?a??1?a????5?1?a???2?1?a??0?a?0?
因此，可得当0?a?1时，厂商的产量为正。
4．下述因素对独占厂商的产量和价格有什么影响？ （1）需求增加；
（2）政府开征从价销售税；
（3）政府对超额利润以一定的比例征收一种所得税。 解：（1）在任何条件下，独占厂商的定价都遵从第13章中的一阶条件（13.2），如果在一开始的市场需求p?y?下均衡产量为y?，则：
p?y???y?p??y???c??y??
在其他条件不变的前提下，若需求增加，同样的供给下厂商可以索取更高的价格，即对任何y，都有q?y??p?y?，这里q?y?是新的（反）需求函数。在这种情况下，c??y?也应当增加以维持上述等式成立。由于标准的成本函数是凸的，c???y??0，这意味着c??y?是y的单增函数。所以，厂商的产量y会增加。但是，产品价格是升是降无法确定。
（2）如果政府开征从价销售税，从价税率是t??0,1?，消费者支付价格p时，厂商获得的价格只是?1?t?p，所以一阶条件变为：
?1?t???p?y??yp??y????c??y?
与无税收时候的一阶条件比较，等式左端值较小，右端c??y?也应当较小，从而此时的均衡产量会较低，从而导致市场价格将会上升。
（3）如果对超额利润以一定的比例征收一种所得税，由于对超额利润征收所得税不会改变厂商的边际成本，故p?y???y?p??y???c??y??在这种税收下不会受到影响，所得税不会影响市场价格。
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5．某市场由一个代表性的消费者构成，他有效用函数
U?x,b;q??4bx?q
这里b是商品x的质量变量。
（1）推导市场的反需求函数p?p?x,b?； （2）如果生产x商品的独占厂商成本函数是：
c?x,b??12x?b2? ?2求它的最优产量和产品质量；
（3）从社会角度来看，独占厂商的产品质量是过高还是过低？ 解：（1）在拟线性效用函数下，消费需求为：
p??U?x,b??x?2bx
（2）独占厂商的利润最大化问题是：
1?2b?max??x??x2?b2??
2?x?一阶条件是：
bx?x?0，2x?b?0
联立方程解得x??2，b??22。
（3）考虑Mashall剩余
M?x,b??4bx?12x?b2? ?2于是有，
?M?x,b??b?4x??b??42?22?22?0，这意味着厂商生产的产品质
?x,b???量低于社会最优水平。
6．某厂商在两个相互独立的市场上面对的需求函数分别是
y1?50?p1，y2?60?2p2
成本函数为C?y??2y?10。求它在这两个市场上的最优定价和供给。 解：首先将两个市场的需求函数改写为pi?Pi?yi?形式，有：
p1?50?y1，p2?30?1y2 2根据利润最大化一阶条件，得：
50?2y1?2，30?y2?2
解得，y1?24，y2?28；p1?26，p2?16。
7．在二级价格歧视模型中，如果独占厂商提供分别适用于两种消费者的二部价格
P1?x1??T1?cx1，P2?x2??T2?cx2
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求T1和T2的表达式。
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解：假定第i类（i?1,2）消费者的效用函数为Ui?xi,qi??ui?xi??q，它满足：
??x??u2??x? u1?x??u2?x?，u1根据本章中（13.34）和（13.35）
P1?u1?x1?，P2?u2?x2??u2?x1??P1
从而得到：
?T1?u1?x1??cx1?
??? T2?u2?x2ux?ux????????2111???其中，x1?,x2满足（13.37）和（13.38），
???x1u1??kc??1?k?u2??x1??
???x2u2??c
其中，k为第1种消费者所占比重，1?k为第2种消费者的比例。
8．如果一个边际成本为c的独占厂商在两个子市场都有线性需求：
xi?ai?bip i?1,2
ai,bi?0，且ai?cbi。试讨论厂商在两个市场统一定价和歧视定价的社会福利。
解：（1）如果厂商在两个市场统一定价，利润最大化问题是：
max??p?c??ai?bip?
一阶条件是：
??a?bp???b?p?c??0
iii解得：均衡价格p??a1?a2???b1?b2?c；
2?b1?b2?需求为xi?ai?bib?a?a2?bic?a1?a2???b1?b2?c?ai?i1?；
2?b1?b2?2?b1?b2?2市场总需求为Xi??xi?2（2）在歧视定价可行的情况，厂商利润最大化问题是：
max??pi?c??ai?bipi? i?1,2
?a1?a2???b1?b2?c。
由一阶条件，解得均衡价格和需求量：
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pi?ai?bica?bc，xi?ii 2bi2ai?bic?a1?a2???b1?b2?c? 22所以，市场总需求为：
X??xi??i?1i?122综合起来，两种定价方式下，市场总需求量相同，歧视定价并未增加市场总需求。从而
依据本章（13.46）可得，在这两个市场上歧视定价不可能提高社会福利。
9．一个边际成本为常数c的独占厂商面对的需求函数是x?x?p?。假设现在成本c变化，垄断价格无疑也要随之变化。证明：
（1）如果x?p??A?p，A?0，厂商通过价格只能将一部分成本变化转嫁到消费者头上（即dpdc?1）；
（2）如果x?p??p??，??1，价格变化幅度将大于成本变化的幅度（即dpdc?1）； （3）在什么样的需求函数下，价格变化幅度恰好等于成本变化的幅度（即dpdc?1）？ 证明：（1）由一阶必要条件得到：
A?2x?c
1?1，即厂商通过价格只能将一部分成本2均衡垄断价格p??A?c?2，从而有dpdc?变化转嫁到消费者头上。
（2）反需求函数为：p?x?1?，利润最大化的一阶必要条件为：
1???解得均衡垄断价格为：
?x?1??c
p?c? ??1??1，即价格变化幅度将大于成本变化的幅度。 ??1（3）当价格的变动不影响需求，即需求的价格弹性为零的情况下，价格变动恰好等于成本变动幅度。
10．某公司修建了一个游乐园，内有电动木马供人玩乐。每个潜在游客对电动木马的需求曲线如图所示，图中大写字母代表所在区域的面积。每人每乘一次电动木马，公司的成本是c?d，其中c是电费及设施磨损成本，d是乘坐券印刷及出售、回收成本。公司考虑下面两种收费办法：
办法1：同时收入场费和每次乘坐木马的乘坐费； 办法2：只收入场费（这样也就节约了成本d）。
（1）利用图中提供的信息，求两种收费办法下的最优入场费、公司利润，以及办法1中每次乘坐的票价。
（2）什么情况下办法2的利润会超过办法1的利润？
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（3）收费办法2有什么潜在的缺陷？
解：（1）如果运用办法1，厂商必须承担乘坐券成本d，因此边际成本为c?d，这显然就是每次乘坐的最优票价，而最优入场费为图中的A；
如果运用办法2，对于任意供给水平x，对厂商最有利的入场费水平是p?u??x?，由于
?现在厂商的边际成本是c，最优供给水平x2，满足：
?u??x2??p?x2???c
所以，入场费应定为A?B?C?D?E。
（2）如果厂商能有效地监控游客玩木马的次数，而且为此不导致额外的成本，那么办法2能带来更多利润。因为与办法1比较，额外的利润包括：避免乘坐券成本d带来的直接效应B，以及额外需求带来的间接效应C。
（3）如果不加控制，游客在购买入场券入场后，木马便成为了一定程度的公共物品，
?这会导致游客玩木马的次数达到x?x2，那么厂商将为游客多玩的次数埋单，额外承担F?G的成本，所以办法2最大的问题是如何控制游客玩木马的次数。由工作人员记录每个游客上木马的次数是可能的，但这通常也会导致较高的成本。当然在某些情况下，也许利用游客自身的竞争可以在一定程度上解决问题，如果游客较多，需要排队玩木马，那么每个人每次入场能玩的次数也就有限了。
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