2011-2012（二）通信、电子09级数字信号处理（A）参考答案及评分标准
一、选择题（四选一，每题1分，共10分）
1. 在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为Ωs，信号最高截止频率为Ωc，则折叠频率为( D ) A. Ωs
B. Ωc C. Ωc/2
D. Ωs/2
2. 如图所示的运算流图符号代表的基2FFT算法蝶形运算是（ B ） A. 按频率抽取 B. 按时间抽取 C. 两者都是
D. 两者都不是
3. 卷积δ(n-1)*f(n) 的结果是（ D ）
A．1 B．f(1) C．f(n) D. f(n-1) 4. 以下关于用双线性变换法设计IIR滤波器的论述中正确的是( B )
A.数字频率与模拟频率之间呈线性关系
B.总是将稳定的模拟滤波器映射为一个稳定的数字滤波器 C.使用的变换是s平面到z平面的多值映射 D.不宜用来设计高通和带阻滤波器 5. 系统y(n)?n??n0x(k)是（ D ）
k?n?n0 ①因果系统 ②非因果系统 ③ 稳定系统 ④不稳定系统
A．①，③ B．①，④ C．②，④ D．②，③ 6. 下列关于IIR滤波器的说法中正确的是（ A ）
A．IIR滤波器有反馈支路，其单位脉冲响应是无限长的 B．IIR滤波器没有反馈支路，其单位脉冲响应是无限长的 C．IIR滤波器没有反馈支路，其单位脉冲响应是有限长的 D．IIR滤波器有反馈支路，其单位脉冲响应是有限长的
7. 已知序列x(n) =δ(n)，10点的DFT［x(n)］ = X(k)（0 ≤k ≤ 9），则X(5) =( B )
A. 10 B. 1
C. 0
D. -10
8. 因果FIR滤波器的系统函数H(z)的全部极点都在( A )处。
A. z = 0
B. z = 1
C. z = j
D. z =∞
9. 下列序列中不是周期序列的为（ A ）
(?n) A．x1?n??3sin(5n)?5cos(?n) B．x1?n??3sin(5?n)?5cosC．x1(n)?e?j0.4?n?e?j0.8?n D．x1(n)?e?j0.4?n
10. 若序列的长度为M，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N需满足的条件是( A )。
A.N≥M B.N≤M C.N≤2M D.N≥2M
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 基2 FFT算法计算N = 2（L为整数）点DFT需 L 级蝶形。 2. 一个N点DFT可以看作Z变换在 单位圆 上等距离的采样值，采样间隔为
2?。 NL
3. 设系统的单位抽样响应为h(n)=δ(n)+2δ(n-1)+5δ(n-2)，其频率响应为H(ejw)?1?2e?jw?5e?2jw。 4. 序列x(n)?R3(n)可以用延时单位脉冲序列表示为x(n)??(n)??(n?1)??(n?2)。
5. 在对模拟信号进行采样时，若采样频率过低，会使得采样信号产生 频率混叠（混叠失真） ，从而不能再恢复出原有的信号。
三、判断题（每题2分，共10分）
1. 脉冲响应不变法存在着频率混叠失真，不能设计模拟高通滤波器。（ √ ） 2. 时不变系统必然是线性系统。（ × ）
3. 离散时间信号的傅里叶变换频谱是离散的。（ × ） 4. 具有线性相位的FIR滤波器一定是稳定的。( √ ) 5. 频率采样法是设计IIR滤波器的一种方法。（ × ）
四、完成下列各题（每题5分，共20分）
1. 简述用双线性法设计IIR数字低通滤波器设计的步骤。
答：确定数字滤波器的技术指标；将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标；按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器。（5分） 2. 用DFT对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？ 答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应。（5分） 3. 已知序列x(n)的傅里叶变换是X(ejw)，求序列x*(?n)的傅里叶变换。
解：
n????x(?n)e*??jwn?[?x(?n)e]?[?x(n)e?jwn]*?X*(ejw)（5分）
jwn*n???n?????4. 一个因果系统，它的输入x(n)和输出y(n)满足差分方程：
5y(n?1)?y(n)?y(n?1)?x(n)
2求系统的频率响应。 解：由已知可得Y(z)z?15?Y(z)?Y(z)z?X(z) （1分） 2H(z)?Y(z)1z （2分） ??55X(z)z??z?1z2?z?122jwH(ejw)?H(z)z?eejw? （2分）
5ej2w?ejw?12五、（8分）设xa(t)?sin(?t),x(n)?xa(nTs)?sin(?nTs)，其中Ts为采样周期。试求：
（1）xa(t)信号的模拟频率； （2）当Ts=1s时，数字频率； （3）Ω与ω的关系是什么？ 解：（1）???rad/s （3分）
（2）????Ts???1??rad （3分） （3）????Ts （2分）
六、（12分）设有一系统，其输入输出关系由以下差分方程确定y(n)?y(n?1)?x(n)?x(n?1)设
系统是因果的。
（1） Find unit pulse response，说明该系统是否稳定； （2） 由(1)的结果，求输入x(n)?ej?n1212的响应。
解：（1） 对差分方程两端分别进行z变换可得
Y(z)?1?11zY(z)?X(z)?z?1X(z)22
系统函数：
1?1zY(z)22 H(z)????1 （3分） X(z)1?1z?11?1z?1221? 系统函数H(z)仅有一个极点，z1=1/2，因为系统是因果的，故H(z)的收敛域必须包含∞，所以收敛域为|z|>1/2。 该收敛域又包括单位圆， 所以系统也是稳定的。 （3分） 对系统函数H(z)进行Z反变换，可得单位脉冲响应为
?1? h(n)?Z?1[H(z)]?2???u(n)??(n) 或
?2??1??1??1? h(n)???u(n)???u(n?1)??(n)????2??2??2?
?nnnn?1u(n?1)
y(n)?x(n)?h(n)? （2）
m????h(m)ej?(n?m)?ej?nm????h(m)e??j?m11?e?j?1?ej?nH(ej?)?ej?n?2?ej?n11?e?j?32 （6分）
七、（10分）设序列x(n)={1，3，2，1；n=0,1,2,3 }，另一序列h(n) ={1，2，1，2；n=0,1,2,3}，
（1）求两序列的线性卷积 yL(n)； （4分） （2）求两序列的6点循环卷积yC(n)。 （4分） （3）说明循环卷积能代替线性卷积的条件。（2分）
解: （1） yL(n)={1，5，9，10，10，5，2；n=0,1,2…6} （4分）
（2） yC(n)= {3，5，9，10，10，5；n=0,1,2,4,5} （4分） （3） c≥L1+L2-1 （2分）
八、（10分）试用冲激响应不变法与双线性变换法将以下模拟滤波器系统函数变换为数字滤波器系统
函数：H(s)=
2其中抽样周期T=1s。
(s?1)(s?3)解：
H(s)?111??(1?s)(s?3)1?ss?3TT?1?e?TZ?1s?e?3TZ?1……………（4分）
………………（1分）
（1）
H(z)?……………………
0.318z?1?1?0.418z?1?0.018z?22)H(z)?H(s)|s?21?ZT1?Z?1?1?221?Z?121?Z?1(1?)(3?)T1?Z?1T1?Z?1……
2?4z?1?2z?2…………………………… （5分） ??1?215?2z?z
九、（10分）已知FIR滤波器的单位响应脉冲为h(n)?{3,?2,1,0,1,?2,3},0?n?6。
(1)说明该系统的相位及幅度特性。 (2)画出线性相位结构图。
解：（1）由题中h(n)值可知，h(n)满足h(n)??h(N?1?n)，所以FIR滤波器具有B类相位，相位特性
为：
?(w)???N?12?w2???2?3w 由于N=7为奇数，幅度特性关于w?0,2?奇对称 （2）
x(n)z-1z-1z-1-1z-1-1z-1-1z-1321y(n)
2分） 2分） （6分）
（ （ 2011-2012（二）通信、电子09级数字信号处理（B）参考答案及评分标准
一、选择题（四选一，每题1分，共10分）
1. 直接计算N点DFT所需的复数加法次数正比于( B )
A. N B. N2
C. N3
D. Nlog2N
2. 下列关于DTFT的说法中正确的是（ C ）
A．DTFT就是离散信号的离散复立叶变换 B．DTFT频谱和DFT的频谱是一样的 C．DTFT是频率的周期函数，周期为2? D．以上说法都不对
n3. 对于x(n)=??1??4??u(n)的Z变换，下列表述正确的是( B )
A. 零点为z=14，极点为z=0 B. 零点为z=0，极点为z=14 C. 零点为z=
14，极点为z=1 D. 零点为z=
14，极点为z=2
4. 下列各种滤波器的结构中哪种不是I I R滤波器的基本结构( D )
A.直接型 B.级联型 C.并联型
D.频率抽样型
5. 下列关于FIR滤波器的说法错误的是（ C ）
A．FIR滤波器有级联型的网络结构
B．FIR滤波器是没有反馈支路的，即没有环路 C．FIR滤波器有并联型网络结构
D．FIR滤波器通过一定条件可以实现严格相位 6. 下列属于数字信号处理优点的是（ A ）
①精度高②灵活性强③功耗小④频率范围不受限制
A．①、② B．③、② C．①、③ D．②、④
7. 按时间抽取的基2 FFT算法与按频率抽取的基2 FFT算法的运算量之间关系是（ D A．大于 B. 小于 C．大于等于 D. 等于 8. 下列序列中属周期序列的是( D )
A. x(n)=δ(n) B. x(n)=u(n)
C. x(n)=R4(n)
D. x(n)=6
）9. 已知系统函数H(z)的收敛域为｜z｜>
1，则该系统是( C )。 4A. 非因果不系统 B. 因果不稳定系统 C. 因果稳定系统 D. 非因果稳定系统 10. 有限长序列h(n)(0≤n≤N-1)关于τ=
N-1偶对称的条件是( B )。 2A. h(n)=h(N-n) B. h(n)=h(N-n-1) C. h(n)=h(-n) D. h(n)=h(N+n-1)
二、填空题（每空2分，共10分）
1. FIR滤波器的网络结构主要包括直接型、级联型、 线性相位型 和频率采样型四种结构。 2. 用DFT对DTFT进行频率采样时，若时域采样频率为fs，序列的有限长度为N，则通常规定
频率分辨率。
3. 序列x(n) = 3sin(0.05πn)的周期等于 40 。
N 个蝶形运算组成。 2?5. 已知线性时不变系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是?h(n)??。
n???fs 为N4. 基2 FFT算法计算N = 2（L为整数）点DFT的每级由
L
三、判断题（每题2分，共10分）
1. 对于稳定系统而言，若输入是有界的，则输出必然有界。（ √ ）
2. 线性时不变系统因果稳定条件是系统函数H(z)全部极点在单位圆上。（ × ） 3. FIR离散系统的系统函数是z的多项式形式。（ √ ）
4. 栅栏效应是由于对无限长时间信号进行有限长度截取造成的。( × ) 5. 输入信号不同，则对应的系统频率响应特性也不同。（ × ）
四、完成下列各题（每题5分，共20分）
1. 简述使用FFT算法的原因是什么？
答：因直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N较大时，计算量太大，FFT算法可大大降低DFT的运算量，提高运算速度，所以用FFT算法进行谱分析和信号的实时处理。 2. 画出模拟信号数字化处理框图。 答：
3. 计算x(n)??(n?m)kn(0?m?N)的N点DFT。
解： X(k)?WN （5分）
4. 写出差分方程表示系统的直接型和级联型结构。 ．．
y(n)?311y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1) 483
（1）直接型 （2分）
（2）级联型
（3分）
五、（10分）设有一谱分析用的信号处理器，抽样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据
处理措施，要求频率分辨率?0.02kHz。如果采用的抽样时间间隔为0.05ms，试确定：（1）最小记录长度；（2）所允许处理信号的最高频率；（3）在一个记录中的最少点数。 解：（1）因为T0?（2）因为fs?11，而F0?0.02kHz，所以T0?，即最小记录长度为0.05s。（3分）
20F011?20kHz，而fs?2fh，所以fh?fs?10kHz，即允许处理的信号最高频率为10kHz。T2（3分）
（3）N?T0?1000，所以一个记录中的最少点数为N?210?1024。（4分） T六、（10分）已知两个序列x(n)?(n?1)R4(n)，h(n)?(4?n)R4(n)。
（1）计算其线性卷积x(n)?h(n)； （2）计算其圆周卷积 x ( n ) 4 h ( n )；
（3）在什么条件下圆周卷积等于线性卷积结果？
解:（1）x(n)?{1,2,3,4;n?0,1,2,3}，h(n)?{4,3,2,1;n?0,1,2,3}
x(n)?h(n)?{4,11,20,30,20,11,4;n?0,1,2,3,4,5,6} （4分）
x( (2) n ) 4 h ( n ) ?{24,22,24,30;n?0,1,2,3} （4分）
（3） 当圆周卷积长度L?7时，圆周卷积等于线性卷积。 （2分）
七、（10分）已知H(z)??3z?12?5z?1?2z?2，设H(z)为因果系统
（1）求出系统的极点，并判断系统稳定性。
（2）求出系统的单位脉冲响应。 解：（1）极点：2?5z?1?2z?2=0，z1?2,z2?1 （3分） 2因果系统稳定的充要条件是极点在单位圆内，本系统极点不都在单位圆内，故不稳定 （2分）
（2）H(z)??3z?12?5z?1?2z?2?22?z?1?11?2z?1
系统为因果系统，h(n)为右边序列
h(n)?(0.5n?2n)u(n) （5分）
八、（10
分）已知模拟滤波器的传递函数为Ha(s)?1，采样周期为T=0.1s，试用脉冲响应
s2?3s?2不变法及双线性变换法分别设计数字滤波器，求系统函数H(z)。 解： Ha(s)?11?1?? 2s?3s?2s?1s?20.10.1? （5分） ?0.1?1?0.2?11?ez1?ez（1） 由脉冲响应不变法可得H(z)?21?z?1（2） 由双线性变换法s?可得 ?1T1?z H(z)?1??1?z?1?1?z?1??3?20??2?20??1??1?1?z1?z????2(1?z?1)2? （5分） ?2?1342z?796z?462
九、（10分）已知
FIR滤波器的单位响应脉冲为
h(n)为N?6，h(0)?h(5)?2.5，
h(1)?h(4)?5，h(2)?h(3)?9
（1）说明该系统的相位特性和幅度特性。 （2）求出系统的系统函数H(Z)。 （3）判断系统稳定性。
解：(1)由已知h(n)满足h(n)?h(N?1?n)
所以FIR滤波器具有A类线性相位 相位特性为：
?(w)??wN?1??2.5w （2分） 2由于N=6为偶数，幅度特性关于w??奇对称 （2分） （2）
h(n)?2.5?(n)?5?(n?1)?9?(n?2)?9?(n?3)?5?(n?4)?2.5?(n?5)对?(n)?1及Z变换的移位性质?(n?m)?z?m由Z变换
可得
H(z)?2.5?5z?1?9z?2?9z?3?5z?4?2.5z?5 （3分）
（3）由传递函数H(z)可知，系统只在原点处有极点，收敛域包括单位圆，所以系统稳定（3分）