大学物理练习册—运动守恒定律

冲量和动量定理

3-1质量m=10kg的物体在力Fx=30+4t N的作用下沿x轴运动，试求（1）在开始2s内此力的冲量I；（2）

如冲量I=300N·s，此力的作用时间是多少？（3）如物体的初速v1=10m/s，在t=6.86s时，此物体的速度v2为多少？ 解：(1) Ix?(2) It??F0t2xdt??(30?4t)dt?68N?s

0t2?0Fxdt??(30?4t)dt?30t?2t02?300，t?6.86s

(3) I?p2?p1?mv2?mv1，t?6.86s，I?300N?s，v2?11(I?mv1)?(300?10?10)?20m/s m103-2质量m=1kg的物体沿x轴运动，所受的力如图3-2所示。t=0时，质点静止在坐标原点，试用牛顿定律

和动量定理分别求解t=7s时此质点的速度。

F/N ?2t0?t?510 解：(1) F?? ??5t?355?t?7v15dv25，mdv?2tdt，v1??2t?25(m/s)

00mdtv27dv 5?t?7，m??5t?35，mdv?(?5t?35)dt，

v15dt0?t?5，m????O 5 图3-2 7 t/s v2?35(m/s)

(2) I??701Fdt?(7?10)?35(N?s)，I?mv2?mv1?mv2，v2?35(m/s)

2动量守恒定律

3-3两球质量分别为m1=3.0g， m2=5.0g，在光滑的水平桌面上运动，用直角坐标xOy描述运动，两者速度

??????分别为v1?8icm/s，v2?(8i?16j)cm/s，若碰撞后两球合为一体，则碰撞后两球速度v的大小为多少？与x轴的夹角为多少？

????????解：系统动量守恒 (m1?m2)v?m1v1?m2v2?64i?80j， v?8i?10j

10?v?v?82?102?12.8cm/s，与x轴夹角 ??arctan?51.3?

83-4如图3-4所示，质量为M的1/4圆弧滑槽停在光滑的水平面上，一个质量为m的小物体自圆弧顶点由

静止下滑。求当小物体滑到底时，圆弧滑槽在水平面上移动的距离。 m 解：系统在水平方向动量守恒 mv?M(?V)?0，mv?MV

两边对整个下落过程积分 mvdt?MVdt

00?t?tR M 令s和S分别为m和M在水平方向的移动距离，则

s??t0vdt，S?Vdt，ms?MS。又 s?R?S，所以 S?0?tmR

m?M图3.4 另解：m相对于M在水平方向的速度 v??v?V?m?Mv。对整个下落过程积分 M?

t0v?dt?m?MM?t0vdt，R?mm?Ms，M在水平方向的移动距离 S?R?s?R Mm?M8

大学物理练习册—运动守恒定律

质心 质心运动定律

3-5求半径为R的半圆形匀质薄板的质心（如图3-3所示）。

2m解：设薄板质量为m，面密度为??2。由质量分布对称性知，质心在x轴上。

?R在距o点为x的地方取一宽度为dx细长条，对应的质量

dm?2?R?xdx，由质心定义

22y R O x xc??R0xdmm2??m?R04RxR?xdx?

3?22图3-5

3-6一根长为L，质量均匀的软绳，挂在一半径很小的光滑钉子上，如图3-6所示。开始时，BC=b，试用

质心的方法证明当BC=2L/3时，绳的加速度为a=g/3，速率为v?解：由软绳在运动方向的受力和牛顿定律

2g22(?L?bL?b2)。 L9B b C 图3-6 ?g[y?(L?y)]??La，a?12y?Lg，a2?g

y?L3L32y?Ldvdvdydva?g???v，

Ldtdydtdy?gvdv?0Lv?2L3b(2y?L)dy

v?2g?222???L?bL?b? L?9?L?bb?b?2222?L?2Lb?2b m2L另解(用质心)

(L?b)?当BC?b时，链系的质心为 yc???当BC?L时，链系的质心为 yc又重力的功等于物体动能的增量

235L 182g?2212???yc)，v???yc)?mv2，v2?2g(ycmg(yc??L?bL?b? L?92?

角动量（动量矩）及其守恒定律

3-7 已知质量为m的人造卫星在半径为r的圆轨道上运行，其角动量大小为L，求它的动能、势能和总能

m1m2，G为万有引力常数） r1L2L2解：L?rmv，v?，Ek?mv?

22mr2mrmMemMemMev2L2e2设地球质量Me，Ep??G，由牛顿定律 G2?m，G?mv，Ep??2

rrmrrr量。（引力势能Ep??G

9

大学物理练习册—运动守恒定律

L2L2L2?E?Ek?Ep????

2mr2mr22mr2???3-8质量为m的质点在xOy平面内运动，其位置矢量为r?acos?ti?bsin?tj，其中a、b、?为常量，

????dr解：(1) v???a?sin?ti?b?cos?tj

dt????? p?mv?m?(?asin?ti?bcos?tj)，p?p?m?a2sin2?t?b2cos?t

(2) L?r?p?(acos?ti?bsin?tj)?m?(?asin?ti?bcos?tj)?abm?k

3-9质量均为m的两个小球a和b固定在长为l的刚性轻质细杆的两端，杆可在水平面上绕O点轴自由转

?动，杆原来静止。现有一个质量也为m的小球c，垂直于杆以水平速度vo与b球碰撞（如图3-9所示），并粘在一起。求（1）碰撞前c球相对于O的角动量的大小和方向；（2）碰撞后杆转动角速度。

??3?解：(1) L?r?mv0 方向垂直纸面向下。L?rmv0?lmv0 c 4a O b (2) 系统对o点的角动量守恒。设碰撞后杆的角速度为?，则

m l/4 12v033311 lm0 v?l?(2m)?(l?)?l?m?(l?)，??l 求（1）质点动量的大小；（2）质点相对于原点的角动量。

????????m

?v0m

4444419l功和动能定理

3-10一人从10m深的井中提水，已知水桶与水共重10kg，求（1）匀速上提时，人所作的功；（2）以a=0.1m/s2

匀加速上提时，人所作的功；（3）若水桶匀速上提过程中，水以0.2kg/m的速率漏水，则人所作的功为多少？ 解：(1) F?mg?0，F?mg，A?图3.9 ?100Fdy??100mgdy?980J

(2) F?mg?ma，F?m(g?a)，A??100Fdy??0100m(g?a)dy?990J

(3) F?(m?0.2y)g?0，F?(m?0.2y)g，A??10Fdy??100g(m?0.2y)dy?882J

3-11质量m=6kg的物体，在力Fx=3+4x N的作用下，自静止开始沿x轴运动了3m，若不计摩擦，求（1）

力Fx所作的功；（2）此时物体的速度；（3）此时物体的加速度。 解：(1) A??30Fxdx??(3?4x)dx?27J

03(2) 由动能定理 A?2A131212?3m/s mv2?mv1?mv2，v2?m222(3) 由牛顿定律 ax?Fx3?4?3??2.5m/s2 m63-12质量为m的物体自静止出发沿x轴运动，设所受外力为Fx=bt，b为常量，求在T s内此力所作的功。

tvbt2bT2dv解：由牛顿定律 F?bt?m，btdt?mdv，v?，t?T时，v?

002m2mdt111b2T4222由动能定理 A?mv?mv0?mv?

2228m?? 10

大学物理练习册—运动守恒定律

bt2dt，A?Fxdx?另解：dx?vdt?2m??T0bt2b2T4btdt? 2m8m保守力的功和势能

3-13质量为m的小球系在长为l的轻绳一端，绳的另一端固定，把小球拉至水平位置，从静止释放，如图

????3-13所示，当小球下摆?角时，（1）绳中张力T对小球做功吗？合外力F?T?mg对小球所做的功为多少？（2）在此过程中，小球势能的增量为多少？并与（1）的结果比较；（3）利用动能定理求小球下摆?角时的速率。

?????解：(1) T?dr，AT?T?dr?0，张力T对小球不做功。

O ?AF?????(T?mg)?dr????mg?dr??mg????j?(dxi?dyj)

?T图3-13 ??mg?y2y1dy?mglsin??mg(2) ?Ep?mg(y2?y1)??mglsin?，可见重力的功等于小球势能增量的负值。 (3) 由动能定理 mglsin??12mv，v?2glsin? 23-14质量为 m 的质点沿 x 轴正方向运动，它受到两个力的作用，一个力是指向原点、大小为 B 的常力，

另一个力沿 x 轴正方向、大小为 A/x2，A、B为常数。（1）试确定质点的平衡位置；（2）求当质点从平衡位置运动到任意位置 x 处时两力各做的功，并判断两力是否为保守力；（3）以平衡位置为势能零点，求任意位置处质点的势能。 解：(1) F?A?B，F?0时，x0?2xA B(2) A1??xx0F1dx??xx0A11dx?A(?)，A2?x2x0x?xx0F2dx??xx0?Bdx?B(x0?x)

A1、A2只与始末位置有关，即两力均为保守力。 (3) Ep??x0xFdx??x0x(A11A?B)dx?A(?)?B(x?x)??Bx?2AB 0x2xx0x功能原理和机械能守恒

3-15 如图3-15所示，一质量为 m’ 的物块放置在斜面的最底端A处，斜面的倾角为 ? ，高度为 h，物

?块与斜面的动摩擦因数为? ，今有一质量为 m 的子弹以速度v0沿水平方向射入物块并留在其中，且

使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。 解：以物块和子弹为研究对象，碰撞前后系统沿平行斜面方向动量守恒

子弹射入物块后的速度大小为v1，则

?v0A h mv0cos?mv0cos??(m?m?)v1，v1?

?m?m? 图3.15

取斜面底部为势能零点，物块滑出顶端时的速度大小为v2，由功能定理

?(m?m?)gcos?h112?(m?m?)v12?(m?m?)v2?(m?m?)gh sin?22 11