(2)从34种可选商品中，选取3种，有C34种或者C35－C34＝C34＝5 984(种). ∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C20C15＝2 100(种). ∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.
(4)选取2种假货有C20C15种，选取3种假货有C15种，共有选取方式C20C15＋C15＝2 100＋455＝2 555(种).
∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.
(5)选取3种的总数为C35，选取3种假货有C15种，因此共有选取方式 C35－C15＝6 545－455＝6 090(种).
∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种. 规律方法 组合问题常有以下两类题型变化：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
【训练2】 (1)(一题多解)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( ) A.14
B.24
C.28
D.48
3
3
3
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3323
(2)(2019·杭州二模)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A.60种
B.63种
C.65种
D.66种
解析 (1)法一 4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为
C2·C4＋C2·C4＝2×4＋1×6＝14.
法二 从4男2女中选4人共有C6种选法，4名都是男生的选法有C4种，故至少有1名女生的选派方案种数为C6－C4＝15－1＝14.
(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C5＋C4＋C5C4＝66(种). 答案 (1)A (2)D
5
4
4
22
4
4
4
4
1
3
2
2
考点三 分组、分配问题
【例3】 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.
(2)(2019·西安月考)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( ) A.80种
B.90种
C.120种
D.150种
(3)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌上开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有( ) A.24种
B.30种
C.48种
222
D.60种
C6C4C2
解析 (1)先把6个毕业生平均分成3组，有3种方法，再将3组毕业生分到3所学校，
A3C6C4C23
有A＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有3·A3＝90种分派方法.
A3
33
222
C5C3C1
(2)分两类：一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有2种，第二步将分A2C5C3C13
好的3组分派到3个学校，则有2·A3＝90种分派方法；
A2
C5C2C1
另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有2种，第二步将分好的3组
A2C5C2C13
分派到3个学校，则有2A3＝60种分派方法.
A2所以不同的分派方法的种数为90＋60＝150(种).
(3)B，C二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B，C可以交换位置，有A2＝2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有A3＝6种情况，故共有4×2×6＝48种情况. 答案 (1)90
(2)D
(3)C
3
2
311
311
221
221
规律方法 1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以An(n为均分的组数)，避免重复计数. 2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题. 【训练3】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项
6
n工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A.12种
B.18种
C.24种
D.36种
(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).
C4C2C1
解析 (1)先把4项工作分为2，1，1共3组，有2＝6种分法，再将3组对应3个志愿
A2者，有A3＝6种情况，由分步乘法计数原理，故安排方式有6×6＝36种.
(2)分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C3C1A4＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A4＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种). 答案 (1)D (2)60
[思维升华]
1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数. 2.排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件. [易错防范]
1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合.
2.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.
基础巩固题组 (建议用时：35分钟)
一、选择题
1.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
7
3
212
3
211
A.8 B.24
1
C.48
3
13
D.120
解析 末位数字排法有A2种，其他位置排法有A4种，共有A2A4＝48(种). 答案 C
2.不等式A8<6×A8的解集为( ) A.{2，8} 解析
2
xx－2
B.{2，6} C.{7，12} D.{8}
8！8！
<6×，
（8－x）！（10－x）！
∴x－19x＋84<0，解得7 3.从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有( ) A.180种 B.220种 C.240种 D.260种 * 解析 因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有A4·A5＝240种. 答案 C 4.(一题多解)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( ) A.18 B.24 C.30 21 1 3 D.36 解析 法一 选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C4C3＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C4C3＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C4C3＋C4C3＝30种. 法二 从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C7－C4－C3＝30. 答案 C 5.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是( ) A.9 B.10 C.18 D.20 3 3 3 12 21 12 解析 由于lg a－lg b＝lg (a＞0，b＞0)， 8 ab