平顶山学院教案
建立系统数学模型的几个步骤：
? ?
建立物理模型。
列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等） ?
选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。
实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。
输入（已知）黑匣子 数学模型的逼近
输出（已知）
数学模型有多种表现形式
一、时域 1微分方程－输入量和状态变量都是连续的。集总参数偏微分方程，分布参数
2差分方程－离散系统
二、复域 1传递函数
2 结构图－信号流图
三、频率－频率特性，波特图
连续系统－微分方程 1线性微分方程 线性系统
时 2常系数线性微分方程 线性定常系统 线性时变系统 3偏微分方程－分布参数系统 域 4非线性微分方程
离散系统－差分方程
2.1 控制系统的时域数学模型 2.1.1线性元件的微分方程
例2-1 图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以U1（t）为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。
R1R2解： 设回路电流
i1、i2
根
据克希霍夫定律，列写
U1C1C2U2方程
U1?R1i1?Uc1①
图2-1 RC组成的四端网络平顶山学院教案
Uc1?1(i1?i2)dt?C1 ②
Uc1?R2i2?Uc2 ③ Uc2?1i2dtC2? ④
由④、⑤得
U2?Uc2 ⑤
i2?C2由②导出
dUc2dU2?C2 dtdt 将i1、i2代入①、③，则得
i1?C1dUc1dUc1dU2?i2?C1?C2dtdtdt
U1?R1?R2i2?Uc2
?R1(C1dUc1dU2dU2?C2)?R2C2?U2dtdtdt
?R1[C1dU2dU2d(R2i2?U2)?C2]?R2C2?U2dtdtdt
d2U2dU2dU2dU2?R1C1R2C2?RC?RC?RC?U111222dtdtdtdt2d2U2dU2R1R2C1C2?(RC?RC?RC)?U2?U11112222dtdt
这就是RC组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。
例2-2 试证明图2-2(a)、(b)所示的机、电系统是相似系统(即两系统具有相同的数学模型)。
解： 对机械网络：输入为Xr，输出为Xc，根据力平衡，可列出其运动方程式
K1(Xr-Xc)?B1(Xr-Xc)?K2Xc?B2Xc(B?B)Xc?(K1?K2)Xc?B1Xr?K1Xr?????
2 1对电气网络(b)，列写电路方程如下：
R2i?
11idt?Ri?idt?Ur1C2?C1?
平顶山学院教案
①
②
③
④
利用②、③、④求出
Uc2 Uc1
C1Uc1?C2Uc2
Uc?R1i?Uc1
(R1?R2)i?Uc1?Uc2?Ur
C1)UcC2i?C1R1?R2?(1?)R1C2
Ur?(1?代入①
将①两边微分得
?111(R1?R2)Uc?(?)Uc?R1Ur?UrC1C2C1
?力-电压相似
机械 电气
B1 阻尼 R1 电阻 B2 R2
1K1 弹性系数 C1 1K2 弹性系数 C2
可见，机系统（a）和电系统（b）具有相同的数学模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络）
相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。
为我们利用简单易实现的系统（如电的系统）去研究机械系统...... 因为一般来说，电的或电子的系统更容易，通过试验进行研究。
例3 图2-3 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)（v）为输入量，电动机转速ωm（t）（rad/s）为输出量，列写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。
平顶山学院教案
解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia（t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。
·电枢回路电压平衡方程：
＋-La＋UaiaifRaWmEaSM负载Jm,fm-图2-3 电枢控制直流电动机原理图Ua(t)?Ladia(t)?Raia(t)?Eadt ①
Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正
比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即
Ea=Ceωm（t） Ce－反电势系数（v/rad/s） ②
·电磁转距方程： Mm(t)=Cmia(t) ③
Cm-电动机转距系数（N·M/A）是电动机转距系数。 Mm(t)-是由电枢电流产生的电磁转距（N·M）
·电动机轴上的转距平衡方程：
Jmd?m(t)?fm?m(t)?Mm(t)?Mc(t)dt ④
2Jm－转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kg·m·s fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数（N·m/rad/s）
③、④求出ia(t)，代入①同时②亦代入①得：
d2?m(t)d?(t)LaJm?(Lafm?RaJm)m?(Rafm?CmCe)?m(t)dtdtdMc(t)?CmUa(t)?La?RaMc(t)dt ⑤
在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而⑤可简化为
Tmd?m(t)??m(t)?K1Ua(t)?K2Mc(t)dt ⑥
Tm?式中
RaJmRafm?CmCe 电动机机电时间常数（s）