第四章 刚体的转动 问题

4-1 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一个点在转轴与边缘之间的一半处。试问：在?t时间内，哪一个点运动的路程较长？哪一个点转过的角度较大？哪一个点具有较大的线速度、角速度、线加速度和角加速度？ ? 解 在一定时间内，处于边缘的点，运动的路程较长，

P 线速度较大；它们转动的角度、角速度都相等；线加速度、角加速度都为零。

考虑飞轮上任一点P，它随飞轮绕转轴转动，设角速度为?，飞轮半径为r。

在?t内，点P运动的路程为lP?rP??t，对于任意点的角速度?恒定，所以离轴越远的点（rP越大）运动的路程越长。又因为点P的线速度vP?rP?，即离轴越远，线速度也越大。

同理，点P转动的角度?P???t，对于飞轮上任一个点绕轴转动的角速度?都相等，即在相等的时间内，飞轮上的点转动的角度都相等。

d?d??0，角加速度?P??0. 又角速度?恒定，即线加速度aP?rPdtdt

4-2 如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？

解 不一定。

如图（a）轻杆（杆长为l）在水平面内受力F1与F2大小相等方向相反，合力为零，但它们相对垂直平面内通过O点的固定轴的力矩M?F1l不为零。

如图（b），一小球在绳拉力作用下在水平面内绕固定轴作圆周运动，小球所受的合外力通过O点，它所受的力矩为零。

4-3 有两个飞轮，一个是木制的，周围镶上铁制的轮缘，另一个是铁制的，周围镶上木制的轮缘，若这两个飞轮的半径相同，总质量相等，以相同的角速度绕通过飞轮中心的轴转动，哪一个飞轮的动能较大。

O F1O F F2 （a） （b）

解 两飞轮的半径、质量都相同，但木制飞轮的质量重心靠近轮缘，其转动惯量要大于铁制轮缘。飞轮的动能Ek?大。即木制飞轮动能较大。

4-4 如本题图所示，有5个质点，它们具有相同的质量m和速度v，对参考点

O，它们的角动量的大小和方向是否相同？

① ② L?mr?v ③ 其方向垂直于r与v的平面，且遵守右手法则，④ 应用于本题中的5个质点可知，质点①与⑤、质⑤ 12J?，?相同，转动惯量J越大，动能越

2解 由角动量定义得

v

r O 点②与④的角动量大小相等方向相反，质点③的

速度方向通过参考点，角动量为零。

4-5 如果一个质点系的总角动量等于零，能否说此质点系中每一个质点都是静止的？如果一质点系的总角动量为一常量，能否说作用在质点系上的合外力为零？

解 不能。由L?mr?v知，若质点的速度方向所在的直线通过参考点，即

r?v=0，此时角动量为零，但质点速度可以不为零；由角动量守恒定理可知质点

系所受的力矩M为零时，L?mr?v=常量， 但此时合外力并不一定为零，例如，当质点系所受的合外力为有心力时，仍能满足总角动量为常量。

4-6 一人坐在角速度为?0的转台上，手持一个旋转着的飞轮，其转轴垂直地面，角速度为??，如果突然使飞轮的转轴倒转，将会发生什么情况？设转台和人的转动惯量为J，飞轮的转动惯量为J?.

解 考虑人、转台与飞轮组成的系统，飞轮轮轴倒转的过程满足角动量守恒， J?0?J????J??J??? 则人与转台的角速度增大为???0?

4-7 下面几个物理量中，哪些与原点的选择有关，哪些与原点的选择无关：（1）位矢，（2）位移，（3）速度，（4）角动量。

解 位矢、角动量与原点的选择有关，位移与速度与原点的选择无关。

4-8 卫星绕地球运动。设想卫星上有一个窗口，此窗口远离地球。若欲使卫星中的宇航员依靠自己的能力，从窗口看到地球。这位宇航员怎样做才能使窗口朝向地球呢？

2J???J

习题

4-1 一汽车发动机曲轴的转速在12s内由1.2?103r?min?1均匀的增加到

3?1求曲轴转动的角加速度；（2）在此时间内，曲轴转了多少转？ 2.7?10r?min（1）

解 （1）由角速度??2?n，其中n为转速， d?又转动角加速度??，所以曲轴转动的角加速度为

dt?????0t?2?n?n0t?13.1s?2

（2）曲轴做匀变速转动，曲轴转过的角度

???0??t???n?n0?t

2当t?12s，曲轴转过的圈数为

?N?2??390

4-2 一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为2.03?103N?m，涡轮的转动惯量为25.0?k2当轮的转速由2.80?103r?min?1增大到g.m1.12?10r?min，所经历的时间t为多少？

4?1解 由题意可知，作用在涡轮上的力矩M恒定，由角动量定理可知

???J0 Mt?JJ????0?Mt??2?J?n?n0?M

代入数据得 t?10.8 s

4-3 用落体观察法测定飞轮的转动惯量，是将半径为R的飞轮支承在O点上，然后在绕过飞轮的绳子的一端挂在一质量为m的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞轮转动（如图）。记下重物下落的距离和时间，就可算出飞轮的转动惯量。试写出它的计算式。（假设轴承间无摩擦）

解 由题意分析可知，飞轮受重力和绳中张力力作用向下匀加速运动，同时带动飞轮加速转动。 如图，对重物由牛顿定律有

R ? FT? FT a

mg mg?FT?ma

对于飞轮，由转动定律有

FT?R?J?

其中FT?FT? ，a?R?（绳子不可拉长）， 又重物以初速度为零下落，其下落高度为

h?12at

2综合以上几式可得飞轮的转动惯量为

?gt2?J?mR??1?

?2h?2

4-4 一飞轮由一直径为30cm，厚度为2.0cm的圆盘和两个直径都为10cm，长为8.0cm的共轴圆柱体组成，设飞轮的密度为7.8?103kg?m?3，求飞轮对轴的转动惯量。

解 圆柱体对中心轴的转动惯量为

?d?J1?m1?1?

2?2?12d1 d2圆盘对中心轴的转动惯量为

?d? J2?m2?2?

2?2?1?d??d?其中m1???1?l1?? m2???2?l2??

?2??2?222l2 l1 由转动惯量的叠加性可得飞轮对轴的转动惯量为 J?2J1?J2

?g m由以上几式可得 J?0.136k2

4-5 质量面密度为?的均匀矩形板，试证通过与板面垂直的几何中心轴线的转动惯量为

?22lb?l?b?，其中l为矩形板的长，b为它的宽。

12y b2 l2O x