第四章 刚体转动 下载本文

解 如图,取矩形板所在平面为坐标面Oxy,原点为轴线与平面的垂足点。在板上取一质元dm??dxdy,由转动惯量的定义知这一质元对轴线的转动惯量为

dJ?rdm??x?y222??dxdy

2将上式对x、y积分得整个板对轴线的转动惯量为

J?????l2l2b2?b2?x22?y?dxdy

?

?lb12?l2?b?

4-6 如图所示,质量m1?16kg的实心圆柱体A,其半径为r?15cm,可以绕其固定水平轴转动,阻力忽略不计。一条轻的柔绳绕在圆柱体上,其另一端系一个质量m2?8.0kg的物体B,求:(1)物体B由静止开始下降1.0s后的距离;(2)绳的张力。

解 (1) A、B受力分析如图所示。设物体B向下运动的加速度为a,由牛顿定律得

m2g?FT?m2a

A FN ? FT? FT

r 对于圆柱体A,重力和轴对它的支持力平衡,它在绳子张力作用下加速转动,由转动定律

FT?r?J??12m1r?

2m1g B a

m2g

又FT?FT?,且a?r?

综合上几式可得物体B下落的加速度大小为

a?2m2gm1?2m2

1当t?1.0s时物体下落的距离为 h?2将加速度表达式及相关数据代入得 h?2.45m

at

2(2)由上问可知,绳中张力为

FT?m2g?m2a?m1m2m1?2m2g?39.2N

4-7 质量为m1和m2的两物体A、B分别悬挂在如图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别为R和r,两轮的转动惯量分别为J1和J2,轮与轴承间的摩擦力略去不计,绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。

解 组合轮与两物体的受力分析如图所示,组合轮为一个整体,它所受的重力和支持力平衡,只在两绳的张力作用下转动,设转动加速度为?,由转动定律得

?R?FT2?r?J???J1?J2?? FT1FT?2 FT2 FN ?

r R FT?1

对于物体A、B,由牛顿定律有

P m1g?FT1?m1a1 FT2?m2g?m2a2

FT1

B A m1g

m2g

?,FT2?FT?2,a1?R?,a2?r? 又FT1?FT1综合以上几式可得

a1?m1R?m2rJ1?J2?m1R?m2rm1R?m2rJ1?J2?m1R?m2r222gR

a2?22gr

FT1?J1?J2?m2r?m2RrJ1?J2?m1R?m2r222m1g

FT2?J1?J2?m1R?m1RrJ1?J2?m1R?m2r22m2g

4-8 如图所示装置,定滑轮的半径为r,绕转轴的转动惯量为J,滑轮两边分别悬挂质量为m1和m2的物体A、B。A置于倾角为?的斜面上,它和斜面间的摩擦

因数为?,若B向下作加速运动时,求:(1)其下落的加速度大小;(2)滑轮两边绳子的张力。(设绳的质量及伸长均不计,绳与滑轮间无滑动,滑轮轴光滑)

解 如图,对滑轮及两物体分别进行

FN Ff FN

FT1 FT?1 FT?2

m1gA P FT2

B m2g

受力分析,物体B向下加速运动,带动滑轮转动,及物体A沿斜面向上运动。 对于物体A,设它沿斜面滑动的加速度大小为a1,由牛顿定律有

FT1?m1gsin???m1gcos??m1a1

同样,对于物体B有

m2g?FT2?m2a2

对于滑轮,由转动定律可知

FT?2r?FT?1r?J?

其中FT1?FT?1 ,FT2?FT?2

又绳子无伸长,绳与滑轮间无滑动,所以有 a1?a2?r? 综合上几式可得 物体B下落的加速度大小为

a2?a1?m2g?m1gsin???m1gcos?m1?m2?Jr2

两边绳中张力大小分别为

FT1?m1m2g?1?sin???cos????sin???cos??m1gJrm1?m2?Jr22

FT2?m1m2g?1?sin???cos???m2gJrm1?m2?Jr22

4-9 一质量为m?、半径为R的均匀圆盘,通过其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度?转动,若在某时刻,一质量为m的小碎片从盘边缘裂开,且恰好沿垂直方向上抛,问它可能达到的高度是多少?破裂后圆盘的角动量为多大?

解 (1) 小碎片裂开竖直上抛的初速度大小等于圆盘边缘上点的线速度,即

v0?R?

R由运动学公式可知,碎片能达到的高度是

h?v022g?R?2g22

(2)圆盘破裂时,由角动量守恒有

L0?L?L?

L0?12m?R?为破裂前整个圆盘对轴的角动量,L?mR?为破裂后碎片的角动

22量,所以破裂后圆盘的角动量为

?1?2L??L0?L??m??m?R?

?2?

4-10 在光滑的水平面上有一木杆,其质量m1?1.0kg,长l?40cm,可绕通过其中点并与之垂直的轴转动。一质量为m2?10g的子弹,以v?2.0?102m?s?1的速度射入杆端,其方向与杆及轴正交。若子弹陷入杆中,试求所得到的角速度。 解 考虑子弹与杆所组成的系统,子弹射入杆的过程无

外力矩,满足角动量守恒,设子弹陷入杆后二者的角速度为

?,则有,

J2?2??J1?J2?? (1)

v 2其中J1?m1l12为木杆绕轴的转动惯量,

l O m1

m2 J2?m2?l2?为子弹射入杆之前绕轴的转动惯量,且它绕

2轴的角速度为?2?2vl,代入(1)式可得,子弹陷入杆中,所得到的角速度为

??

J2?J1?J2?6m2v?m1?3m2?l?29.1s?1

4-11 半径分别为r1、r2的两个薄伞形轮,它们各自对通过盘心且垂直盘面转轴的转动惯量为J1、J2,开始时轮I以角速度?0转动,问与轮II成正交啮合后(如图所

?0 I r1 示),两轮的角速度多大?

解 两轮在啮合的过程中存在相互作用力,轮I转速减小,轮II的转速度则由零开始逐渐增大,直到二者达到相同的线速度。 设啮合过程产生的相互作用力大小为F,

r2 II