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16．e 2【解析】 【分析】
先构造函数f1?x??f?x??12x，研究其单调性与奇偶性，再化简不等式2f(x)?1?f(1?x)?x，解得x0取值范围，最后根据不动点定义，利用导数求出a的范围，2即得最小值. 【详解】
由f??x??f?x??x，令f1?x??f?x??212x， 2则f1?x?为奇函数，当x?0时，f1??x??f??x??x?0， 所以f1?x?在???,0?上单调递减， 所以f1?x?在R上单调递减，
??1x?xfx??f1?x?x因为存在0??????，
2??所以f1?x0??f1?1?x0?， 所以x0?1?x0，即x0?1. 2因为x0为函数g?x?一个不动点， 所以g?x??x在x?1时有解， 2x令h?x??g?x??x?e?ex?a,x?1， 211x因为当x?时，h??x??e?e?e2?e?0，
2所以函数h?x?在x????,?时单调递减，且x???时，h?x????，
2??1??所以只需h?【点睛】
1?1?e?e?e?a?0. ，得a??22?2?本题考查函数奇偶性、单调性以及利用导数研究方程有解问题，考查综合分析求解能力，属
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难题.
17．（1）a??1或4；（2）a?2；（3）?2,4? 【解析】 【分析】
（1）根据复数为实数条件列方程解得结果，（2）根据纯虚数定义列式求解，（3）根据复数几何意义列不等式解得结果 【详解】
（1）因为复数z为实数，所以a2?3a?4?0， 所以a??1或4；
?a2?a?2?0（2）因为复数z为纯虚数，所以?2，
?a?3a?4?0所以a?2
?a2?a?2?0 （3）因为z对应的点在第四象限，所以?2a?3a?4?0?解不等式组得，2?a?4， 即a的取值范围是?2,4?. 【点睛】
本题考查复数相关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
18．（1）该社区不可称为“健身社区”；（2）能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关. 【解析】 【分析】
（1）计算平均数，再比较数据大小作出判断（2）先求卡方，再对照参考数据作出判断 【详解】
（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为
1.2?40?0.8?10?1.5?30?0.7?20?1.15小时，
100由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时， 因为1.15小时?7小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”； 6答案第8页，总14页
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（2）由联立表可得，
2nad?bc??10040?20?30?10??K2???4.762?3.840，
?a?b??c?d??a?c??b?d?70?30?50?502所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关. 【点睛】
本题考查计算平均数以及卡方计算，考查基本分析求解判断能力，属基础题. 19．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（I）先依题意预测出高三的6次考试成绩，由平均数的公式，分别计算即可; （Ⅱ）由题意先写出随机变量X的取值，以及对应的概率，即可求出分布列和期望. 【详解】
（I）由已知，预测高三的6次考试成绩如下：
第1次考 试 甲 乙
甲高三的6次考试平均成绩为
78 81 试 86 85 试 89 92 试 96 94 试 98 96 试 100 100 第2次考第3次考第4次考第5次考第6次考78?86?89?96?98?1001?91，
66乙高三的6次考试平均成绩为
81?85?92?94?96?1001?91
63所以预测：在将要进行的高三6次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别约为91，91. （Ⅱ）因为X为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值， 所以X=0，1，2，3 所以P?X?0??112121，P?X?1??，P?X?2???，P?X?3???. 666363答案第9页，总14页
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所以X的分布列为
X P
所以E?X??0?【点睛】
0 1 2 3 1 61 61 31 3111111?1??2??3?? 66336本题主要考查平均数的计算以及离散型随机变量的分布列与期望，属于基础题型. 20．（1）证明见解析，y??a?1?x??a?1?；（2）?3ln2,?2 【解析】 【分析】
（1）将函数解析式重新整理，解得定点，再求导数，根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式得切线方程，（2）先解出a?1，再利用导数求函数值域. 【详解】
（1）因为f?x??ax?所以f1=-2，
所以函数f?x?的图像经过一个定点A?1,?2?， 因为f??x??a???22?3lnx?a?a?x?1???3lnx， xx()23?， x2x所以切线的斜率k?f??1??a?1，.
所以在A点处的切线方程为y?f??2???a?1??x?1?， 即y??a?1?x??a?1?； （2）因为f??故f?x??x??2??2???af，????1，所以a?1， ?3??3?2?3lnx?1， x答案第10页，总14页