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文章发布时间 : 2024/5/3 17:21:02星期五

1、加减数字谜???????????????????????????1

2、除法??????????????????????????????6

3、时间与日期???????????????????????????11

4、和差问题????????????????????????????16

5、乘法数字谜???????????????????????????20

6、乘法巧算????????????????????????????25

7、找规律计算???????????????????????????30

8、对称图形????????????????????????????36

9、最佳安排????????????????????????????41

10、长方形和正方形的面积（一）?????????????????? 45

11、长方形和正方形的面积（二）?????????????????? 49

12、开放实践题?????????????????????????? 53

13、移多补少与求平均数?????????????????????? 57

加减数字谜

问题一、在□内填入合适的数字，使竖式成立。

□ 9 1 想:从最高位分析,必为1，因为两个解： 9 9 1 + □ 1 □ 数字相加中最大为9+9=18，而和要 + 9 1 9 □ 9 1 □ 得19，所以十位必须想百位进一， 1 9 1 0

而个位1只能加9，才能向十位进一满足十位进一后仍然得1的条件。

点拨：（1）观察最高位，再看最低位，注意有进位。（2）加法中两个数字相加，只能向前一位进一。试一试

在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式成立.

□ 8 2 □ 7 □ □ 9 □ + □ 1 □ + □ 1 4 + □ 1 1 □ 9 0 □

□ 8 □ □

□ 7 1 □ 问题二、在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式成立.

1 □

想:①从个位思考，5只有加9个位才得4，解： 1 9 + □ □ 5 所以个位上应填9。②再从百位思考， + 9 8 5

□ □ □ 4 只有一个数字，相加的和要向千位进1 0 0 4

一，所以百位和千位只能是9、1。③十或 1 9 位的数选择性比较多，只要和1相加有 + 9 9 5

进位就可以，所以可以填8或9。

1 0 1 4

点拨：从最低位算起，依次往前顺推，但要注意有进位。试一试

在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式成立.

□ 8 7 6 4 □ □ □ □ 3 + 9 □ 5 + □ □ 7 8 + 2 □ □ 8 5 4

□ 0 2 6

□ □ □ 2 问题三、在下面的算式内，各填上一个合适的数字，使等式成立。

□ □ □ 想：①个位：5+7=12，所以个位填2。解： 9 2 2 - □ 8 5 ②十位：8+3+1=12，所以十位填2。 - 2 8 5 6 3 7

③百位：由于十位借一，所以6+1=7，6 3 7

在十个数字中只有9-2=7，8-1=7，或 8 2 2 所以本题有两个答案。

- 1 8 5 2

6 3 7

点拨：差加减数等于被减数，逆着推理，但要注意退位。试一试

在下面的算式内，各填上一个合适的数字，使等式成立。

□ □ □ - □ 8 5 5 4 8

□ □ □ - □ 8 7 7 3 7

□ □ □ - 2 □ 5 8 3 7

问题四、在下面的算式内，各填上一个合适的数字，使等式成立。

5 6 □ - □ □ 7 □ 9 4

想：从个位推：7+4=11，个位为1；十位6退一为5，15-9=6，十位填6；百位5借走一为4，可以填写实-1=3，4-2=2，4-3=1，有三种填法。请同学们想一想为什么不能填4-0=4。

5 6 1 - 1 6 7 3 9 4 5 6 1 - 2 6 7 2 9 4

5 6 1 - 3 6 7 1 9 4

点拨：审题要认真，注意要考虑借位，可以从个位推起。试一试

在下面的算式内，各填上一个合适的数字，使等式成立。

□ 2 - 2 □

2 4

问题五、下面的竖式是由0-9这十个数字组成，已经填了两个数字，请在其余的空格中填上另外八个数字。

□ □ □ + 7 □ □ □ □ □ 3

想：十个数字已经填好两个，还剩下0、1、2、4、5、6、8、9八个数字，观察千位只能填1，再考虑0，如果填在十位上，不能向百位进一，而个位相加的和还要向十位进一才能保证数字不重复，但是经过试验证明不能把0填在十位上，只能填在和的百位上，由此推理，百位的加数只能填2，现在只剩下5、6、8、9、4，最后考虑哪两个数相加得13，

2 8 9 + 7 6 4 1 0 5 3

4 9 □ - □ □ 7 1 7 5

□ 2 □ - □ □ 8 5 3 6

通过试验发现，个位两个数字为4+9=13，十位为8+6=15。

点拨：①先填好最高位，再考虑数字0的位置。②0应填在和的百位上。 ③个位的4、9，十位的8、6可以交换位置成另一种，但思路与例题相同。试一试

在方格中填上0-9十个数字，不能重复，使等式成立，你能做到吗？

□ □ 4 + 2 8 □ □ □ □ 3

□ □ □ □ + □ 6 □ □ 4 □

□ □ □ □ - □ 9 □ □

□ 7

问题六、在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式成立.

□ 8 □ + 4 □ 2 □ □ □ □ - □ □ □

想：这是一道加减混合的填算式题，为了便于分析，可以把加法、减法分开考虑：

□ 8 □ + 4 □ 2 □ □ □ □ □ □ □ □ - □ □ □

观察以上这两个算式，减法算式空格内的数字容易填。

①减法算式：由于被减数是四位数，减数是三位数，差为一位数，所以被减数为1000，减数为999，因此，加法算式的和就已知了。

②加法算式：个位上，由于8+2=10，所以第一个加数的个位数字为8。十位上，由于8+1+1=10，所以第二个加数的十位数字为1。百位上，由于5+4+1=10，所以第一个加数的百位数字为5。于是问题得到解决。解：（略）试一试

以下是一个加减混合运算的竖式，在空格内填入适当数字使竖式成立。

□ 1

+ □ 9 □ □ □ 9 □ - □ □ □

□ 1

+ □ □ □ □ □ 9 □ - □ □ □

□ 5

练一练

1、在□里填上适当的数。

□ 8 □

+ □ 6 □ 3 □ □ 1 2 8

□ □ 5 - □ □ 7

□ 7 □ + 6 □ 4 □ □ □ □ - □ □ 5

□ 2 □ - □ □ 5 7 3 7 + □ 8 □ □ 0 □ 8

□ 2 6 □ - □ 7 9

9 □ 6

□

+ 9 1 □ □ □

9 1

6 3 □ □ + □ □ 7 8

□ 0 2 6

□ 0 0 □ - 6 0 □ 9

1 □ 4 9

□ 2

+ □ 9 □ □ □ 9 □ - □ □ □

□ 6

2、在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。

奥运会

香港好学习

－学习好

＋申办成功香港归

2 0 0 1 奥= 运= 会= 申= 办= 成= 功=

＋庆香港归 1 9 9 7 庆= 香= 港= 归=

好学好＝学＝习＝

3、下列算式中不同的字母代表不同的数字，求出下列字母所代表的数字。

A B C + A B C 2 2 6

A= B= C= 挑战题：

1、请你把1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字分别填到如图所示的方框内，要求图中每个数位上的数字第二排比第一排大，第三排比第二排大。问：这样的排列方法共有多少种？ □ □ □

+ □ □ □

A B 8 B － A 9 C

8 8 8

A= B= C=

B A A C + A C A A B A B A= B= C=

□ □ □ □

2、下面加法算式中的每个图形表示一个数字，请你把这些图形表示的数字写出来。

△ □ △ 〇 □ △

+ ☆ 〇 □ △

2 0 0 8

3、在空格内填入适当数字使竖式成立。（每个算式写三种） □ □ □ □ + □ □ □ 7 7 7 7

□ □ □ □ - □ □ □ 8 8 8 8

△= □= 〇= ☆=

△ ☆ 6 △ - 〇〇 ☆

△ 〇 △

△= ☆= 〇=

除法

问题一、在下列算式的□中，填上适当的数字，使得算式成立。 8 □

□ ）□ □ □ 5 6 2 □ 2 8 0 解：（略）试一试：

1、在下列算式的□中，填上适当的数字，使得算式成立。

5 □ 3 ）□ □ □ □□ 2 □ □ 8 0

□ □ □ 6 ）□ □ □ □ □ □ □ 0 0

想：因除数是一位数，而且商的第一位数是8，对应的积是56，可知除数应等于7，

因为第一个余数是2，所以被除数的百位数是5，十位数是8。由于商的个位数与除数7的乘积是28，所以商的个位数应是4；又因为最后的余数为0，因此被除数的个位数应该是8。

2、已知〇÷△=56??6，当△为最小时，△=（），〇=（）。 3、把2、8、4、6填在适当的□内，使所得的商最大。 3

问题二、平价超市里开展惠民活动，汽水买5送1。两位老师带58名学生游园，他们每人想喝

） □ □ □

一瓶汽水，只需要买多少瓶汽水？

想：两位老师和58名学生一共有2+58=60（人）。每人喝一瓶汽水，一共需要60瓶。汽水买5送1，意思是买5瓶送1瓶，有6瓶。用60÷6=10，求出需要买10个5瓶，商店送10瓶，一共60瓶。

解：2+58=60（人） 5+1=6（瓶）

60÷6=10 10╳5=50（瓶）答：只需要买50瓶汽水。试一试：

1、平价超市里开展惠民活动，汽水买4送1。两位老师带48名学生游园，他们每人想喝一瓶汽水，只需要买多少瓶汽水？

2、聪聪医药商店的一个促销活动中，脑白金礼盒买3送1。李老板手下一共有79名员工。如果每人发2盒。只需要买多少盒？

问题三、两个药店出售同一种口服液，哪个药店的口服液更便宜些？康全药店：每盒8瓶每盒72元买1盒送1瓶益民药店：每盒5瓶每盒63元买1盒送2瓶

想：康全药店里，每盒8瓶，买1盒送1瓶，每盒72元。也就是说，72元可以拿到9瓶，用72÷9=8（元）求出每瓶要8元。

益民药店：每盒5瓶，每盒63元，买1盒送2瓶。也就是说，63元可以拿到7瓶，用63÷7=9（元），求出每瓶要9元。

相比之下，康全药店的口服液更便宜些。解：8+1=9（瓶） 72÷9=8（元） 5+2=7（瓶） 63÷7=9（元） 8元 ? 9元

答：康全药店的口服液更便宜些。试一试、

两个超市出售同一种圆珠笔，哪个超市的圆珠笔更便宜些？平价超市：每盒8支每盒36元买1盒送1支惠民超市：每盒5支每盒21元买1盒送2支问题四、实惠超市举行“五.一”特价活动，所有电器一律半价出售。

高压锅：原价250元电话机：原价180元收录机：原价408元洗衣机：原价250元 500元钱能买到哪些电器？还剩多少元？（至少写出三种买法）想：（略）试一试、

小芳用50元钱去文具商店买文具，正好把钱全部用完。你认为小芳可能买了哪些文具？（至少写出三种买法）

问题五、三（2）班的两位老师带着全班37名同学去参观博物馆。博物馆门口的价目表上写着：个人票每张3元，团体票（20人以上）每张50元。他们该怎么购票？请给出几种方案，算算各需要多少钱？

想：方案一：连老师在内，共有37+2=39（人）买39张个人票。共需3╳39=117（元）方案二：花50元买1张团体票，进去20人，再买39-20=19（人）的个人票，是3╳19=57（元），这样共需50+57=107（元）。

方案三：买2张团体票，共需50╳2=100（元）。

方案四：从排队买票的参观者当中说服一位加入到他们的行列凑足40人，买2张团体票，共需50╳2=100（元），少收那位参观者一些钱。这样不仅节约了一些钱，还交了一位朋友。同学们，如果你去买票，你会怎么处理？试一试

一个由28位老师和202名学生组成的旅游团要到恐龙园去玩。公园售票处处的价目表上写着：成人每人40元，学生每人20元，团体（30人以上）每人39元。

他们该怎么购票？请给出几种方案，算算各需要多少钱？你觉得哪种最合适？练一练、

1、在下列算式的□中，填上适当的数字，使得算式成立。

□ □ □ 6 ） 7 □ 8 6 □ □ □ 8 1 8

3 2 □

□ □ □ 6 ）□ □ □ □ □ □ □ 0 0

6 □ □

□ ）6 □ 4 6 □ □ □ □ 1 4 0

8 ）□ □ 8 □ □ □ 5 □ □ □ □ □ □ □ 0

2、服装展销会上，袜子买5双送2双。70名学生要进行团体操表演，老师要统一发给他们每人一双袜子，只需要买多少双袜子？

3、两个商店出售同一种自动笔，哪个商店更便宜些？

平价超市：每盒6支每盒35元买1盒送1支惠民超市：每盒5支每盒30元

4、长城旅行社推出西湖一日游的A、B两种优惠方案，每个旅行团只能按一种方案买票。 A种：团体5人以上每位300元。 B种：大人每位400元，儿童每位200元。

有10位家长带5名孩子参加西湖一日游，买哪种票更便宜？最少要花多少钱？

（2）有5位老师带10名小学生参加西湖一日游，买哪种票更便宜？最少要花多少钱？ 1

从中你发现了什么？

时间与日期

问题一：大众小学从7月5日（包括着一天）放暑假，到9月1日上课，一共放假多少天？想：要求一共放假多少天，先要求出7月份放假多少天（31-5+1=27），8月份放假多少天（8月份有31天），然后再相加。

解法一、31-5+1=27（天） 27+31=58（天）解法二、31×2-5+1=58（天）试一试：

1、从3月25日到4月7日共经过了＿＿＿天。

2、从3月25日到7月7日共经过了＿＿＿天。

3、2004年第一季度有多少天？

4、为了算出平年全年的天数，兰兰把12个月每月的天数都加了起来，你可以用什么简便方法计算？（列出算式并计算出结果）

问题二:从1999年8月16日到2000年3月8日共经过多少天? 想:可以把这些天分段如下: 1 2 3

1999年8月16日~31日 1999年9月~2000年2月 2000年3月1日~8日

解第1段有 31–16+1=16(天)

第2段有30+31+30+31+31+29=182(天) 第3段有 8–1+1=8(天) 一共有16+182+8=206(天) 试一试：

1 从2004年6月10日到2005年1月20日共经过多少天？

2 从2004年6月10日到2006年1月20日共经过多少天？

问题三:小嘉16号下午买回来一盆花。她从晚上7点开始第1次浇花，然后每隔12小时浇一次。

小嘉第8次浇花是在几号几点？

想：一天是24小时，24小时是2个12小时，每12小时浇一次，就是每24小时浇两次。注意：

第单数次浇花在晚上7点，第双数次浇花在早晨7点。解： 8÷2=4 16+4=20

第8次浇花在20号早晨7点。试一试：

1、小花5日下午买回一盆花，她从18：00开始浇花，然后每隔12小时浇一次，她第5次浇花时是几日几时？

2、小红生病了，医生嘱咐她每隔6小时量一次体温。8日上午6：00第一次量体温，她第8次量体温是什么时刻？

6 小米生病了，医生让他每隔6小时吃一粒药。17日中午12 点，小米已经吃第12粒药了。

小米是＿＿日＿＿点吃的第一粒药（吃药所用的时间忽略不计）。

问题四：小李今年（1999年）已经20多岁了，可是他1996年才过第6个真正的生日。小李出

生在几月几日，今年几岁（小李刚出生的那天算做过第1个生日）？

想： 20多岁的人才过了6次生日，说明他的生日（日期）不是每年都有，或者说他的生日几年才出现一次。这个日子很特殊，只能是闰年的2月29日。在1996年前，还有1992，1988，1984，1980，1976??是闰年。因为小李1996年过第6个生日，说明他生在1976年。解：1996－4×（6－1）=1976 小李今年1999－1976=23（岁）试一试：

1、2000年2月29日是一位长寿老人过的第24个生日（他出生的那天算作第一个生日），这位老人是哪一年几月几日出生的？今年多少岁？

2、小明的爷爷今年七十多岁，却刚过了18次生日。小明的爷爷出生在几月几日？今年多少岁？

问题五：某年的6月份有4个星期三，5个星期二，这年的6月1日是星期几？想：

画一个日历表（如下图）。

因为有5个星期二，所以从第1个星期二到第5个星期二，共29天。6月份共有30天，剩下的一天只可能在第1个星期二前，而不可能在第5个星期二后（想一想：为什么？），也就是图中的☆处，这一天正是6月1日。解：这年的6月1日是星期一。试一试：

1、某年的9月份有4个星期一，5个星期二。这一年的9月1日是星期几？

2、某年的4月份有5个星期日，5个星期一。这一年的5月1日是星期几？

问题六：张教授实验室里的挂钟逢整点报时，几点就敲响几下。今天上午，他开始做实验时，挂钟报时。他做完实验时，恰好挂钟又报时。从实验开始到结束，挂钟一共敲响33下。张教授的实验做了＿＿＿小时。

想：张教授的实验从整点开始，到整点结束。由这个条件，我们容易想到把33分为几个连续的钟点数的和。但是，连续的钟点数不一定是连续的自然数，因为12点以后，挂钟报时敲的是1下，2下，??因此，要考虑两种情况：

33=10+11+12 33=11+12+1+2+3+4

解：张教授的实验做了2小时（从10点到12点）或5小时（从上午11点到下午4点）。

试一试：

1、挂钟报时的规律是：每逢整点，几点就响几下。从上午9点到晚上9点，挂钟报时一共响了＿＿＿下。

2、时钟报时，每逢整点，几点就敲几下；每逢半点（如6点半、7点半、12点半），就敲一下。一天一夜，挂钟报时共响了多少下？

3、李医生给病人做手术，医院里的挂钟逢整点报时，几点就敲响几下。今天上午，他开始做实手术时，挂钟报时。他做完实验时，恰好挂钟又报时。从实验开始到结束，挂钟一共敲响22下。李医生的手术做了＿＿＿小时。练一练：

1、4月20日到5月17日共经过了＿＿＿天。

2、从2005年7月10日到2006年8月20日共经过多少天？

3、小丽8日下午买回一盆花，她从15：00开始浇花，然后每隔12小时浇一次，她第9次浇花时是几日几时？

4、小明的爷爷今年六十多岁，却刚过了17次生日。小明的爷爷出生在几月几日？今年多少岁？

9 某年的7月份有五个星期一，有五个星期三，这个月的1日是星期几？ 5、一个月中最少有＿＿＿个星期日，最多有＿＿＿个星期日。

6、李医生给病人做手术，医院里的挂钟逢整点报时，几点就敲响几下。今天上午，他开始做实手术时，挂钟报时。他做完实验时，恰好挂钟又报时。从实验开始到结束，挂钟一共敲响27下。李医生的手术做了＿＿＿小时。

7、小刚每天早晨起床后就把昨天的日历撕掉。一天下午他们全家一起从南京到上海的外婆家去，过了3天回到家。小刚一连撕掉3张日历，这3张日历上3个日期数加起来恰好是60。小刚是＿＿号去上海的。挑战题：

1、200年将在北京举行奥运会。

（1）请你根据“2008年7月1日是星期二”这个信息制作7月和8月的月历卡。

2008年7月

日一二三四五六

2008年8月

（2）如果奥运会在2008年7月25日开幕。到8月8日闭幕，奥运会共要举办（）天。（3）某国的记者打算在奥运会开幕的2天前到达，他最迟应在七月份的第（）周的星期（）到达。

（4）如果奥运会在2008年7月28日开幕，举办15天，奥运会的闭幕式应在（）月（）日举行。

和差问题

问题一：

两筐水果共重128千克，第二筐比第一筐多4千克，两筐水果各重多少千克？想：根据题意画出线段图：

从线段图上可以看出：假如把两筐水果共重128千克加上4千克，那么得到的就是第二筐重量的2倍，所以可以先求出第二筐的重量，再求出第一筐的重量。

第二筐：（128＋4）÷2＝66（千克）第一筐：66－4＝62（千克）还可以这样解答：

第一筐：（128－4）÷2＝62（千克）第二筐：62＋4＝66（千克）

答：第一筐水果重62千克，第二筐水果重66千克。试一试：

1、果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多40棵，两种果树各有多少棵？

2、甲、乙两地相距430千米。一辆汽车从甲地开往乙地要用两天时间，汽车第一天比第二天少行驶32千米。两天各行驶多少千米？

问题二：

红星小学一年级新生102人，分成甲、乙两个班，如果从甲班转两个学生到乙班去，两班学生就一样多。甲、乙两班原来各有多少学生多少人？

想：用线段图来表示题意：

已知两个班的总人数是102人；又根据“如果从甲班转两个学生到乙班去，两班学生就一样多”从线段图上我们可以看出甲班比乙班多2×2＝4（人）。两个班人数的和与差就都知道了，所以就能求出两班原来各有多少人。

甲班：（102＋2×2）÷2＝53（人）

乙班：102－53＝49（人）还可以这样列式解答：

乙班：(102－2×2)÷2＝49（人）甲班：102－49＝53（人）

答：甲班原来有53人，乙班原来有49人。试一试：

1、甲、乙两个生产组共有车床92台，如果甲组给乙组6台，那么两组的台数相等，原来两组各有车床多少台？

2、军山茶场有红茶树和绿茶树共980棵，如果红茶树增加300棵，绿茶树减少200棵，则两种茶树一样多，两种茶树原来各有多少棵？

问题三：

小军和小华共有画片90张，如果小军给小华4张画片后还比小华多两张，小军和小华原来各有画片多少张？

解这道题的关键是，先求小军和小华画片张数的差。从图上看出，小军减少4张，小华增加4张后小军还比小华多两张，可知原来小军比小华多4×2＋2＝10（张）这样两人画片张数的和与差都知道了，就可以求出原来两人各有多少张。

小军：（90＋4×2＋2）÷2＝50（张）小华：90－50＝40（张）

答：小军原来有50张，小华原来有40张。试一试：

1、甲、乙两筐共有梨87千克，从甲筐取出6千克放到乙筐里，结果甲筐的梨比乙筐还多3千克。两筐原来各有梨多少千克？

2、两笼兔子共18只，若甲笼取出4只放入乙笼，甲笼就比乙笼少2只。甲、乙两笼原来各有兔子多少只？

问题四：

一个三层书架共放书108本，上层比中层多11本，下层比中层少5本，上、中、下三层各放书多少本？

想：用线段图来表示题意：

可以这样想，把中层放书的本数作为标准，上层减少11本，下层增加5本，三层就一样多。总本数就变成108－11＋5＝102（本），中层的本数就可以求出，从而再求出上、下两层的本数。

中层：（108－11＋5）÷3＝34（本）上层：34＋11＝45（本）下层：34－5＝29（本）

答：上层有45本，中层有34本，下层有29本。试一试：

1、甲、乙、丙三个数的和是300，已知甲比乙小40，乙比丙小10，甲数是多少？

2、某工厂将5000元奖金分给三名优秀工人，第一名比第二名多800元，第二名比第三名多600元，三名工人各得多少元？

练一练：

1、小华和小明共有糖果48块，如果小华再买6块，就和小明一样多，小华原来有多少块糖果？

2、甲、乙两桶油共重50千克，如果把乙桶的4千克油倒入甲桶，那么两桶的油一样重，甲、乙两桶油原来多少千克？

3、一个两层书架共放书72本，如果上层拿出12本，下层放入4本，这时两层书一样多，原来上、下两层各放多少书？

4、四年级三个班共有180人，如果把甲班的一名学生调到乙班，两班人数相等；如果把乙班一名学生调到丙班，两班人数也相等。乙班有学生多少人？

乘法数字谜

问题一、在□内填上合适的数字，使算式成立。 6 □ ╳ 3 5 3 3 □ 1 □ 8

想：由第二个乘数的个位数与第一个乘数相乘，积是33□，可以推出

所以将算式填完整是：

6 8

第一个乘数的个位数可能是6或7， ╳ 3 5 再结合第二个乘数十位上的3与第

3 3 0

□ □ □ □

一个乘数相乘，积的末位数字是8这一结果，可以判断出第一个乘数的个位数字必是6。

1 9 8 2 3 1 0

试一试

在□内填上合适的数字，使算式成立。 6 □ ╳ □ □ □ □

□ □

□ □ 8

1 4 □ ╳ □ 6 8 □ □ 2 □ □ 3 6 9 2

2 8 5 ╳ □ □ 1 □ 2 □ □ □ □ □ 9 □ □

问题二、下面算式中每个图形都代表一个数字，不同的图形代表不同的数字，这些图形各代表什么数字？

〇 △ 想：因为〇 △╳〇=114，积的个位数 ╳ △ 〇字是4，所以△乘〇的积的个位数字也 1 1 4 3 0 4 3 1 5 4

应是4，那么△和〇可能是1和4、2和7、3和8、4和6或6和9。又因为〇╳〇的积加上△╳〇的积的进位数，结果是11，而且△╳〇的积最多只能向前一位进5（6╳9=54），所以〇╳〇的积应大于等于6而小于等于11，而一个数与它本身相乘的积正好在这个范围内的数只有3，（3╳3=9），由此我们可以推出〇代表3。最后再根据3△╳3=114可知△是8。

试一试

1、下面算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，先把算式填完整，再想想每个字母各代表什么数字？ A A ╳ B B 6 C 6

6 C 6 6 D D 6

A B C ╳ B C □ □ 4 9 □ □ □ □ □ □ 9 □ □

所以将算式填完整是：

3 8

╳ 8 3 1 1 4 3 0 4 3 1 5 4

2、将下面算式中的汉字换成适当的数字，相同的汉字代表相同的数字，使两个算式的运算

结果相同。

蜂蜜

╳ 甜蜜

□ □ □ □

□ □ □

蜜蜂

╳ 蜜甜

□ □ □ □

□ □ □

问题三、下面算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果以下3个等式：

迎迎╳春春=杯迎迎杯 ① 数数╳学学=数赛赛数 ② 春春╳春春=迎迎赛赛 ③ 那么，迎+春+杯+数+学+赛的和是多少？

想：观察每个等式，第3个等式最特殊，它是两个相同的两位数相乘得到千位和百位、十位和个位分别相同的积，逐一试验：因为11╳11、22╳22都不能得到四位数，从33╳33试起，找到88╳88=7744，这样可以确定“春”=8，“迎”=7，“赛”=4，监护“春”=8、“迎”=7代入①式，得到77╳88=6776，确定“杯”=6，这样在数字0 `9中，只剩下9、5、3、2、1、0几个数字了，其中0、1可以不考虑，22╳33不能得到四位数，再试乘下去，得出55╳99=5445，所以“数”=5，“学”=9。

迎+春+杯+数+学+赛：7+8+6+5+9+4=39 试一试

1、下面算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。当算式成立时，它们各代表什么数字？

题库

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题题题题习习题

2、下面算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。当它们各代表什么数字时算式成立？

认认╳真真=踏踏实实

绿绿╳绿绿=山山水水

练一练

1、在□内填上合适的数字，使算式成立。

8 □ ╳ □ □ □ □

□ □

□ □ 6

□ 8 ╳ 7 □ □ □

□ □ □ 3 4 5 6

□ □ ╳ 8 □ □ □ □

□ □ □ □ □ □

□ □ ╳ 9 □ 6 □ □ 6 □ 4 □ □ □ 8

2、下列算式中不同的字母代表不同的数字，求出下列字母所代表的数字 A B C D E × A E E E E E E

A= B= C= D= E=

A B C D × M

D C B A

A= B= C= D= M=

3、下面算式里，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。当它们各代表什么数字时算式成立？

西游记 × 记大家爱看

西＝游＝记＝大＝家＝爱＝看＝

我爱 × 趣味我数学味学我数学趣

4、在下面每个算式中等号两边的□里填上相同的两位数，使算式两边相等。 3×□ = 1□ 6×□ = 2□ 5、在（）中填上合适的数。

（1） △=〇〇〇〇=☆☆☆☆☆ △=（）个☆

（2）□+□+△=16 □+△+△=14 □=（） △=（） 6、在下面竖式中，A、B、C各表示什么数？ 4 A B

× B 1 C 7 2

挑战题

1、三（1）班去秋游，每人交18元钱，全班40人，一共收到钱的数如下表：票面值（元） 50 20 10 5 2 1 张数（张） 5 11 14 12 18 14 请你帮他们算一算，收到的钱数对吗？

2、这是兰兰一家就餐后的帐单。项目炒菜酸菜鱼米饭单价 8元╱盘 23元╱份 1元╱碗数量 2盘 1份 3碗他们带了50元钱，付餐费够不够？

3、王叔叔5月1日坐火车从重庆到昆明旅游，5月5日返回重庆，5月1日和5月5日都在火车上用餐。预计费用包括以下几部分：重庆至昆明的往返火车票伙食（3天）住宿（4天）门票（含车上的伙食费）共500元 30元╱天 40元╱天共200元王叔叔至少要带多少钱？

4、合理派车

大面包车限乘9人，小面包车限乘6人，轿车限乘4人。

为88人派车，每辆车都要正好坐满，可以怎样派车？（至少写出三种派车方案）

5、合理租车

一个团队有220人需要租车。汽车出租公司有甲、乙、丙3种汽车出租，甲种汽车限坐48人，每辆每天的出租价是500元；乙种汽车限坐28人，每辆每天的出租价是320元；丙种汽车限坐20人，每辆每天的出租价是250元。 1、如果只租一种汽车，租哪一种汽车用的钱最少？ 2、如果租两种汽车，怎样租车用的钱最少？

乘法巧算

问题一、观察下面算式回答问题并计算。

35×11=350+35=385 78×11=780+78=858 216×11=2160+216=2376

你发现了什么规律？积与因数（除11外的一个）各位数字有什么关系？

试一试：

27×11 = 59×11 = 235×11 = 3250×11=

想：通过观察我们归纳出这样的规律：一个因数是11的乘法，它的积与另一个因数各位数字有关，积的首位和末位与另一个因数的首位、末位相同，积的中间数字依次是另一个因数相邻数字之和。如果另一个因数相邻数字之和大于或等于10，则有进位问题。写积十，最好能从右往左写。

如： 35×11 216×11

5 2 1 6

︱╲╱ ︱︱╲╱ ╲╱ ︱ = 3 8 5 = 2 3 7 6 有一句口诀可以帮助我们记住这个规律即“两边一拉，中间相加”。试一试：

1、 62×11 = 81×11= 45×11 = 2、245×11 = 324×11 = 172×11=

问题二、仔细观察下列算式的积和两个因数的首位和末位数有什么关系，你能总结出规律吗？

32×38=1216 61×69=4209 74×76=5624 47×43=2021 看下面所示，你能说出来吗？ 3 2 × 3 8 = 1 2 1 6 ╱╲ ╱╲

3×（3+1） 2×8

想：像这样一来算式中两个因数是十位数字相同，个位数字和为10的乘法被称为“首同末合十”的乘法，仔细观察我们可以总结出这样的计算规律：积的前两位是因数的十位数字乘以比它多1的数，积的后两位是两因数个位数字的积（不足两位用0补足）。这个规律，也适合于个位数是5的两位数的平方。如：

2 5 × 2 5 = 6 2 5 6 5 × 6 5 = 4 2 2 5

╱ ╲ ╱ ╲ 2×（2+1） 5×5 6×（6+1） 5×5 试一试：

根据规律计算各题：

34×36= 73×77= 45×45= 35×35=

问题三、观察下列算式总结出规律。

34×35=1190 63×64=4032 33×36=1188 44×44=1936

想：观察以上算式并与问题二比较，我们发现这些算式的两个因数的十位数字相同，但个位数字和不等于10，它们的乘积分成两个部分，先是因数十位数字之积与个位数字之积组成的数，然后再加上因数个位数字之和与因数十位上的数字乘以10的积。如： 34 × 35 = 9 2 0 + 30 ×（4+5）= 1190

╱ ╲ 3 ×3 4×5 63 × 64 = 3 6 12 +60 ×（3+4）= 4 0 3 2 33×36=918+30×（3+6）=1188 44×44= 1616+40×4+4）= 1936 试一试：

52×56= 22×22= 41×45= 88×81=

问题四、你能很快算出576×5的结果吗？

想：因为10÷2=5。所以一个数与5相乘，就可以将这个数先乘10，即在这个数的末尾添上一个0，然后再除以2，所得的结果就是这个数与5的积。 576×5=5760÷2=2880 试一试：

1、46×5= 89×5= 5×38= 2、371×5= 5×679= 852×5=

问题五、你能迅速算出下面各题的结果吗？

（1）28×15= （2）362×15= （3）4526 × 1 5=

想：（1）因为15=10+5，所以28乘15，就可写成28×10+28×5=28×10+28×10÷2，也就是用28加上它的一半再乘10，就能得到结果了。（1）28×15=（28+14）×10=420 （2）362×15=（362+161）×10=5430 （3）4526 × 1 5=（4526+2263）×10=67890 试一试：

1、34×15= 58×15= 1 5×96= 2、264×15= 368×15= 1 5×892= 3、2562×15= 37762×15= 1 5 ×8114=

问题六、你能迅速算出下面各题结果吗？

（1）28×9= （2）455×9= （3）34×99= （4）267×99=

想：（1）28×9就是求9个人收入调节税是多少，我们可以先算出10个28是多少，再减去1个28就行了。这样算，不仅解决了一个数乘9，有时积要连续进位，很容易算错的问题，而且算起来比较简便，所以

28×9=28×10-28=252

（2）455×9=455×10-455=4095

（3）34×99就是求99个34是多少，我们也可以先算出100个34是多少，然后再减去1个34就行了。所以34×99=34×100-34=3366 （4）267×99=267×100-267=26433

从上面几题可以看出：一个数与9相乘，就用这个数乘10，再减去这个数；一个数与99相乘，就用这个数乘100，再减去这个数。试一试、

1、58×9= 681×9= 9×72= 2、36×99= 42×99= 99×65= 3、154×99= 99 ×220= 673×99= 练一练：

用巧算方法计算下面各题。

1、（1）45×11= 68×11= 47×11= 56×11= （2）仿照题中的例子试一试：

47×101=4700+47=4747 186×101=18600+186=18786 算一算：

86×101= 39×101= 147×101= 358×101= 2、（1）26×24= 38×32=

51×59= 66×64= 72×78= 47×43= （2）55×55= 95×95= 75×75= 3、77×72= 16×12= 53×52= 45×42= 33×33= 66×66= 93×91= 45×47=

4、47×5= 39×5= 5×45= 271×5= 5×634= 837×5=

5、36×15= 78×15= 1 5×48= 278×15= 354×15= 1 5×842=

6、56×9= 751×9= 945×99= 92×99= 99123×99= 99 ×230= 473 挑战题：

在□里填上合适的数。

（1）781+782+783+784+785+786+787 = 784 × □ = □

（2）951+952+953+954+955+956+957+958+959

×92= ×66= ×99= 23

= □ × □ = □

按规律计算

问题一：在下面前3题的（）里分别填上正确的数，你就会发现算式的规律，然后按规律在下面各题的括号里填上适当的数，这样就会形成一个有趣的塔形算式。

0×9+（）=1 1×9+（）=11 12×9+（）=111 123×9+（）=1111 （）×9+（）=（）（）×9+（）=（）（）×9+（）=（）（）×9+（）=（）（）×9+（）=（）

想：前面几个数很快通过计算可以填出，再仔细观察算式，其中一个因数9不变，另一个因数从0、1、12到123变化着，后面加上的一个数分别是1、2、3、4、??积是由“1”组成的。而1、11、111、1111、??的个数与加的自然数有关，加数是2，积有两个1，加数是3，积有3个1，加数是4，积有4个1。下面可以猜测，另一个因数分别应为1234，12345，123456，1234567，12345678，加上的数分别是5、6、7、8、9，积分别是5个1、6个1、7个1、8个1、9个1组成的数。

解： 0×9+1=1

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1111 1234×9+5=11111 12345×9+6=111111 123456×9+7=1111111 1234567×9+8=11111111 12345678×9+9=111111111

这个塔形算式十分有趣。如果请你在这个数字塔下面再加一行，你会吗？试一试：

(1) 1×8+1=9 (2) 21×9=189

12×8+2=98 321×9=2889

123×8+3=987 4321×9=38889

( )×8+（）=（） 54321×9=（）（）×（）+5=（）（）×9=（）问题二：做下面的乘法，看一看出现了什么奇妙的东西。

（1）15873×7= 31746×7= 47619×7= 63492×7= 79365×7= 95238×7= （2）8547×13= 17094×13= 25641×13= 34188×13= 42735×13= 51282×13=

想：（1）这些算式的一个因数7不变。先算一算15873×7=111111，积是由6个1组成的数。接下来几题不用计算，可以很快写出得数。观察第二个算式的第一个因数31746=15873×2，也就是第一个算式因数的2倍。根据积的变化规律，因此积是第一个算式积的2倍，由6个2组成的数。猜测，那么下面几个算式的因数分别是15873的3倍、4倍、5倍、6倍，积也分别是由6个3、6个4、6个5、6个6组成的数。通过验证，猜测是正确的。

（2）这几题的算式中一个因数13是不变的，另一个因数发生了什么样的变化呢？先算8547×13=111111，积也是由6个1组成的数。观察第一个因数的变化，8547×2=17094，8547×3=25614，8547×4=34188??第一个因数分别是8547的2、3、4、5、6倍，积也应是111111的2～6倍。

解：（1）15873×7=111111 (2）8547×13= 111111

31746×7=222222 17094×13=222222 47619×7=333333 25641×13=333333

63492×7=444444 34188×13= 444444 79365×7=555555 42735×13=555555 95238×7=666666 51282×13=666666

试一试：

1、请仔细观察，发现规律后，再在括号里填上合适的数。（1）9×12345679=111111111 18×12345679=（） 27×12345679=（） 36×12345679=（） 54×12345679=（） 63×12345679=（） 72×12345679=（） 81×12345679=（）。

（2）37037037×（）=111111111 37037037×（）=999999999 （）×18=666666666（）×（）=555555555 （）×（）=888888888 （）×（）=777777777

（3） 999999÷9=111111 ○99999○÷9=222222 ○99999○÷9=333333 ○99999○÷9=444444 ○99999○÷9=555555 ○99999○÷9=666666 ○99999○÷9=777777 ○99999○÷9=888888 ○99999○÷9=999999 问题三：

请你读下面的句子：“天连水来水连天”“上海自来水来自海上”，再把句子从后向前读，你会发现和从前向后读是一样的。像这样的句子称“回文”，在数学中也常会出现“回文”的情况，如2772，34543，1230321，20302，6891986，??这样的数称为“回文数”。请你举几个例子吧。

请你观察下面的算式，你发现了什么？（1）6×21=126 3×51=153 4307×62=267034 9×7×533=33579 （2）23×96=69×32 63×12=21×36 24×21=12×42 26×31=13×62 48×42=24×84 12×462=264×21 （3）132×21=2772=12×231 2304×21=48384=12×4032

想：（1）观察这组乘法算式，右边的积有次序的重复着等号左边的各因数中的数字，只是数字从右向左读。以等号为中心，如果去掉算式中的乘号，这些数字也是对称的。

（2）观察这组算式，以等号为中心，左边和右边是完全对称的，左边的两个因数相乘，右边两个因数是左边两个因数次序颠倒后而成，两边积是相等的，请你计算看看对吗？

（3）这组算式除了和第二组有相同之处后，积也是回文数字。这个算式从左向右读数字与从右向左读数字完全相同。

解：这几组乘法算式以“=”为中心，左右两边对称，因数或积都称得上是算式中的回文算式。这种对称的美，在这些算式里可给了我们很好的欣赏。

问题四：

你有惊人的记忆力吗？

先观察下面由10个数字组成的一组数。你能很快写出来吗？请你随便点第几题，老师能很快地写出来，你能猜到其中的秘密吗？先请补填上（8）、（9）两题。然后依此规律，自己再创造出类似的题目。

（1）3145943707 （2）3257291011 （3）3369549325 （4）3471897639 （5）3583145943 （6）3695493257 （7）3707741561 （8）（）（9）（）

想：这是一道数学游戏题，仔细观察这些组数字，发现了什么？

每小题中第一个数字都是3，第二个数字分别是1、2、3??7，与题号相同；从第三个数字开始看不出什么规律。

我们先从一道题突破。第（1）题中，3后是1，1后面是4，5，9??7，怎么来的呢？有什么规律呢？3+1=4，4+1=5，4+5=9，5+9=14，9+4=13，4+3=7，3+7=10，7+0=7??，你看出来了吗？也就是说从第三个数开始，后面的每一个数都是它前两个数字之和的个位数字。你按照这个规律验证一下，看看是不是这个规律？所以老师能很快写出来，并不是死记硬背出来的。

完全解答：（8）3819099875 （9）3921347189 试一试：

这个数字游戏是我们创造出来的，为什么第一个数字是3？如果是7，是9，是6行不行？回答是肯定的。这是自己的规定，你可以创造出一个规律，不用加，用减或用乘行不行？可以！

请你创造出类似的游戏吧！练一练：

1、请仔细观察，发现规律后，再在括号里填上合适的数。（1） 1×888=888 6×888=5328

2×888=1776 7×888=（） 3×888=2664 8×888=（） 4×888=（） 9×888=7992 5×888=（）

（3 ） 35×101=3535 46×77×13=46046

89×101=（） 86×77×13=（）

（2） 11×11=121

111×111=12321 1111×1111=1234321 1111×1111=（） 11111×11111=（）

67×101=（） 93×77×13=（） 78×101=（） 74×77×13=（）

2、下面四行数字，请你在每行中用加号和等号连接每个数，变成四个等式。

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 ??

想一想，你还能继续写下去吗？试一试。

3、先看算式，找规律，然后很快填出后面算式的得数。

87－78=9 76－67= 93－39= 86－68=18 75－57= 53－35= 85－58=27 74－47= 64－46= 84－48=36 73－37= 95－59= 83－38=45 72－27= 42－24= 82－28=54 71－17= 51－15= 81－18=63 62－26= 43－34= 65－56= 31－13= 52－25= 32－23=

4、先观察，找出规律，再填下面的算式。（1） 3×4=12

（2） 3×6=18

33×34=1122 33×36=1188 333×334=111222 333×336=（） 3333×3334=（） 3333×3336=（） 33333×33334=（）

33333×33336=（）

……

33?3×33?34=（） 3?3×3?36=（） 9个3 8个3 10个 9个

5、先观察左边的一组算式，找出规律后，直接写出右边算式的结果。 999×2=2000-2=1998

999×5=

999×3=3000-3=2997 999×4=4000-4=3996

999×6= 999×7= 999×12=

对称图形

复习：1、下列哪些图形是轴对称图形？（是的在序号上画“√”）

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

2、下面图中哪些是轴对称图形？是的在（）中画“√”。

（）（）（）（）（）

问题一、下面是两幅对称图形的另一半，你能把所缺的另一半画出来，使它变成一幅完整的对称图形吗？

图１图２图３

想：补充对称图形的另一半，可以有很多方法。最简单的方法就是那一张透明的平纸（如图３），蒙在所要补充的对称图形上，然后把它描下来，在反过来放在图形的另一半边对齐，再描下来即可，也可以用对称图形的特点来画（如右图），以中间的对称轴为界，在另外一边找到图形的对称点（可以用尺子去量，两边的点到对称轴的距离相等），然后再把着些点连结起来即可）；第二种方法难度较大，请同学们动脑筋想一想，怎样找到对称轴的另一边的对称点。

解：在对称图形的另一半中找若干个点。（图中A、B、C、D、E），然后以对称轴为界，在对称轴的左边找到B点的对称点Bˊ，B与Bˊ到对称轴的距离相等。同样，找到C、D、E点的对称点Cˊ、Dˊ、E，然后连结ABˊ、BˊCˊ、CˊDˊ、 DˊEˊ线段，就得到了对称图形的另一半了。试一试

1、你能根据所给的对称轴，把下列对称图形的另一半画出来吗？

2、画出下面每个图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。

问题二、下面图形是轴对称图形吗？你能画出它们的对称轴吗？

图１图２图３图４

想：仔细观察，这些图形都是对称图形。图1可以沿着房子顶端向下画一条垂线，把这个图形分成完全一样的两部分。图2这个图形比较特殊，如果横着看，可以在两个圆之间画一条竖直的对称轴；如果竖着看，可以在两个圆的圆心的连线上画一条水平的对称轴，这两条对称轴都可以把这个图形分成完全重合的两部分。图3可以竖着看，在中间画一条对称轴；图

4与2类似，既可以竖着看，水平画，还可以交叉画出它的对称轴，它可以画出4条对称轴。试一试

1、下面哪些图形是对称图形，若是的，请画出它们的对称轴。

① ② ③ ④ ⑤

⑥ ⑦ ⑧ ⑨

问题三、小明家住在农村，他每天下午必须帮妈妈到菜地里干活。一天下午，他帮妈妈到河边提水浇菜（如图）。问他选择什么样的路线走，才能使他从家到河边提水，再到菜地浇水所走的路程最少？

想：要保证小明从家到河边提水，再到菜地浇水，所走的路程最少，最好成绩是把小明所走的这条折线转化为直线，这样所走的路线才能最少。因为我们可以假设把小明家搬到河对岸去（也就是在河对岸找到一个与小明家相对称的对称点），这样小明家与菜地在河的两边就可以连成直线了。然后连结菜地与小明家在河对岸的对称点，与河岸就有了一个交点A，这个交点A就是小明从家到河边提水的地方（如图）。这样小明从家到河边提水，再到菜地浇水所走的路程就是最少了。解：

小明家

○

试一试

1、如图，小红和小明在不同地点，要求他俩必须走到围墙边，再回到游戏点去，请你设计

他俩各自所走的路线，怎样走最近？练一练

1、（1）在下面这写数字中，哪些数字是轴对称图形？

（2）在这写数字中，沿两个方向对折后能完全重合的有哪些？

2、下面的图形怎样对折后能完全重合？请你用“??”画出每个图形的所有折痕。

3、在方格纸上按照图上给出的对称轴画出对称图形。

4、在点子图上画出对称图形。

挑战题 1、把下

列图形，向右边翻转过来，你会想到它们会是什么样的图形？

2、下面三个图形都是由4个正方形组成的，请你用三种不同的方法分别在下面三个图上画

一个正方形，使它们都成为对称图形吗？

3、民间艺人用一把剪刀和一张纸，能剪出像下面这样漂亮的团案，请你也剪出几个漂亮的

图案，贴在下面。

最佳安排

问题一、明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水灌入水

瓶要2分钟，吃早点要8分钟，整理书包2分钟，应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？想：经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间，水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行，而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行，这一过程可用框图表示。

从上图可以看出洗水壶要1分钟，接着烧开水12分钟，在等水同时吃早点，整理书包，水开了就灌入水瓶共需要15分钟。

1＋12＋2＝15（分钟）

答：水洗水壶，接着烧开水，在等水时吃早点，整理书包，再灌水最少15分钟。试一试

1、红红早晨起拉刷牙洗脸要4分钟，读书要8分钟，烧开水要10分钟，冲牛奶1分钟，吃早饭5分钟，红红应该怎样合理安排？起床多少分钟就能上学了？

2、玲玲想给客人烧水沏茶，洗水壶要2分钟，烧开水要12分钟，买茶叶5分钟，洗茶杯要1分钟，冲茶要1分钟，要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了？

问题二、贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼，要贴3个烧饼至少需要几分钟？

想：先放第一、二两个烧饼贴第一面，过3分钟后，拿下第一个，并把第二个翻过去，并放上第三个烧饼，过2分钟拿下第二个，并放上第一个烧饼，过1分钟把第三个烧饼翻过来，再过1分钟取下第一个烧饼，再过1分钟三个烧饼全贴完了，只用了8分钟。列式如下：

3＋2＋1＋1＋1＝8（分钟）答：贴3个烧饼至少需要8分钟。试一试

1、用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼，烙第一面需要2分钟，烙第二面需要1分钟，现在要烙三个饼，最少需要多少分钟？

2、烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要2分钟，那么烤三个面包最少需要多少分钟？

问题三、甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地，他们同时用一台收割机进行收割，甲的麦地需要收割4小时，乙的麦地需要收割1小时，丙的麦地需要收割3小时，丁的麦地需要收割2

小时，怎样安排四人的顺序他们花的总时间最少？最少时间是多少？

想：所用的时间是指他们四个各自收割时间与等的时间的总和，因为各自收割的时间不变，所以在安排收割的顺序时，应该使等的时间尽可能少，即应该安排收割时间少的人先用，顺序是：乙、丁、丙、甲，过程可用下表表示：

乙等的时间丁等的时间丙等的时间甲等的时间乙收割的时间 1 1 1 1 丁收割的时间 2 2 2 丙收割的时间 3 3 甲收割的时间 4 从表中可看出，四人收割的时间为：1＋2＋3＋4＝10（小时），三人等的时间为：1×3＋2×2＋3＝10（小时）列式如下：

1＋2＋3＋4＝10（小时）1×3＋2×2＋3＝10（小时）10＋10＝20（小时）答：安排顺序为：乙、丁、丙、甲，最少时间是20小时。试一试

1、甲、乙、丙三人都要同一水龙头下取水，甲需要用2分钟，乙需要用4分钟，丙需要用1分钟，怎样安排，他们花的总时间最少？最少时间是多少？

2、卫生室里有四名同学等候医生治病，甲需要打针要3分钟，乙需要换纱布要4分钟，丙要涂红药水要2分钟，丁要点眼药水要1分钟，怎样安排他们在医院等候时间和最少？最少是多少分？

问题四、在一条公路上每隔50千米有1个粮库，共4个粮库，甲粮库存有10吨粮食，乙粮库存有20吨粮食，丁粮库存有50吨粮食，还有一个粮库是空的，现在想把所存的粮食集中放在一个粮库中，如果每吨粮食运1千米要1元的运费，那么最少要花多少运费才行？

想：这种运输问题，运的货物越重路程越远，花费就越多，反之，如果移动的货物重量小路程近，花费的费用就少。在本题中，各粮库之间距离相等都是50千米，一般原则是“少往多处靠”。集中存在粮食较多的库房比较节约，甲、乙两仓库粮食合起来是30吨。还不如丁粮库的粮食多，所以应将甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库、甲粮库需用1×10×50×3＝1500（元），乙粮库需要1×20×50×2＝2000（元），共用1500＋2000＝3500（元）。列式如下：

1×（10×3＋20×2）×50＝3500（元）答：最少要花运费3500元。

试一试

1、一条公路上每隔20千米有一个仓库，共有五个仓库，1号仓库存有20吨货物，2号仓库存有30吨货物，5号仓库存有70吨货物，其余两个仓库是空的，现在要把所存的货物集中在一个仓库中，如果每吨货物运1千米要1元运费，那么最少要花多少运费？

2、一条公路有四个储油站，它们之间都相隔100千米，甲储油站储有50吨油，乙储油站储有10吨油，丙储油站储有20吨油，丁储油站是空的。现在如果想把所存的油集中于一个储油站，每吨油运1千米要2元运费，那么最少要花多少运费？

问题五、小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁匹匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟，每次只赶两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？

想：要使过河时间最少，应抓住以下两点：①同时过河的两匹马相差时间尽可能小些，才能使花时间少的马在过河时少浪费时间。②过河后应骑时间少的那匹马回来。因此，赶马的顺序是：小明先骑甲马赶乙马一起过河后，再骑甲马返回，共需3＋2＝5（分钟）；然后骑丙马赶丁马一起过河后，再骑乙马返回，共需7＋3＝10（分钟）；最后骑在甲马背上赶乙马一起过河，不再回来，共需3分钟。所以4匹马都赶到对岸去最少时间是：

（3＋2）＋（7＋3）＋3＝18（分钟）答：最少要18分钟。试一试

1、明明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛过河需2分钟，丙牛过河要5分钟，丁牛过河需6分钟，每次只能赶两头牛过河，要把4头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？

2、小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁匹匹马，甲马过河要7分钟，乙马过河要2分钟，丙马过河要3分钟，丁马过河要8分钟，每次只能两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？练一练

1、小李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整理房间5分钟，把衣服和水放入洗

衣机要1分钟，洗衣服自动洗涤要12分钟，擦鞋要3分钟，怎样合理安排，小李阿姨在多少分钟后就可以出发了？

2、小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要2分钟，另一面要1分钟，可小红烙6个饼只用了5分钟，她是怎么做的？

3、三个顾客到同一个柜台去买东西，甲需要用4分钟，乙需要用6分钟，丙需要用2分钟，怎么安排他们的购买顺序，使他们所花的总时间最少？最少是多少？

4、一条公路有三所小学分别为A、B、C，在什么地方设一个汽车站，才能使三个学校的学生上学放学所行的总路程最少？

5、小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要1分钟，乙牛过河要2分钟，丙牛过河要3分钟，丁牛过河要4分钟，戊牛过河要5分钟，己牛过河要6分钟，每次只能三头牛过河，要把6头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？

长方形和正方形的面积（一）

问题一：把一张长为8厘米、宽为6厘米的长方形纸，剪成一个面积最大的正方形，这个正方形的面积是多少平方厘米？

想：要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最大，只能选原长方形的宽6厘米作边长（如右图），即正方形的边长是6厘米。

6×6＝36（平房厘米）

答：这个正方形的面积是36平方厘米。试一试：

1、把一张长12分米、宽10分米的长方形铁皮剪成一个面积最大的正方形，这张正方形铁皮的面积是多少平方分米？

2、把一张长8厘米、宽5厘米的长方形彩纸剪成一个面积最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少平房厘米？

问题二：求下列图形的面积。（单位：厘米）

想：这个图形无法直接求出它的面积。我们可以画一条辅助线把图形分成两个长方形。（如右图）

上面这个长方形的面积为：8×3＝24（平方厘米），下面这个长方形的面积为：3×（7－3）＝12（平方厘米），所以，组合图形的面积是：24＋12＝36（平方厘米）。

答：这个图形的面积是36平方厘米。想一想：还可以怎样解答这道题？

试一试：

计算下列图形的面积。（单位：厘米）

问题三：

求下面图形的面积（单位：厘米）

想：这个图形可以看作是从长方形中挖出去一个正方形得到的，它也是一个组合图形。我们可以画一条辅助线，把它补上一个正方形就成了一个长方形。（如右图）阴影部分的面积就是长方形的面积减去补上的正方形的面积。

10×4－2×2

＝40－4＝36（平方厘米）

答：这个图形的面积是36平方厘米。试一试：

1、你还能用什么方法解问题三呢？试试看。

2、计算下面的图形的面积。（单位：分米）

问题四：

用篱笆围成一个长方形的养鸡场，一边利用14米长的墙壁，篱笆共长32米，求养鸡场的的面积。（如图所示）

想：从图中可以看出，

这个养鸡场的3面是篱笆，还有一面是

墙壁，要求养鸡场的面积，实际上是求这个长方形的面积，求长方形的面积必须要知道长方形的长和宽，养鸡场的一面是墙，长度是14米，它实际是长方形的长，那么宽是多少呢？因为篱笆的总长是32米，这32米包括了一个长和两个宽，用32－14＝18（米）18÷2＝9（米）就算出了一个宽是9米，再求出养鸡场的面积。

32－14＝18（米） 18÷2＝9（米） 14×9＝126（平方米）答：养鸡场的面积是126平方米。试一试：

1、用篱笆围成一个长方形的养鸡场，一面利用18米长的墙，篱笆的总长是40米，求这个养鸡场的面积。

2、用绿篱利用一面墙围成一个正方形的花坛，绿篱的总长是24米，求花坛的面积是多少平方米。

问题五：有一个边长为5米的正方形花坛，在四周1米宽的走道，走道的面积是多少平方米？

想：如左图，正方形花坛与走道合起来正好成了一个边长为5＋1＋1＝7（米）的正方形。走道的面积等于边长为7米的正方形面积减去中间正方形花坛的面积。列式：

（5＋1＋1）×（5＋1＋1）－5×5 ＝49－25＝24（平方米）答：走道的面积是24平方米。试一试：

1、一个长50米、宽28米的游泳池，在四周铺2米宽的走道，走道的面积是多少平方米？

2、求左下图阴影部分的面积。（单位：厘米）

3、如右上图有一块菜地，长33米，宽27米，菜地中间留了宽1米的路，把菜地平均分成四块，每块的面积是多少？

练一练：

1、将一块长3米、宽2米的长方形布，剪去一个面积最大的正方形，剩下部分的面积是多少平方米？

2、利用一面长8米的墙，用篱笆围成一个养鸡场，篱笆的长度是18米，这个养鸡场的面积是多少？

挑战题：下列各图中，每个长方形平均分成了2个三角形，请你先根据长方形的面积算出其中一个三角形的面积。

长方形的面积是 12平方厘米,1个三角形的面积是（）平方厘米。

长方形的面积是 20平方厘米,1个三角形的面积是（）平方厘米。

长方形的长是6厘米，宽是3厘米。 1个三角形的面积是（）平方厘米。

长方形的长是5厘米，宽是4厘米。1个三角形的面积是（）平方厘米。

(2)比较上图中三角形面积与长方形面积的关系,根据你的发现算出下面三角形的面积.

长方形和正

问题一：

一根铁丝可以围成一个边长为6厘米的正方形，如果把它改围成一个长为8厘米的长方

方形的面积（二）

形，那么这个长方形的面积是多少平方厘米？

【一点就通】这根铁丝的长为6×4＝24（厘米），即长方形的周长是24厘米，那么长方形一条长与一条宽的和为24÷2＝12（厘米），由于长为8厘米，所以宽是12－8＝4（厘米），长方形的面积就是8×4＝32（平方厘米）。列式是：

8×（6×4÷2－8）＝8×（12－8）＝8×4＝32（平方厘米）

答：这个长方形的面积是32平方厘米。试一试：

1、用一根铁丝围成一个长13厘米、宽5厘米的长方形。如果把它改围成一个正方形，这个正方形每边长多少厘米？

2、一块正方形和一块长方形的铁皮，它们的周长相等。已知长形铁皮的长是33厘米，宽是25厘米。求正方形铁皮的面积是多少平方厘米？

问题二：

两张边长是6厘米的正方形，一部分叠在一起放在桌上（如图），桌子被盖住的面积是多少？

想：如果两张纸没有叠放，那么它们盖住的面积是6×6×2＝72（平方厘米），现在两张纸重叠了一部分，盖住桌子的面积就少了一个重叠的这部分，重叠部分是个边长3厘米的正方形，面积是3×3＝9（平方厘米）。所以，桌子被盖住的面积是72－3×3＝63（平方厘米）。

6×6×2＝72（平方厘米） 3×3＝9（平方厘米） 72－9＝63（平方厘米）

答：桌子被盖住的面积是63平方厘米。试一试：

1、求阴影部分的面积。

2、两个相同的长方形如图叠放，求这个图形的面积。问题把一形，最多能

三：

张长14厘米，宽6厘米的长方形纸，剪成边长2厘米的小正方剪多少个？

想：长方形的长是14厘米，剪成的正方形边长是2厘米，则一行可以剪14÷2＝7（个）；长方形的宽是6厘米，则可以剪6÷2＝3（行），共可以剪7×3＝21（个）。如图：

试一试：

1、把一张长25厘米、宽17厘米的长方形纸，剪成边长5厘米的小正方形，最多能剪多少个？

2、把一张长30厘米，宽24厘米的长方形纸片剪成长6厘米，宽4厘米的小长方形，最多能够剪多少个？

问题四：有一个长方形，如果它的宽减少2米；或它的长减少3米，那么它的面积就减少24平方米，求原来这个长方形的面积。

想：因为长方形的宽减少2米，面积减少24平方米，可以知道这个长方形的长为24÷2=12（米）；因为它的长减少了3米，面积就减少24平方米，可以知道它的宽为24÷3=8（米），原来长方形的面积也就不难计算了。

解：原长方形的长：24÷2=12（米）原长方形的宽：24÷3=8（米）原长方形的面积：12×8=96（平方米）

试一试：

1、有一个长方形，如果它的宽减少3米；或它的长减少4米，那么它的面积就减少36平方米，求原来这个长方形的面积。

2、一个长方形如果宽不变，长减少6米，面积就减少48平方米；如果长不变，宽减少5米，面积就减少50平方米。原来这个长方形的面积是多少平方米？

2、一个长方形如果宽不变，长增加8米，面积就增加48平方米；如果长不变，宽减少4米，面积就减少48平方米。原来这个长方形的面积是多少平方米？

练一练：

1、在公园里有两个花圃，它们的周长相等，其中正方形花圃的边长是10米，长方形花圃的宽是8米，求长方形花圃的面积。

2、一个长方形与一个正方形部分重合（如右图），求两块阴影部分的面积相差多少。

3、把一张长15厘米，宽11厘米的长方形纸片剪成长5厘米，宽3厘米的小长方形，最多能够剪多少个？

4、有一个长方形，如果它的宽减少3米；或它的长减少6米，那么它的面积就减少54平方米，求原来这个长方形的面积。

5、小明家的客厅长4米，宽5米。地面上铺有边长为5分米的正方形地砖，这种地砖60元一块。

（1）小明家的客厅有多少平方米？

（2）铺这个客厅，用了多少块地砖？买这些地砖共需多少元？

开放实践题

问题一：

把一个长方形平均分成两份，你想怎么分？你能想出多少种方法？想：平分长方形的方法较多，如：（１）对折法

（２）斜折法

（AB=CK）（AB=CD）

同学们，看到这些，你们一定也会有许多想法，对吗？动动脑筋，想一想还有什么方法呢？

试一试:

1、把一个正方形平均分成两份，你想怎么分？

2、学校有一块长16米、宽12米的长方形空地，现打算一部分建造花圃，一部分植上草皮，要使花圃、植草皮的面积各占一半，并且要美观、大方，你打算如何设计？

问题二：

要画出面积为1平方厘米、4平方厘米、9平方厘米、16平方厘米??的正方形很容易，如果让你画一个面积为2平方厘米的正方形，你能很快画出来吗？

想：根据边长直接画出面积为2平方厘米的正方形比较困难，因为就同学们现在所掌握的知识，还不能准确地求出这个正方形的边长。怎么解决这个问题呢？既要画出面积为2平方厘米的正方形，又不需要根据面积去求边长。下面就介绍一些巧妙的办法。方法一：如图1，先画一个边长为2厘米的正方形，它的面积就是2×2＝4（平方厘米）。顺次链接正方形四条边的中点，得到的小正方形的面积就是外面的大正方形面积的一半，是4÷2＝2（平方厘米）。想一想，为什么？方法二：如图2，先画一个边长为1厘米的正方形，它的面积是1平方厘米。把这个正方形按对角线平均分成2份，，每份

就是半平方厘米。以对角线的长作为边长画一个新的正方形，这个新正方形的面积就是2评分厘米。想一想，为什么？试一试：

1、画一个面积为8平方厘米的正方形。 2、画一个面积为18平方厘米的正方形。

问题三：（1）用一跟24厘米长的铁丝可以围成几种周长都是24厘米的长方形或正方形？你可以先围一围，再填写下表。长（厘米）

（2）观察上表，你发现当长方形的周长一定时，它的长与宽相差越多，面积越怎样？它的长与宽相差越少，面积越怎样？在什么情况下，面积最大？

（3）根据你的发现，如果用一根长40厘米的铁丝围成一个长方形或正方形，要使围成的面积为最大，最大的面积是（）平方厘米。

问题四、用一根长12米的绳子，在教室外面的空地上围一块活动场地，你想怎么围呢？围出的面积各是多少？想：一、无任何借助

方案一设计成正方形（图略），面积为3×3＝9（平方米）。方案二设计成长方形（图略），面积为4×2＝8（平方米）。二、借助于一面墙来围

方案一设计成正方形（图略），面积为4×4＝16（平方米）。方案二设计成长方形（图略），面积为6×3＝18（平方米）。三、借助于两面墙来围

方案一设计成正方形（图略），面积为6×6＝36（平方米）。方案二设计成长方形（图略），面积为5×7＝35（平方米）。

宽（厘米）面积（平方厘米） 45

同学们，这么多的围法，你喜欢哪一种？为什么？你还有别的围法吗？等你们学了圆的知识后还会有新的方案。

试一试：

1、用一根20米长的绳子，在教室外面的空地上围一块活动场地，你想怎么围？围出的面积是多少？

2、王大伯为屋外的养鸡场砌围墙，已知砌的围墙一共长48米，你猜猜王大伯家的养鸡场可能是什么形状的？面积是多少？

练一练：

1、把一个正方形分成现状、大小相同的4块，你能想出多少种方法？

2、张大爷的屋后有一个正方形的养鱼池，养鱼池的每个角上都有一棵杨树。后来张大爷想把养鱼池的面积扩大2倍，每个角上的4棵树也不要移走，而且扩大后的养鱼池还是正方形，该怎么扩大呢？

3、张大妈给

一块菜地围上竹篱笆，竹篱笆一共长24米，想一想，

（1）张大妈的菜园是什么形状的？面积是多少？ 3

平均数问题

问题一：用四个同样的杯子装水，水面的高度分别是6厘米、3厘米、5厘米、2厘米，这四个杯子水面的平均高度是多少？

方法一：要求四个杯子水面的平均高度，就相当于把四个杯子里的水合在一起，再平均倒在四个杯子里，看每个杯子水面高度是多少。水合在一起也就是所求的总数量。

（6+3+5+2）÷ 4 = 4（厘米）

总数量÷ 总份数=平均数方法二：移多补少求平均数：

怎样围菜地的面积最大？最大面积是多少？

答：四个杯子的平均水面高度是4厘米。试一试：

1、先移动圆片（用箭头表示），看看平均每人有多少个圆片？小红的圆片〇〇〇〇〇〇〇

你还能用其他的方法求出来吗？

2、王启在第一学期的五次数学测验中的得分分别是93、87、94、100、91，求王启五次数学测验的平均成绩是多少分？

问题二：小红期末考试，语文、数学平均成绩是94分，英语得98分，自然得了94分，她这四门课的平均成绩是多少分？

方法一：①可以先求出语文、数学的总成绩： 94×2=188（分） ②四门课的总成绩： 188+98+94=380（分） ③四门课的平均成绩： 380 ÷ 4 = 95（分）总数量总份数平均数

方法二：语文、数学得94分，自然得94分，可以说三门的平均成绩是94分，英语得98分比三门平均成绩高出4分，要求四门功课的平均成绩可理解为如果英语也按94分计算会多出4分，再给四门功课各增加1分，所以四门功课的平均成绩为95分，列式为：

94+（98－94）÷4=95（分）答：四门功课的平均成绩为95分。试一试：

1、一次测验，小丽的英语、语文的平均成绩是90分，数学得了96分，求小丽三门功课的平均成绩是多少分？

问题三：王江的考试成绩单被同学张明弄污了，你能帮他算出数学成绩来吗？

语文 80 数学英语 83 平均 85 小明的圆片〇〇〇〇

小青的圆片〇〇〇〇〇〇〇

想：根据三门功课的平均成绩可以求出三门课的总成绩是：

85×3=255（分）

从三门课的总成绩中减去语文和英语的成绩，剩下就是数学的成绩：

255－83－80=92（分）或255－（83+80）=92（分）

答：数学成绩是92分。

试一试：

1、在期末的语文考试中，珊珊、王飞、宋洁三人的平均分是93分，其中王飞语文得87分，宋洁语文得95分，珊珊语文考多少分？

问题四：周娇在某学期前四次数学测验的平均成绩是83分，她想通过第五次测验将五次的平均成绩提高到至少85分，那么在第五次测验中，她至少将数学考到多少分？方法一：前四次数学的平均成绩是83分，那么前四次数学的总分是：83×4=332（分）

五次的平均成绩要85分，那么五次数学成绩的总和是：85×5=425（分）

从332分增加到425分是因为加上了第五次的数学成绩。所以用425－332=93（分）是第五次的数学成绩：列式：85×5－83×4=93（分）

方法二：前四次的平均分是83分，说明前四次每次都相当于得83分，假设第五次也得了83分，那么要使五次的平均成绩提高到85分，共要增加（85－83）×5=10（分），从假设的第五次的83分要增加10分，所以第五次应得：83+10=93（分）

列式：83+（85－83）×5=93（分）答：第五次数学应得93分。试一试：

1、小明在某学期前三次数学测验的平均成绩是85分，她想通过第四次测验将五次的平均成绩提高到至少89分，那么在第四次测验中，她至少将数学考到多少分？

2、王明在某学期前三次英语测验时平均成绩是85分，他想在第四次英语测验中将四次的平均成绩提高两分，那么他第四次英语测验中至少要得多少分？

问题五：已知五个连续自然数的和是490，这五个连续自然数分别是多少？

想：根据五个自然数的和是490，可以求出这五个连续自然数的平均数是：490÷5=98，98就是这五个连续自然数最中间的一个数，依次类推得：

96 97 98 99 100 －1 －1 +1 +1 五个连续自然数的平均数

答：这五个连续自然数是96、97、98、99、100。试一试：

1、七个连续自然数的和是840，求这七个连续自然数各是多少？

问题六：期末考试，小芳语文和自然成绩加起来是197分，语文和数学成绩加起来是199分，数学和自然成绩加起来是196分，想一想，小芳三门功课中，哪门成绩最高，三门功课各是多少分？

想法一：根据已知条件可以列出等式：语文+自然=197（分）

语文+数学=199（分）三式相加数学+自然=196（分）

将三个等式相加得出：

语文+语文+自然+自然+数学+数学=197+199+196 =592（分）三门功课各出现2次

由此可知：语文+自然+数学=592÷2=296（分）

语文+自然+数学=296（分）语文+自然=197（分），可知，数学是多少分：296－197=99（分）自然是多少分：196－99=97（分）语文是多少分：199－99=100（分）想法二：语文 + 自然 = 197（分）

相同多2分高2分比较得数学比自然高2分语文 + 数学 = 199（分）

根据数学+自然=196（分）数学－自然=2分

可将此转化成和差问题：（和+差）÷2=大数（和－差）÷2=小数数学：（196+2）÷2=99（分）自然：（196－2）÷2=97（分）同时语文：199 － 99 = 100（分）或197 － 97 = 100（分）语数之和－数 = 语文语自之和－自 = 语文答：语文最高得100分，自然是97分，数学是99分。试一试：

1、甲、乙、丙三个数，甲、乙之和是43，乙、丙之和是45，甲、丙之和是32，这三个数分别是多少？甲、乙、丙三个数的平均数是多少？

2、有三个数，甲数和乙数的平均数是85，乙数和丙数的平均数是88，丙数与甲数的平均数是82，甲、乙、丙三个数各是多少？练一练：

1、下面是“新蕾杯”儿童歌手大奖赛成绩统计表。选手陈老师王老师李老师张老师钱老师平均得分 49

评委 1号 2号 3号 89 91 94 84 96 95 96 88 92 85 91 90 97 94 93 （1）请你把这张评分表填完整。（先去掉一个最高分和一个最低分，再算平均得分）（2）请你排出这三位选手的名次。

2、张硕霏同学语文、数学两科的平均成绩是92分，后来英语考了87分，自然考了85分，求张硕霏同学四门课的平均成绩？

3、A、B、C、D四个数的平均数是150，A、B、C三个数的平均数是136，那么D这个数是多少？

4、王宏三门功课平均成绩是93分，如果不算数学成绩，两门功课的平均成绩比三门功课的平均成绩要降低1分，王宏的数学成绩是多少？挑战题

1 某足球队想引进一个前锋。以下是最近5个赛季进球数：

运动员甲：23、17、18、24、23 运动员乙：╱、╱、26、22、24 运动员丙：30、12、╱、26、20

“╱”表示这个赛季没参加比赛，这个足球队该引进哪个运动员？

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