首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009）
考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.
一、（15分）求经过三平行直线L1:x?y?z，L2:x?1?y?z?1，L3:x?y?1?z?1的圆柱面的方程. 二、（20分）设Cn?n是n?n复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间，
?0??1F??0????0??an??0?0?an?1?1?0?an?2?.
??????0?1?a1??0?0?a11a12?a21a22?（1）假设A??????a?n1an2?a1n???a2n?，若AF?FA，证明：A?an1Fn?1?an?11Fn?2???a21F?a11E；
?????ann??（2）求Cn?n的子空间C(F)??X?Cn?n|FX?XF?的维数.
三、（15分）假设V是复数域C上n维线性空间（n?0），f,g是V上的线性变换.如果fg?gf?f，证明：f的特征值都是0，且f,g有公共特征向量.
四、（10分）设?fn(x)?是定义在?a,b?上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在?a,b?上满足
fn'(x)?M.（1）证明?fn(x)?在?a,b?上一致收敛；（2）设f(x)?limfn(x)，问f(x)是否一定在?a,b?上
n??处处可导,为什么？ 五、（10分）设an???20?1sinnttdt， 证明?发散. sintn?1an3?2f?2f（15分） f(x,y)是?(x,y)|x?y?1?上二次连续可微函数，满足2?2?x2y2，计算积分 六、
?x?y22?x?fy?f??dxdy. I???22??22?x22?y?x?y?1?x?y?x?y?（15分））假设函数 f(x)在 [0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点 A(0,f(0))，与点 B(1,f(1))七、
的直线与曲线 y?f(x)相交于点 C(c,f(c))，其中 0?c?1. 证明：在 (0,1)内至少存在一点 ?，使
f??(?)?0。
首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （数学类，2010）
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考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.
一、填空题（共8分，每空2分.） (1) 设????0，则
?0??e??x2?e??xdx=_____________. 2x2(2) 若关于x的方程kx?1?1(k?0)在区间(0,??)内有惟一实数解，则常数k?_____________. 2xxa(3) 设函数f(x)在区间[a,b]上连续.由积分中值公式有?f(t)dt?(x?a)f(?) (a???x?b).若导数的值等于_____________. x?a?????????(4) 设(a?b)?c?6，则(a?b)?(b?c)?(a?c)=_____________.
x?af??(a)存在且非零，则lim???a???k?f?(0)二、. f（10分）设f(x)在(?1,1)内有定义，在x?0处可导，且f(0)?0. 证明: lim??2??n??n2??k?1n三、（12分） 设f(x)在[0,?)上一致连续，且对于固定的x?[0,?)。当自然数n??时f(x?n)?0。证明: 函数序列{f(x?n)：n?1,2,?}在[0,1]上一致收敛于0.
四、（12分） 设D?{(x,y):x2?y2?1}，f(x,y)在D内连续，g(x,y)在D内连续有界，且满足条件： (1) 当x2?y2?1时，f(x,y)???；
2?2f?2f?2gf?gg??e??e(2) 在D中f与g有二阶偏导数， ,。 2222?x?y?x?y 证明： f(x,y)?g(x,y) 在D内处处成立.
0x?五、（10分）设 R?{(x,y):?1;?0y?， R??{(x,y):0?x?1??;0?y?1??}.
考虑积分I???dxdydxdyI?I?。 ， ???R，定义I??limR1?xy?0?1?xy?（1） 证明I??12； nn?1?1?u?(x?y)??2（2）利用变量替换：??v?1(y?x)??2计算积分I 的值，并由此推出
?26??12. n?1n?（13分） 已知两直线的方程：L:x?y?z，L?:六、
xyz?b.（1）问：参数a,b满足什么条件时，??1a1L与L?是异面直线？
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（2）当L与L?不重合时，求L?绕L旋转所生成的旋转面?的方程，并指出曲面?的类型.
七、(20分) 设A,B均为n阶半正定实对称矩阵，且满足n?1?rankA?n . 证明: 存在实可逆矩阵C使得CTAC和CTBC均为对角阵.
八、(15分) 设V是复数域C上的n维线性空间，fj:V?C (j?1,2) 是非零的线性函数。 且线性无关.
证明: 任意的??V都可表为???1??2。使得 f1(?)?f1(?2)，f2(?)?f2(?1).
参考答案（精简版）
首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009）
一、（15分）求经过三平行直线L1:x?y?z，L2:x?1?y?z?1，L3:x?y?1?z?1的圆柱面的方程.
?解： 先求圆柱面的轴L0的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向是n?(1,1,1)， 且圆柱面经?过点O(0,0,0)， 过点O(0,0,0)且垂直于n?(1,1,1)的平面?的方程为：
x?y?z?0. ……………………………（3分)
?与三已知直线的交点分别为O(0,0,0),P(1,0,?1),Q(0,?1,1)………… （5分)
圆柱面的轴L0是到这三点等距离的点的轨迹， 即
222222??x?y?z?(x?1)?y?(z?1)， ?222222??x?y?z?x?(y?1)?(z?1)?x?z?1即 ?，……………………………………………（9分)
y?z??1?将L0的方程改为标准方程
x?1?y?1?z.
圆柱面的半径即为平行直线x?y?z和x?1?y?1?z之间的距离. P0(1,?1,0)
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为L0上的点. ………………………………………………………………. （12分)
??????????|n?P0S||n?P0O|???对圆柱面上任意一点S(x,y,z)， 有， 即 |n||n| (?y?z?1)2?(x?z?1)2?(?x?y?2)2?6，
所以，所求圆柱面的方程为：
?3y?z x2?y2?z2?xy?xz3?x0y ………………. （15分) . ?二、（20分）设Cn?n是n?n复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间，
?0??1F??0????0??an??0?0?an?1?1?0?an?2?.
??????0?1?a1??0?0?a11a12?aa22（1）假设A??21?????a?n1an2?a1n???a2n?，若AF?FA，证明： ?????ann??A?an1Fn?1?an?11Fn?2???a21F?a11E；
（2）求Cn?n的子空间C(F)??X?Cn?n|FX?XF?的维数.
（1）的证明:记A?(?1,?2,?,?n)，M?an1Fn?1?an?11Fn?2???a21F?a11E.要证明
M?A，只需证明A与M的各个列向量对应相等即可.若以ei记第i个基本单位列向量.于是，只需证明：对每个i，Mei?Aei(??i). ……………………… （2分)
若记??(?an,?an?1,?,?a1)T，则F?(e2,e3,?,en,?).注意到，
Fe1?e2,F2e1?Fe2?e3,?,Fn?1e1?F(Fn?2e1)?Fen?1?en （*） ….. （6分)
由
Me1?(an1Fn?1?an?11Fn?2???a21F?a11E)e1????????an1Fn?1e1?an?11Fn?2e1???a21Fe1?a11Ee1????????an1en?an?11en?1???a21e2?a11e1???????????Ae1...............................................(10分）
知Me2?MFe1?FMe1?FAe1?AFe1?Ae2
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2?MF1e? Me32FMe1?2F1A?e2A?e 1F3AeMen?MFn?1e1?Fn?1Me1?Fn?1Ae1?AFn?1e1?Aen
所以，M?A. ………………………….. （14分)
（2）解： 由（1），C(F)?span{E,F,F2,?,Fn?1}，………… （16分) 设x0E?x1F?x2F2???xn?1Fn?1?O，等式两边同右乘e1，利用（*）得
??Oe1?(x0E?x1F?x2F2???xn?1Fn?1)e1
?x0Ee1?x1Fe1?x2F2e1???xn?1Fn?1e1?x0e1?x1e2?x2e3???xn?1en.........................(18分）
因e1,e2,e3,?,en线性无关，故，x0?x1?x2???xn?1?0…………（19分) 所以，E,F,F2,?,Fn?1线性无关.因此，E,F,F2,?,Fn?1是C(F)的基，特别地， dim. ……………………………（20分) CF(?)n三、（15分）假设V是复数域C上n维线性空间（n?0），f,g是V上的线性变换.如果fg?gf?f，证明：
f的特征值都是0，且f,g有公共特征向量.
证明：假设?0是f的特征值，W是相应的特征子空间，即W????V|f(?)??0??.于是，W在f下是不变的. …………………………（1分)
下面先证明，?0=0.任取非零??W，记m为使得?,g(?),g2(?),?,gm(?)线性相关的最小的非负整数，于是，当0?i?m?1时，?,g(?),g2(?),?,gi(?)线性无关…..（2分)
，并且，0?i?m?1时令Wi?span{?,g(?),g2(?),?,gi?1(?)},其中，W0?{?}.因此，dimWi?i（1?i?m）
Wm?Wm?1?Wm?2??. 显然，g(Wi)?Wi?1，特别地，Wm在g下是不变的. ………………（4分)
下面证明，Wm在f下也是不变的.事实上，由f(?)??0?，知
fg(?)?gf(?)?f(?)??0g(?)??0?…………（5分)
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fg2(?)?gfg(?)?fg(?)?????????????g(?0g(?)??0?)?(?0g(?)??0?)??????????????0g2(?)?2?0g(?)??0?根据
fgk(?)?gfgk?1(?)?fgk?1(?)?????????????g(fgk?1
.............................(6分）)(?)?fgk?1(?)
用归纳法不难证明，fgk(?)一定可以表示成?,g(?),g2(?),?,gk(?)的线性组合，且表示式中gk(?)前的系数为?0. …………………………………. （8分) 因此，Wm在f下也是不变的，f在Wm上的限制在基?,g(?),g2(?),?,gm?1(?)下的矩阵是上三角矩阵，且对角线元素都是?0，因而，这一限制的迹为m?0. …..（10分)
由于fg?gf?f在Wm上仍然成立，而fg?gf的迹一定为零，故m?0?0，即
?0=0. ………………………….. （12分)
任取??W，由于f(?)??，fg(?)?gf(?)?f(?)?g(?)?f(?)??，所以，g(?)?W.因此，W在g下是不变的.从而，在W中存在g的特征向量，这也是f,g的公共特征向量. ………………………………. （15分)
四、（10分）设?fn(x)?是定义在?a,b?上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在?a,b?x)?mil(f)x上满足fn'(x)?M（.1）证明?fn(x)?在?a,b?上一致收敛；（2）设f(nn??，问f(x)是否一定在?a,b?上处处可导,为什么？
证明：（1）???0，将区间?a,b?K等分，分点为xj?a?j(b?a),Kj?0,1,2,?,K，使
得
b?a?? . 由于?fn(x)?在有限个点?xj?,j?0,1,2,?,K上收敛，因此?N，?m?n?N，K使得fm(xj)?fn(xj)?? 对每个j?0,1,2,?,K成立. ………………………….. （3分) 于是?x?[a,b]，设x?[xj,xj?1]，则
fm(x)?fn(x)?fm(x)?fm(xj)?fm(xj)?fn(xj)?fn(xj)?fn(x)， ?fm'(?)(x?xj)?fm(xj)?fn(xj)?fn'(?)(x?xj)??2M?1??. …（5分)
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（2）不一定. ……………………………（6分) 令 fn(x)?x2?1，则f(x)?limfn(x)在?a,b?上不能保证处处可导.（10分)
n??n?20?sinnt1tdt， 证明?发散. sintn?1an333五、（10分）设an???3??sinntsinntsinntdt??ntdt???2tdt?I1?I2 ……. （3分) 解： ?2t00sintsintsintnI1???n0?sinnt?2n3ntdt?n?tdt?， ………………………（5分)
0sint2?sinnt?3???2tdt???t???dt??sint8?2t?n333I2???2?n??2?n?1?d?? ………..（7分) ?t??3?n2??2n?????. …………..（8分) 8????8?111因此?2，由此得到?发散. ……………………（10分)
an?nn?1an?2f?2f（15分） f(x,y)是?(x,y)|x?y?1?上二次连续可微函数，满足2?2?x2y2，计算积六、
?x?y22?x?fy?f??dxdy. ?分I???22?22?x22?y?x?y?1?x?y?x?y?解： 采用极坐标x?rcos?,y?rsin?，则
12??1??f?f?f??f?I??dr??cos???sin???rd???dr?222?dy?dx?…..（6分)
000x?y?r?x?y??y????x1??dr??01??f?f?22?dxdy?drxydxdy ……. （10分) ?222?22222???x?y?r0x?y?r??x?y?????dr??d??cos2?sin2?d??0001r52??168. ……………….（15分)
（15分））假设函数 f(x)在 [0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点 A(0,f(0))，七、
与点 B(1,f(1))的直线与曲线 y?f(x)相交于点 C(c,f(c))，其中 0?c?1. 证明：在 (0,1)内至少存在一点 ?，使 f??(?)?0.
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证明：因为 f(x)在 [0,c]上满足 Lagrange中值定理的条件，故存在 ?1?(0,c)， 使
f(c)?f(0).…………………………………………. （4分)
c?0由于C在弦 AB上，故有
f(c)?f(0)f?(1)f(0) =f(1)?f(0).….………….……….. （7分) ?c?01?0 f?(?1)?从而 f?(?1)?f(1)?f(0). …………………………...………..……….. （8分)
同理可证，存在 ?2?(c,1)，使 f?(?2)?f(1)?f(0). …….……..（11分) 由f?(?1)?f?(?2)，知 在[?1,?2]上 f?(x)满足 Rolle定理的条件，所以存在
??(?1,?2)?(0,1)，使 f??(?)?0. ………………….………….…….（15分)
首届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案及评分标准 （数学类，2010）
一、 填空题（共8分，每空2分.） （1） 设????0，则
??e??x2?0?e??xdx= ?(???).
x22（2）若关于x的方程kx?231在区间中有惟一实数解，则常数 . (0,??)?1(k?0)k?9x2xa（3）设函数f(x)在区间[a,b]上连续.由积分中值公式有?f(t)dt?(x?a)f(?)
??a1的值等于 . (a???x?b).若导数f??(a)存在且非零， 则limx?a?x?a2?????????（4）设(a?b)?c?6，则[(a?b)?(b?c)]?(a?c)=___12________. 二、（10分）设f(x)在(?1,1)内有定义，在x?0处可导，且f(0)?0.证明：
lim?n??k?1n'?k?f(0)f?2??. n2??证： 根据题目假设和泰劳展开式，我们有f(x)?f(0)?f'(0)x??(x)x,其中?(x)是x的函数，?(0)?0,且?(x)?0,当x?0。……………………………………… （2分） 因此，对于任意给定的??0，存在??0，使得?(x)??,只要x??。…… （3分）
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k?k??k?k对于任意自然数n和k?n，我们总有f?2??f'(0)2???2?2。…………（4分）
n?n??n?n取N???1，对于上述给定的??0，便有
???k???,只要n?N,k?n。 ……………………………… （5分） 2??n?于是，
?k?1nnnkk?k?'f?2??f(0)?2???2,只要n?N。 ?n?k?1nk?1nn此式又可写成
?k?11?1?k?1f?2??f'(0)(1?)?(1?),只要n?N。 ……………（7分）
n2n?n?2令n??，对上式取极限即得
limsup?n??k?1nn??k?1'f?2??f(0)? 和liminf?n??2?n?2k?1n??k?1f?2??f'(0)?
2?n?2?k?1 f?2??f'(0)。证毕。……（10分）
?n?2由?的任意性，即得limsup?n??k?1n?k?f?2??liminf??n?n??k?1三、(12分)设f(x)在[0,?)上一致连续，且对于固定的x?[0,?)，当自然数n??时
f(x?n)?0.证明函数序列{f(x?n):n?1,2,...}在[0,1]上一致收敛于0.
证：由于f(x)在[0,??)上一致连续，故对于任意给定的??0，存在一个??0使得
f(x1)?f(x2)?,只要x1?x2??(x1?0,x2?0) ………………………… （2分）
2?取一个充分大的自然数m，使得m???1，并在[0,1]中取m个点:
x1?0?x2?...?xm?1，
其中xj?j(j?1,2,...,m)。这样，对于每一个j， mxj?1?xj?n??1??。 ………………………………………………（5分） m又由于limf(x?n)?0，故对于每一个xj，存在一个Nj使得
f(xj?n)??2,只要n?Nj，
这里的?是前面给定的。令N?max{N1,...,Nm}，那么
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f(xj?n)??2,只要n?N，
其中j?1,2,...,m。 设x?[0,1]是任意一点，这时总有一个xj使得x?[xj,xj?1]。 由f(x)在[0,??)上一致连续性及x?xj??可知，
f(xj?n)?f(x?n)??2(?n?1,2,...) ……………………………… （9分）
另一方面，我们已经知道
,只要n?N 2这样，由后面证得的两个式子就得到 f(xj?n)?f(x?n)??,只要n?N,x?[0,1]
?注意到这里的N的选取与点x无关，这就证实了函数序列{f(x?n):n?1,2,...}在[0,1]上一致收敛于0。 ………………………… （12分）
四、（12分）设D?{(x,y):x2?y2?1}，f(x,y)在D内连续，g(x,y)在D内连续有界，且满足条件：（1）当x2?y2?1时，f(x,y)???；（2）在D内f与g有二阶偏导数，
?2f?2f?2g?2gf?2?e和2?2?eg.证明： f(x,y)?g(x,y) 在D内处处成立. 2?x?y?x?y证：用反证法。假定该不等式在某一点不成立，我们将导出矛盾。
令F(x,y)?f(x,y)?g(x,y). 那么，根据题目假设，当x2?y2?1时，F(x,y)???. 这样，F(x,y)在D内必然有最小值。设最小值在(x0,y0)?D达到。…………… (3分) 根据反证法假设，我们有
F(x0,y0)?f(x0,y0)?g(x0,y0)?0. (i)
另一方面，根据题目假设，我们又有
?F??f??g?ef(x,y)?eg(x,y)， (ii)
?2?2其中?是拉普拉斯算子：??2?2. …………………… (7分)
?x?y式子（ii）在D中处处成立，特别地在(x0,y0)成立：
?F(x0,y0)??f(x0,y0??g)(x0,y0)?ef(x0,y0)?eg(x0,y0). (iii)
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由(i)与(iii)可知，?F(x0,y0)?0. (iv) …………………… (9分) 但是，(x0,y0)是F(x,y)的极小值点，应该有Fxx(x0,y0)?0;Fyy?0,并因此?F|(x0,y0)?0 这与（iv）矛盾。此矛盾证明了题目中的结论成立。证毕。………………………………（12分） 五、（共10分，（1）和（2) 各5分）分别设
R?{(x,y):0?x?1;0?y?1}，R??{(x,y):0?x?1??;0?y?1??}.
考虑积分I???RdxdydxdyI?. 与I????R， 定义I??lim?0?1?xy1?xy? （1) 证明I??12； n?1n?1?u?(x?y)??2（2)利用变量替换：??v?1(y?x)??2计算积分I 的值，并由此推出
?26??12. nn?1?证： 显然，I???? (xy)dxdy ……………………………………………… （2分）
R??nn?0?注意到上述级数在R? 上的一致收敛性，我们有
I????n?0??1??0xdx?n1??0(1??)2nydy??。 ………………………………（4分） 2nn?1n??x2n1由于?2 在点x?1收敛，故有I?lim。 ………………………… （5分） I???2??0?nn?1n?1n下面证明I??26. 在给定的变换下，x?u?v,y?u?v，那么
11， ?1?xy1?u2?v2变换的雅可比行列式 ，J??(x,y)?2。 ………………………………………（6分）
?(u,v)?，那么根据R?的图象以及被积函数的特征，我假定正方形R在给定变换下的像为R们有
I?2???1?1?udvdv?u??dudv?4du?4du 1??????01?u2?v2??2??01?u2?v2?R1?u2?v2?1120第 11 页（ 共 8 页）
利用 又得
dx1x?arctan?C(a?0), ?a2?x2aa??1?uarctan??21?du?4?1?u?121?u2;h(u)?arctan1?u1?u2?uarctan?11?u2?2I?4?01?u2???du. …………………… （8分）
1?u, 1?u令 g(u)?arctan11?u2u1?u2?arctan那么g'(u)?;h'(u)??21?u2。
最后，我们得到
I?4?g'(u)g(u)du?8?1h'(u)h(u)du
21201??????? ?2[g(u)]|?4[h(u)]2|11 ?2???0?0?4???。……………………（10分）
666????21220222xyz?b。（1）问：参数a,b满??1a1足什么条件时，L与L'是异面直线？（2）当L与L'不重合时，求L'绕L旋转所生成的旋转面?的方程，并指出曲面?的类型。
???解：（1）L,L'的方向向量分别为n?(1,1,1),n'?(1,a,1)。
六、（13分）已知两直线的方程：L:x?y?z，L':???????分别取L,L'上的点O(0,0,0),P(0,0,b)。L与L'是异面直线当且仅当矢量n,n',OP不
共面，即，它们的混合积不为零：
111???????(n,n',OP)?1a1?(a?1)b?0，
00b所以，L与L'是异面直线当且仅当a?1且b?0。…………………………… （2分）
（2）假设P(x,y,z)是?上任一点，于是P必定是L'上一点P'(x',y',z')绕L旋转所
?????生成的。由于P'P与L垂直，所以，
(x?x')?(y?y')?(z?z')?0 ①
……………（4分）
又由于P'在L'上，所以， x'y'z'?b ， ② ??1a1第 12 页（ 共 8 页）
因为L经过坐标原点，所以，P,P'到原点的距离相等，故，
x2?y2?z2?x'2?y'2?z'2 ， ③
……………（5分）
将①，②，③联立，消去其中的x',y',z'： 令
x'y'z'?b???t，将x',y',z'用t表示： 1a1x'?t,y'?at,z'?t?b ， ④
将④代入①，得
(a?2)t?x?y?z?b ， ⑤
……………（6分）
当a??2，即L与L'不垂直时，解得t?得到?的方程：
a2?22b22x?y?z?(x?y?z?b)?(x?y?z?b)?b?0，………… （8分） 2(a?2)a?22221(x?y?z?b)，据此，再将④代入③，a?2当a??2时，由⑤得，x?y?z?b，这表明，?在这个平面上。……… （9分）
15同时，将④代入③，有x2?y2?z2?6t2?2bt?b2?6(t?b)2?b2。由于t可以是
66任意的，所以，这时，?的方程为：
?x?y?z?b?52， ………………………… （11分） ?222x?y?z?b?6??的类型：a?1且b?0时，L与L'平行，?是一柱面；a?1且b?0时，L与L'相交，?是一锥面（a??2时?是平面）；当a?1且b?0时，?是单叶双曲面（a??2时，?是去掉一个圆盘后的平
面）。 ………………………………………………………………（13分）
七、(20分)设A,B均为n阶半正定实对称矩阵，且满足n?1?rankA?n . 证明存在实可逆矩阵C使得
CTAC,CTBC均为对角阵.
证明 （1） A的秩为n的情形：此时，A为正定阵。于是存在可逆矩阵P使得
PTAP?E。……………………………………… （2分）
因为PTBP是实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q使得QT(PTBP)Q??是对角矩阵。（4分）
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令C?PQ，则有CTAC?E,CTBC??都是对角阵。（5分）
0??E（2）A的秩为n?1的情形：此时，存在实可逆矩阵P使得PTAP??n?1?。…（6分）
00???Bn?1??因为PBP是实对称矩阵，所以，可以假定PBP??T?，其中Bn?1是n?1阶实对称矩
?b??TT阵。…………………………………………………………………………………… （8分） 因为Bn?1是n?1阶实对称矩阵，所以存在n?1阶正交矩阵Qn?1，使得
??100???TQnBQ?0?0?1n?1n?1????n?1为对角阵。……………（10分）
?00??n???Q?TT令Q??n?1?,C?PQ，则CAC,CBC可以表示为
1???En?1CAC???T?T??n?1???,CBC??T?， 0??d??其中??(d1,d2,...,dn?1)T是n?1维列向量。
?E???n?1??,B?为简化记号， 我们不妨假定A??n?1??T?。 0?d????如果d?0，由于B是半正定的，B的各个主子式均?0。考虑B的含d的各个2阶主子式，容易知道，
??0。此时B已经是对角阵了，如所需。…………………………（14分）
现假设d?0。显然，对于任意实数k，A,B可以通过合同变换同时化成对角阵当且仅当同一合同变换可以将A,kA?B同时化成对角阵。由于k?0时，kA?B仍然是半正定矩阵，由（1），我们只需要证明：存在k?0，kA?B是可逆矩阵即可。……………（17分） 注意到，当k??i都不是0时，行列式
k??1kA?B?d1??dn?1d1?k??n?1dn?1dn?1?di2?n?1??d????(k??i)
k??i?1i?j?1?故只要k足够大就能保证kA?B是可逆矩阵。从而A,B可以通过合同变换同时化成对角阵。证毕。………………………………………………………………………………（20分）
八、(15分)设V是复数域C上的n维线性空间，fj:V?C 是非零的线性函数，j?1,2. 若不存在0?c?C第 14 页
使得f1?cf2， 证明：任意的??V都可表为???1??2使得f1(?)?f1(?2)，f2(?)?f2(?1). 证明：记Ej?Kerfj,j?1,2。由fj?0知dimEj?n?1,j?1,2。……………（2分） 不失一般性，可令
V?Cn????(x1,...,xn):x1,x2,...,xn?C?，
fj(?)?aj1x1?aj2x2?...?ajnxn,j?1,2。
由f1?0,f2?0，f1?cf2,?c?C，知
??a11x1?a12x2?...?a1nxn?0?a21x1?a22x2?...?a 2nxn?0的系数矩阵之秩为2。
因此其解空间维数为n?2，即dim(E1?E2)?n?2。…………………………（8分） 但dimE1?dimE2?dim(E1?E2)?dim(E1?E2)，故有dim(E1?E2)?n，即
E1?E2?V。………………………………………………………………………………（12分）现在，任意的??V都可表为???1??2，其中?1?E1,?2?E2。注意到f1(?1)?0,f2(?2)?0，因此
f1(?)?f1(?2)，f2(?)?f2(?1)。证毕。…………（15分）
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