?1111S?2所以n??????23341??1?2???，

2n?2???11???， n?1n?2??n． n?2【点睛】

本题考查的知识要点：正弦定理的应用，等差数列的性质的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

21．为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段?70,75?，?75,80?，

?80,85?，?85,90?，?90,95?，?95,100?，到如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中a的值及样本的中位数与众数；

（2）若从竞赛成绩在?70,75?与95,100两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M,求事件M发生的概率. （3）为了激励同学们的学习热情,现评出一二三等奖,得分在95,100内的为一等奖,得分在?90,95?内的为二等奖, 得分在?85,90?内的为三等奖.若将频率视为概率,现从考生中随机抽取三名,设?为获得三等奖的人数,求?的分布列与数学期望. 【答案】(1)0.06；87.5；87.5；(2)

????7；(3)详见解析 15【解析】（1）根据小矩形的面积之和等于1，列出方程，求得a的值，根据中位数定义估计中位数的范围，在列出方程求解中位数，再根据众数的定义，即可求解. （2）计算两组的人数，再计算抽取的两人在同一组的概率，即可求解；

（3）根据题意，得到随机变量服从二项分布，再利用二项分布的期望公式，即可求解. 【详解】

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（1）由频率分布直方图可知(a?0.05?0.04?2?0.02?0.01)?5?1，解得a?0.06，可知样本的中位数在第4组中，不妨设为x，

则(0.01?0.02?0.04)?5?(x?85)?0.05?0.5，解得x?87.5， 即样本的中位数为87.5，

由频率分布直方图可知，样本的众数为

85?90?87.5. 2（2）由频率分布直方图可知，在?70,75?与95,100两个分数段的学生人数分别为2和??4，设中两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M，

22C2?C477?M. 则事件M发生的概率为，即事件发生的概率为2C61515（3）从考生中随机抽取三名,则随机变量?为获得三等奖的人数,则??0,1,2,3， 由频率分布直方图知，从考升中任抽取1人，此生获得三等奖的概率为0.06?5?0.3，所以随机变量服从二项分布B(3,0.3)，

312则P(??0)?(1?0.3)?0.343,P(??1)?C3?0.3?(1?0.3)?0.441，

P(??2)?C32?0.32?(1?0.3)?0.189,P(??3)?0.33?0.027，

所以随机变量的分布列为

? P

0 0.343 1 0.441 2 0.189 3 0.027 所以E????3?0.3?0.9. 【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及随机变量的分布列及其数学期望的求解，其中解答中认真审题，熟练频率分布直方图的性质，正确确定随机变量的取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

22．如图,在四棱锥P?ABCD中,四边形ABCD是直角梯形, DC?2AD?2AB?2，

?DAB??ADC?90,PB?2，?PDC为等边三角形.

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（1）证明：PD?BC；

（2）求二面角A?PD?C的余弦值. 【答案】(1)略；(2)?

【解析】（1）推导出BD?BC,PB?BC，从而得到BC⊥平面PBD，由此可证得

13PD?BC；

（2）推导出PB?BD，以B为原点BC为x轴，BD为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】

（1）证明：在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，

DC?2AD?2AB?2，?DAB??ADC?90,PB?2，?PDC为等边三角形，

所以BC?BD?12?12?2222222，所以BD?BC?CD，PB?BC?PC,

所以BD?BC,PB?BC，又由BDPB?B，所以BC⊥平面PBD，

又因为BD?平面PBD，所以PD?BC； （2）因为BD2?PB2?PD2，所以PB?BD，

以B为原点BC为x轴，BD为y轴，BP为z轴，建立空间直角坐标系， 则A(?22,,0),P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,0,0)， 2222,,?2),PD?(0,2,?2),PC?(2,0,?2)， 22所以PA?(?设平面PAD的法向量为n?(x,y,z)，

?22x?y?2z?0?n?PA??则?，取x?1，得n?(?1,1,1)， 22?n?PD?2y?2z?0?设平面PCD的法向量为m?(x,y,z)，

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??m?PC?2x?2z?0则?，取x?1，得n?(1,1,1)， ??n?PD?2y?2z?0由图形可知二面角A?PD?C的平面角是钝角， 设二面角A?PD?C的平面角为?， 所以cos???m?nm?n??11??，

33?313即二面角A?PD?C的余弦值为?.

【点睛】

本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

1x2y2323．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，点M(3,)为椭圆上一点.

2ab2（1）求椭圆C的方程；

x2y2（2）已知两条互相垂直的直线l1，l2经过椭圆C:2?2?1的右焦点F，与椭圆Cab交于A,B与M,N四点，求四边形AMBN面积的的取值范围.

288x2y2,6] 【答案】（1）（2）[??1；

4943?c1?a?2?3?3【解析】（1）由题意可得?2?2?1，解得进而得到椭圆的方程；（2）设出直线l1，

?a242b2?a?b?c??l2的方程，直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，分别求得|AB|，|MN|，再

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