当k= 时上式不成立,因此t=t>3等价于

- - -

-

- -

.(10分) <0.(11分)

=

-

<0,即

-

-

- -

由此得 或 解得

- - 因此k的取值范围是( ,2).(12分)

疑难突破 第(1)问中求出直线AM的倾斜角是解决问题的关键;第(2)问利用2|AM|=|AN|得出t与k的关系式,由t>3,建立关于k的不等式,从而得出k的取值范围.

名师点拨 本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系以及方程的思想方法的应用,考查学生的运算求解能力及逻辑思维能力.挖掘出题目中t>3这一隐含条件是把等式转化为不等式的关键.

考点三 存在性问题

(2015课标Ⅱ,20,12分,0.145)已知椭圆C:9x+y=m(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. (1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;

(2)若l过点 ,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.

解析 (1)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将y=kx+b代入9x+y=m得(k+9)x+2kbx+b-m=0,故 xM=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

= ,yM=kxM+b= .

-

于是直线OM的斜率kOM= =- ,即kOM·k=-9. 所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB能为平行四边形.

因为直线l过点 ,所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3. 由(1)得OM的方程为y=-x.

设点P的横坐标为xP.

- = ,即xP= . 由 得

将点 的坐标代入l的方程得b=

-

,

因此xM=

-

.

四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM. 于是 =2× ,解得k1=4- ,k2=4+ .

-

因为ki>0,ki≠3,i=1,2,所以当l的斜率为4- 或4+ 时,四边形OAPB为平行四边形.

思路分析 (1)设出直线l的方程,与椭圆方程联立并消元,利用韦达定理求得AB的中点M的坐标,进而可得出结论;(2)要使四边形OAPB为平行四边形,则线段AB与线段OP互相平分,即xP=2xM,由此结合已知条件建立相应方程,进而通过解方程使问题得解.

方法总结 解决定值问题的常见方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在推理、计算的过程中消去变量,从而得到定值.

B组 自主命题·省(区、市)卷题组

考点一 定值与定点问题

(2018北京,19,14分)已知抛物线C:y=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N. (1)求直线l的斜率的取值范围;

=λ , =μ ,求证: + 为定值. (2)设O为原点, 解析 (1)因为抛物线y=2px过点(1,2),

2

2

所以2p=4,即p=2. 故抛物线C的方程为y=4x,

由题意知,直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为y=kx+1(k≠0). 22

由 得kx+(2k-4)x+1=0.

依题意Δ=(2k-4)-4×k×1>0,解得k<0或0

所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 由(1)知x1+x2=- ,x1x2= . 直线PA的方程为y-2= - (x-1).

2

22

-

-

令x=0,得点M的纵坐标为yM= - +2=

-

- -

+2.

同理得点N的纵坐标为yN=

- -

+2.

=λ , =μ 得λ=1-yM,μ=1-yN. 由

所以 + = - + - = - + -

- -

- = - · = - ·

-

=2.

所以 + 为定值.

方法总结 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1)求代数式为定值.依题设条件,得出与代数式有关的等式,化简即可得出定值;

(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的表达式,再利用题设条件化简、变形求得;

(3)求某线段长度为定值.利用两点间的距离公式求得线段长度的表达式,再依据条件对表达式进行化简、变形即可求得.

考点二 最值与范围问题

2

=2 ,则当m= 1.(2018浙江,17,4分)已知点P(0,1),椭圆 +y=m(m>1)上两点A,B满足

时,点B横坐标的绝对值最大. 答案 5

2.(2017山东,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率为 ,焦距为2. (1)求椭圆E的方程;

(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=.M

是线段OC延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M的两条切线,切点分别为S,T.求∠SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.

解析 (1)由题意知e==,2c=2,所以a= ,b=1,

因此椭圆E的方程为 +y=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),

2 消y整理得(4 联立 +2)x-4 k1x-1=0,

-

2

由题意知Δ>0,且x1+x2=

,x1x2=-

,

所以|AB|= |x1-x2|=

.

由题意可知圆M的半径 r=|AB|=

·

.

由题设知k1k2=,所以k2=

,

因此直线OC的方程为y=

x.

22 联立 得x=,y=,

因此|OC|=

= .

由题意可知sin

=

=

,

而

= =

,

令t=1+2 ,则t>1, ∈(0,1),

因此= · = · - = · -

- - ≥1,

当且仅当 = ,即t=2时等号成立,此时k1=± , 所以sin因此

≤,

≤ ,所以∠SOT的最大值为 .

综上所述:∠SOT的最大值为 ,取得最大值时直线l的斜率k1=± .

思路分析 (1)由离心率和焦距,利用基本量运算求解;(2)联立直线l与椭圆方程,利用距离公式求