44∵当x＞0时，3x＋≥2·3x·＝4 3，

xx42 3

当且仅当3x＝，即x＝时取“＝”．

x34

3x＋?有最大值2－4 3.故C项不正确，D项正确． ∴y＝2－?x??

111

2．C 解析：∵x＞2，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2 ?x－2?·＋2＝4，

x－2x－2x－2

1

当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．

x－2

3．C 解析：z＝x2－3xy＋4y2，

22

2y－3xyxyzx－3xy＋4y2x·

＝≥＝＝1. xyxyxyxy

z

当且仅当x＝2y时，取最小值，此时z＝2y2.

xy

x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y2－2y)＝－2(y－1)2＋2，最大值为2.故选C.

4．D 解析：由题意知，ab>0，且3a＋4b>0，所以a>0，b>0.又log4(3a＋4b)＝log2ab，

433a?4＋3?＝7＋4b＋3a≥7＋2 4b·所以3a＋4b＝ab.所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝7＋?ab?ababab4b3a

4 3.当且仅当＝，即a＝4＋2 3，b＝3＋2 3时，等号成立．故选D.

ab

12121225．C 解析：∵＋＝ab，∴a＞0，b＞0.∵ab＝＋≥2 ·＝2 ，∴ab≥2

abababab

2(当且仅当b＝2a时取等号)，∴ab的最小值为2 2.故选C.

a＋ba＋b?111

6．C 解析：p＝f(ab)＝lnab＝ln(ab)，q＝f?＝ln ，r＝[f(a)＋f(b)]＝

2222?2?ln(ab)．

a＋ba＋b?因为＞ab，由f(x)＝ln x在区间(0，＋∞)内是增函数，可知f?2?2?＞f(ab)，所以q＞p＝r.故选C.

21?2＋1?7．A 解析：方法一，由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0.∴x＋2y＝(x＋2y)·?xy?xy

4yx

＝＋＋4≥4＋4＝8(当且仅当x＝4，y＝2等号成立)． xy

2

11?x＋2y?2(x＋2y)

方法二，由x＋2y＝xy＝x·2y≤＝，∴x＋2y≥8(当且仅当x＝2y时取

22?2?8

等号)．

3－x2312

8．3 解析：由x＋2xy－3＝0，得y＝＝－x.

2x2x2

313x33x3则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2 ·＝3，当且仅当x＝1时，等号成立．所以(2x

2x222x22x

＋y)min＝3.

9．(1)9 (2)1

解析：(1)因为x＞－1，所以x＋1＞0，

?x＋5??x＋2?x2＋7x＋10

所以y＝＝

x＋1x＋1

?x＋1?2＋5?x＋1?＋44＝＝(x＋1)＋＋5

x＋1x＋1

44

≥2 ?x＋1?·＋5＝9.当且仅当x＋1＝，

x＋1x＋1

?x＋5??x＋2?

即x＝1时等号成立．故函数y＝的最小值为9.

x＋1

151

(2)因为x＜，所以5－4x＞0.则f(x)＝4x－2＋＝－?5－4x＋5－4x?＋3≤－2＋3＝

4??4x－51.

1

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．

5－4x1

故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.

4x－5

10．(1)B (2)6

ba?212?2a＋b?2a＋b2b2aba＋≥5＋2×2 解析：＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2?·＝9. ?ab?abababab

121

当且仅当a＝b＝时取等号．∵＋≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9.故选B.

3ab9－3y

(2)由已知，得x＝. 1＋y

方法一，(消元法)

∵x>0，y>0，∴0

9－3y1212

∴x＋3y＝＋3y＝＋(3y＋3)－6≥2 ·?3y＋3?－6＝6.

1＋y1＋y1＋y12

当且仅当＝3y＋3，即y＝1，x＝3时，取等号，故(x＋3y)min＝6.

1＋y

方法二，∵x>0，y>0，

11?x＋3y?2

9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，

33?2?当且仅当x＝3y时等号成立．

设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0. ∴(t－6)(t＋18)≥0. 又t>0，∴t≥6.

故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.

第4讲 简单的线性规划

1．D 解析：如图D116，画出可行域．

图D116

1

z＝x＋2y表示斜率为－的一组平行线，当过点C(3，3)时，目标函数取得最大值zmax

2

＝3＋2×3＝9.

2．B 解析：将点(0,0)，(2,0)，(0,3)代入z＝x－y解得0,2，－3.所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．故选B.

x＋y－2y－3

3．B 解析：作出不等式组表示的平面区域(如图D117)，因为z＝＝＋1

x＋1x＋1

表示平面区域内的点与点(－1，3)之间连线的斜率k与1的和．由图知，当x＝0，y＝－2

时，k取得最小值kmin＝z∈[－4，1]．故选B.

－2－33－3

＝－5；当x＝0，y＝3时，k取得最大值kmax＝＝0.所以0＋10＋1

图D117

4．B 解析：根据题中约束条件可画出可行域如图D118.两直线交点坐标为

11a－1a＋1?1

－，?，z的最小值为－，不合题意；A?.又由z＝x＋ay知，当a＝0时，A?，?22?22??2

2

a－1a＋1a＋2a－11z

当a≥1时，y＝－x＋过点A时，z有最小值，即z＝＋a×＝＝7，解

aa222

得a＝3或a＝－5(舍去)；当a<1时，z无最小值．故选B.

图D118

5．C 解析：区域M是一个三角形区域，三个顶点的坐标分别是(8,3)，(10,2)，(9,1)，结合图形检验，可知：当a∈[2,9]时，符合题目要求．

6．D 解析：如图D119，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.

图D119

7．1 解析：不等式组表示的区域如图D120所示的阴影部分，

图D120

由x＝1，x＋y＝0，得A(1，－1)； 由x＝1，x－y－4＝0，得B(1，－3)； 由x＋y＝0，x－y－4＝0，得C(2，－2)．

1

∴|AB|＝2.∴S△ABC＝×2×1＝1.

2

4

，13? 解析：由图D121知，原点到直线2x＋y－2＝0的距离平方为x2＋y2的最小8.??5?2?24

值，为? ＝；原点到点(2,3)距离平方为x2＋y2的最大值，为13.因此x2＋y2的取值范

5?5?

4

，13?. 围为??5?

图D121

x－4y＋3≤0，??9．解：由约束条件?3x＋5y－25≤0，

??x≥1，

作出(x，y)的可行域如图D122所示的阴影部分．

图D122

??x＝1，22

1，?. 由?解得A?5????3x＋5y－25＝0，??x＝1，

由?解得C(1,1)． ?x－4y＋3＝0，???x－4y＋3＝0，由?解得B(5,2)． ?3x＋5y－25＝0，?

yy－0(1)∵z＝＝，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin

xx－02

＝kOB＝. 5

(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， dmin＝|OC|＝2，dmax＝|OB|＝29. 故z的取值范围是[2,29]．

(3)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．

结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝?－3－5?2＋?2－2?2＝8. 故z的取值范围是[16,64]．

10．解：g(x)＝x2＋(a＋1)x＋a＋b＋1，

两个零点为方程x2＋(a＋1)x＋a＋b＋1＝0的两根，且一根大于1，另一根大于0且小于1，

???g?0?>0，?a＋b＋1>0，

由根的分布画图，得?即?

??g?1?<0，2a＋b＋3<0.??

作出可行域如图D123.