在上述两个参考系(惯性系)中,动能定理和功能原理仍是成立的.
5. 在车窗都关好的行驶的汽车内,漂浮着一个氢气球,当汽车向左转弯时,氢气球在车内将向左运动还是向右运动? 参考解答:
在空气中释放一氢气球,它将受浮力的作用上升。这浮力的根源是大气在重力场中的压强上小下大,因而对氢气上下表面的压力不同,上小下大,而使浮力与重力的方向相反。
在题述汽车向左转弯时,它具有指向车厢左侧的法向加速度。因而汽车是一非惯性系。在汽车内观察,即以汽车为参考系,其中空气将受到指向右侧的惯性离心力。汽车内的空气就好象处在一水平向右的“重力场”中一样。根据Fi=m?2r,这“重力场”左弱右强。和在地球表面空气中氢气球受浮力要向上运动类似,在汽车内空气中的氢气球将受到水平向左(与水平“重力”方向相反)的“浮力”的作用而向左运动。
(忽略由于氢气球质量很小而引起的在车内看到的很小的向右的运动)
第2章 刚体定轴转动
一、选择题
1(B),2(B),3(A,)4(D),5(C),6(C),7(C),8(C),9(D),10(C) 二、填空题
(1). v ≈15.2 m /s,n2=500 rev /min (2). 62.5 1.67s (3). g / l g / (2l) (4). 5.0 N·m (5). 4.0 rad/s (6). 0.25 kg2m2 (7). (8).
1212Ma
l?mgl参考解:M=?dM=???gm/l?rdr?012?mgl
(9).
6v0?4?3M/m?l
(10). 2E0
三、计算题
1.一砂轮直径为1 m质量为50 kg,以 900 rev / min的转速转动.撤去动力后,一工件以 200 N的正压力作用在轮边缘上,使砂轮在11.8 s内停止.求砂轮和工件间的摩擦系数.(砂轮轴的摩擦可忽略不计,砂轮绕轴的转动惯量为径).
9
12mR2,其中m和R分别为砂轮的质量和半
解:R = 0.5 m,?0 = 900 rev/min = 30? rad/s,
根据转动定律 M = -J? ① 这里 M = -?NR ②
?为摩擦系数,N为正压力,J?12mR2. ③
设在时刻t砂轮开始停转,则有: ?t??0??t?0
从而得 ?=??0 / t ④
将②、③、④式代入①式,得 ??NR?12mR2(??0/t)
∴ ??mR?0 / (2Nt)≈0.5
2.一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端,绳另一端绕在一轮轴的轴上,如图所示.轴水平且垂直于轮轴面,其半径为r,整个装置架在光滑的固定轴承之上.当物体从静止释放后,在时间t内下降了一段距离S.试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示).
解:设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T,则根据牛顿运动定律和转动定律得:
mg-T=ma ① T r=J? ② 由运动学关系有: a = r? ③ 由①、②、③式解得: J=m( g-a) r2 / a ④ 又根据已知条件 v0=0 ∴ S=
12at, a=2S / t ⑤
2
2 r Om
??T a T mg 2
r 将⑤式代入④式得:J=mr(
gt22S-1)
3.如图所示,设两重物的质量分别为m1和m2,且m1>m2,定滑轮的半径为 r,对转轴的转动惯量为J,轻绳与滑轮间无滑动,滑轮轴上摩擦不计.设开 r 始时系统静止,试求t时刻滑轮的角速度. m2 m1 解:作示力图.两重物加速度大小a相同,方向如图.
m1g-T1=m1a T2-m2g=m2a 设滑轮的角加速度为?,则 (T1-T2)r=J? 且有 a=r? ?由以上四式消去T1,T2得: r ??
?m1?m2?gr2?m1?m2?r?J
T1T1 aT2T2 am2g开始时系统静止,故t时刻滑轮的角速度. ??? t??m1?m1?m2?grt2m1g?m2?r?J
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4.物体A和B叠放在水平桌面上,由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接,如图所示.今用大小为F的水平力拉A.设A、B和滑轮的质量都为m,滑轮的半径为R,对轴的转动惯量J=
12mR2.AB之间、A与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都
B A 可以忽略不计,绳与滑轮之间无相对的滑动且绳不可伸长.已R 知F=10 N,m=8.0 kg,R=0.050 m.求:
(1) 滑轮的角加速度; (2) 物体A与滑轮之间的绳中的张力; (3) 物体B与滑轮之间的绳中的张力.
解:各物体受力情况如图. F-T=ma T?=ma (T?T?)R=
12mR?
T ’2?F
a T ’ B a=R?
由上述方程组解得: ? T a
-2
T ??=2F / (5mR)=10 rad2s F A T=3F / 5=6.0 N T?=2F / 5=4.0 N
5.一根放在水平光滑桌面上的匀质棒,可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O转动.棒的质量为m = 1.5 kg,长度为l = 1.0 m,对轴的转动惯量为J =
13ml2.初始时棒静止.今有一水平运动的子弹垂直地射入棒
O m, l 的另一端,并留在棒中,如图所示.子弹的质量为m?= 0.020 kg,v m? -1
速率为v = 400 m2s.试问: (1) 棒开始和子弹一起转动时角速度?有多大?
(2) 若棒转动时受到大小为Mr = 4.0 N2m的恒定阻力矩作用,棒能转过多大的角度??
解:(1) 角动量守恒:
m?vl??∴ ???1?3m?vml22??m?l??
??1??m?m??l?3?12=15.4 rad2s-1
2 (2) 由转动定律,得: -Mr=(ml+m?l)?
3 0-?=2??
?1?2?m?m??l??3?2Mr2?2
∴ ??
=15.4 rad
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6.如图所示,A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上,设两轮的转动惯量分别为 J=10 kg2m2 和 J=20 kg2m2.开始时,A轮转速为600 rev/min,B轮静
AB止.C为摩擦啮合器,其转动惯量可忽略不计.A、B分别与
C的左、右两个组件相连,当C的左右组件啮合时,B轮得C到加速而A轮减速,直到两轮的转速相等为止.设轴光滑,求: ?A (1) 两轮啮合后的转速n;
(2) 两轮各自所受的冲量矩.
解:(1) 选择A、B两轮为系统,啮合过程中只有内力矩作用,故系统角动量守恒
JA?A+JB?B = (JA+JB)?,
又?B=0得: ???? JA?A / (JA+JB) = 20.9 rad / s 转速 n?200 rev/min (2) A轮受的冲量矩
??MAdt= JA(JA+JB) = ?4.19310
2
N2m2s
负号表示与?A方向相反. B轮受的冲量矩
??MBdt= JB(? - 0) = 4.19310
2
N2m2s
方向与?A相同.
7.一匀质细棒长为2L,质量为m,以与棒长方向相垂直的速度v0在光滑水平面内平动时,与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞.碰撞点位于棒中心的一侧
12L处,如图所示.求棒在碰撞后的瞬
1212L L L v0 O 时绕O点转动的角速度?.(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为ml,式中的m和l分别为棒的质量和长度.)
312v0
解:碰撞前瞬时,杆对O点的角动量为
?3L/20?v0xdx??L/20?v0xdx??v0L?212mv0L
式中?为杆的线密度.碰撞后瞬时,杆对O点的角动量为
221?3?3?1?1??72mL? J???m?L??m?L????3?4?2?4?2??12??因碰撞前后角动量守恒,所以 7mL?/12?212mv0L
∴ ? = 6v0 / (7L)
8.如图所示,一长为l质量为M的匀质竖直杆可绕通过杆上端的固定水平轴O无摩擦地转动.一质量为m的泥团在垂直于轴O的图面内以水平速度v0打在杆的中点并粘住,求杆摆起的最大角度.
解:选泥团和杆为系统,在打击过程中,系统所受外力对O轴的合力矩为零, 对定轴O的角动量守恒,设刚打击后两者一起摆起的角速度为?,则有
Omv0M12l
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