1lmv0?1lmv?J? ①
2其中 v???l/2 ②
2
在泥团、杆上摆过程中，选杆、泥团、地球为系统，有机械能守恒．当杆摆到最大角度??时有
?M?m?g1l?1?cos???1mv222?21J? ③ 2联立解以上三式可得 ??cos?122??3mv01???
?M?m??3m?4M?gl??四 研讨题
1. 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时，一般能不能认为它的质量集中于其质心，成为一
质点，然后计算这个质点对该轴的转动惯量？为什么？举例说明你的结论。
参考解答： 不能．
因为刚体的转动惯量?ri2?mi与各质量元和它们对转轴的距离有关．如一匀质圆盘对
12mR2过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为，若按质量全部集中于质心计算，则对同一轴
的转动惯量为零．
2. 刚体定轴转动时，它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关。对于非刚体也是这样吗？为什么？
参考解答：
根据动能定理可知，质点系的动能增量不仅决定于外力做的功，还决定于内力做的功。
由于刚体内任意两质量元间的距离固定，或说在运动过程中两质量元的相对位移为零，所以每一对内力做功之和都为零。故刚体定轴转动时，动能的增量就只决定于外力的功而与内力的作用无关了。
非刚体的各质量元间一般都会有相对位移，所以不能保证每一对内力做功之和都为零，故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功。
3. 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球，为什么乒乓球能自动返回？
参考解答：
分析：乒乓球（设乒乓球为均质球壳）的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的转动．乒乓球在台面上滚动时，受到的水平方向的力只有摩擦力．若乒乓球平动的初始速度vc的方向如图，则摩擦力 Fr的 方向一定向后．摩擦力的作用有二，对质心的运动来说，它使质心平动的速度vc 逐渐减小；对绕质心的转动来说，它将使转动的角速度?逐渐变小．
当质心平动的速度vc= 0而角速度? ?0 时，乒乓球将返回．因此，要使乒乓球能自动返回，初始速度vc和初始角速度?0的大小应满足一定的关系． 解题：由质心运动定理:?
Fr?mdvcdt
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因Fr?? mg, 得 vc?vc0??g (1)
由对通过质心的轴（垂直于屏面）的转动定律M?I?
?RFr?(23mR)2d?dt, 得
???0?32R?gt (2)
由(1),(2)两式可得 ???0?可得 ?0?3vc.2R3vc.?vc2R ??0 , 令 vc?0 ；
这说明当vc= 0和?0的大小满足此关系时，乒乓球可自动返回．
第3章 狭义相对论 一、选择题
1(B)，2(C)，3(C)，4(B)，5(B)，6(D)，7(C)，10(D)，11(D)，12(C) 二、填空题 (1). c
-(2). 4.333108s
2(3).?? ?x/v , (?x/v)1?(v/c)
(4). c (5). 0.99c (6). 0.99c
-(7). 8.893108 s (8).
12mlS3c
--
(9). 5.831013, 8.043102 (10).
,
25m9lS
三、计算题
1.在惯性系K中，有两个事件同时发生在 x轴上相距1000 m的两点，而在另一惯性系K′（沿x轴方向相对于Ｋ系运动）中测得这两个事件发生的地点相距2000 m．求在K＇系中测得这两个事件的时间间隔．
解：根据洛仑兹变换公式: x??x?vt1?(v/c)2 ，t??t?vx/c22
1?(v/c)??可得 x2x2?vt21?(v/c)2 ，x1??x1?vt11?(v/c)2
在K系，两事件同时发生，t1 = t2，则
??x1?? x22x2?x11?(v/c)2 ，
12∴ 1?(v/c)??x1?)??(x2?x1)/(x2
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解得 v?3c/2．
22?时刻， 在K′系上述两事件不同时发生，设分别发生于t1?和 t2则 t1????由此得 t1??t2t1?vx1/c1?(v/c)2??，t22t2?vx2/c1?(v/c)－
2
v(x2?x1)/c1?(v/c)2=5.77×106 s
-2.在K惯性系中，相距?x = 53106 m的两个地方发生两事件，时间间隔?t = 102 s；而在相对于K系沿正x方向匀速运动的K＇系中观测到这两事件却是同时发生的．试计算在K＇系中发生这两事件的地点间的距离?x＇是多少？
解：设两系的相对速度为v．根据洛仑兹变换， 对于两事件，有 ?x??x??v?t?2
1?(v/c) ?t??t??(v/c)?x?22
1?(v/c)2由题意： ?t??0
可得 ?t?(v/c)?x 及 ?x???x1?(v/c) 由上两式可得 ?x??[(?x)?(c?t/c)]?[?x?c?t]= 43106 m
3. 一隧道长为L，宽为d，高为h，拱顶为半圆，如图．设想一列车以极高的速度v沿隧道长度方向通过隧道，若从列车上观d/2h测，
(1) 隧道的尺寸如何？ v Ld (2) 设列车的长度为l0，它全部通过隧道的时间是多少？
解：(1) 从列车上观察，隧道的长度缩短，其它尺寸均不变。
2221/22221/22
隧道长度为 L??L1?vc22
(2) 从列车上观察，隧道以速度v经过列车，它经过列车全长所需时间为 t??L?v?l0v ?L1?(v/c)v2?l0
这也即列车全部通过隧道的时间.
4. 在惯性系S中，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一事件晚发生?t =2s；而在另一惯性系S＇中，观测第二事件比第一事件晚发生?t?=3s．那么在S＇系中发生两事件的地点之间的距离是多少？
解：令S＇系与S系的相对速度为v，有
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?t???t1?(v/c)2， (?t/?t?)?1?(v/c)
21/222则 v?c?(1?(?t/?t?)) ( = 2.243108 m2s1 )
那么，在S＇系中测得两事件之间距离为：
-
?x??v??t??c(?t???t)221/2= 6.723108 m
5. 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？
解：两者相撞的时间间隔Δt = 5s是运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式?t??t`1?(v/c)2，可得时间间隔为?t`??t1?(v/c)= 4(s)．
2
6.设有一个静止质量为m0的质点，以接近光速的速率v与一质量为M0的静止质点发生碰撞结合成一个复合质点．求复合质点的速率vf．
解：设结合后复合质点的质量为M′，根据动量守恒和能量守恒定律可得
m0v/1?v2/c2222?M?vf M?c?M0c?m0c/1?v2/c2
由上面二个方程解得 vf?m0v/(m0?M01?v2/c)
2
四 研讨题
1. 相对论的时间和空间概念与牛顿力学的有何不同？有何联系？
参考解答：
牛顿力学时空观的基本观点是，长度和时间的测量与运动（或说与参考系）无关；而相对论时空观的基本观点是，长度和时间的测量不仅与运动有关，还与物质分布有关。
牛顿力学时空概念是相对论时空观在低速（即运动速度远远小于光速）时的近似。 牛顿力学时空观的基本原理是力学相对性原理，由力学基本原理得到的两个惯性系的运动量间的关系是伽利略变换
x??x?vt,y??y,z??z,t??t.
狭义相对论时空观的基本原理是相对论的相对性原理和光速不变原理，而相应运动量之间的变换是洛仑兹变换
x??x?vt1?vc22t?,y??y,z??z,t??vc2x22.
1?vc比较上述两个变换式可知，在低速时，即v ??c时，洛仑兹变换式就会过渡到伽利略变换式。
2. 同时的相对性是什么意思？为什么会有这种相对性？如果光速是无限大，是否还会有同时性的相对性？
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