极值点偏移问题的两种常见解法之比较
浅谈部分导数压轴题的解法
在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数y?f(x)是连续函数，在区间(x1,x2)内有且只有一个极值点x0，且
f(x1)?f(x2)，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点x0?x1?x2，2我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点x0?偏移”.
极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则对区间(a,b)内的任意两个变量x1、x2，
f(x1)?f(x2)?x1?x2；若函数f(x)在区间(a,b)内单调递减，则对区间(a,b)内
x1?x2的情况，我们称这种状态为“极值点2的任意两个变量x1、x2，f(x1)?f(x2)?x1?x2. 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？
?a?b,a?b,?两个正数a和b的对数平均数定义：L(a,b)??lna?lnb
??a,a?b,对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是：ab?L(a,b)?（此式记为对数平均不等式）
下面给出对数平均不等式的证明： i）当a?b?0时，显然等号成立 ii）当a?b?0时，不妨设a?b?0，
a?b，2
①先证ab?aaba?ba?b?，要证ab?，只须证：ln?，
bbalna?lnblna?lnb令a1?x?1，只须证：2lnx?x?,x?1 bx21(x?1)21?0，所以f(x) 设f(x)?2lnx?x?,x?1，则f?(x)??1?2??2xxxx在(1,??)内单调递减，所以f(x)?f(1)?0，即2lnx?x?a?b
lna?lnba?ba?b②再证： ?lna?lnb21， x故ab?aa?1lna?ba?b要证：，只须证：b??b
alna?lnb22?1bax?1lnx2lnx令?x?1，则只须证：，只须证1???，x?1 bx?12x?1221?(x?1)22lnx???0 设g(x)?1?，x?1，则g?(x)??22(x?1)2x2x(x?1)x?12所以g(x)在区间(1,??)内单调递减，所以g(x)?g(1)?0，即1?故
a?ba?b ?lna?lnb2a?b2
x2lnx， ?x?12综上述，当a?0,b?0时，ab?L(a,b)?例1（2016年高考数学全国Ⅰ理科第21题）已知函数f(x)?(x?2)e?a(x?1)有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1?x2?2． 解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为R，
当a?0时，f(x)?(x?2)e?0，得x?2，只有一个零点，不合题意；
x2当a?0时，f?(x)?(x?1)[e?2a]
x当a?0时，由f?(x)?0得，x?1，由f?(x)?0得，x?1，由f?(x)?0得，x?1，
故，x?1是f(x)的极小值点，也是f(x)的最小值点，所以f(x)min?f(1)??e?0 又f(2)?a?0，故在区间(1,2)内存在一个零点x2，即1?x2?2 由lim(x?2)ex?limx???x?212a(x?1)?0，所以，f(x)在区间 又?lim?0,x???e?xx????e?x(??,1)存在唯一零点x1，即x1?1，
故a?0时，f(x)存在两个零点；
当a?0时，由f?(x)?0得，x?1或x?ln(?2a)， 若ln(?2a)?1，即a??若ln(?2a)?1，即?e时，f?(x)?0，故f(x)在R上单调递增，与题意不符 2e?a?0时，易证f(x)极大值=f(1)??e?0故f(x)在R上只有一 2e个零点，若ln(?2a)?1，即a??时，易证
2f(x)极大值=f(ln(?2a)?a(ln2(?2a)?4ln(?2a)?5)?0，故f(x)在R上只有一个零点
综上述，a?0
（Ⅱ）解法一、根据函数的单调性证明 由（Ⅰ）知，a?0且x1?1?x2?2
2?x令h(x)?f(x)?f(2?x)?(x?2)e?xe因为x?1，所以x?1?0,e2(x?1)x(x?1)(e2(x?1)?1),x?1，则h?(x)? ex?2?1?0，所以h?(x)?0，所以h(x)在(1,??)内单调递增 x)?，所以f(x2)?f(2?x2)，所以f(x1)?f(2?x2)，
所以h(x)?h(1)?0，即f(x)?f2(因为x1?1,2?x2?1，f(x)在区间(??,1)内单调递减，所以x1?2?x2，即x1?x2?2 解法二、利用对数平均不等式证明
由（Ⅰ）知，a?0，又f(0)?a?2所以， 当0?a?2时，x1?0且1?x2?2，故x1?x2?2
(x1?2)ex1(x2?2)ex2当a?2时，0?x1?1?x2?2，又因为a????(x1?1)2(x2?1)2 (2?x1)ex1(2?x2)ex2即?2(1?x1)(x2?1)2
所以ln(2?x1)?x1?2ln(1?x1)?ln(2?x2)?x2?2ln(x2?1)
所以ln(2?x1)?ln(2?x2)?2(ln(1?x1)?ln(x2?1))?x2?x1?(2?x1)?(2?x2)所以1?2ln(1?x1)?ln(x2?1)(2?x1)?(2?x2)4?x1?x2??
ln(2?x1)?ln(2?x2)ln(2?x1)?ln(2?x2)2所以
x1?x2?2ln(1?x1)?ln(x2?1)?22ln(2?x1)?ln(2?x2) ①
下面用反证法证明不等式①成立
因为0?x1?1?x2?2，所以2?x1?2?x2?0，所以ln(2?x1)?ln(2?x2)?0 假设x1?x2?2，当x1?x2?2，
x1?x2?2ln(1?x1)?ln(x2?1)?0且2=0,与①矛盾； 2ln(2?x1)?ln(2?x2)当x1?x2?2时所以x1?x2?2x1?x2?2ln(1?x1)?ln(x2?1)?0且2<0,与①矛盾，故假设不成立 2ln(2?x1)?ln(2?x2)
2例2 （2011年高考数学辽宁卷理科第21题）已知函数f(x)?lnx?ax?(2?a)x （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）若曲线y?f(x)与x轴交于A、B两点，A、B中点的横坐标为x0，证明：f?(x0)?0 解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域是(0,??)
f?(x)?1(1?2x)(1?ax) ?2ax?(2?a)?xx当a?0时，f?(x)?0在区间(0,??)内恒成立，即f(x)在区间(0,??)内单调递增 当a?0时，由f?(x)>0，得函数f(x)的递增区间(0,)， 由f?(x)<0，得函数f(x)的递减区间(,??) （Ⅱ）解法一、根据函数的单调性求解
1a1ax1?x21，且0?x1??x2 2a111由（Ⅰ）知，当a?0时，[f(x)]极大值=[f(x)]max?f()?ln??1aaa
设点A、B的横坐标分别为x1、x2，则x0?因为函数f(x)有两个不同的零点，所以[f(x)]max?0，所以0?a?1