高等数学A(下)期末复习题
一、 选择题
1. 设函数z?f(x,y)?xy,则下列各式中正确的是 ( ) 22x?y A.f(x,)?f(x,y) B.f(x?y,x?y)?f(x,y) C.f(y,x)?f(x,y) D.f(x,?y)?f(x,y) 2.设f(x,y)?ln(x? A. 2ln(x?yxx2?y2),其中x?y?0,则f(x?y,x?y)? ( )。
1y) B. ln(x?y) C. (lnx?lny) D. 2ln(x?y)
2yx223. 若f(x?y , )?x?y ,则 f(?1 , 2)? ( )。
A.
11 B. ? C. 3 D. ?3 334.设f(x,y)?11xf(,)?( ) ,则22xyx?yxyxy2x2yx2y2A.2 B. 2 C. 2 D. 2 2222x?yx?yx?yx?y(xy?1)2?( ). 5. Lim(x,y)?(0,0)xA. 0 B. 1 C. ? D. 不存在 6.极限limx?0y?0x2?y21?x?y?122=( )。
A. -2 B. 2 C. 不存在 D. 0
x2y27.二重极限lim4的值( ).
x?0x?y4y?0A.0 B.1 C.
1 D.不存在 28.f(x,y)?ln(xy2)?1?x?y的定义域是( ).
A. {(x,y)|x?y?1} B. {(x,y)|0?x?y?1}
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C. {(x,y)|0?x,x?y?1} D. {(x,y)|0?x,0?y,x?y?1} 9.函数z?14?x2?y2?x2?y2?1的定义域是( )
A. {(x,y)|1?x2?y2?4} B. {(x,y)|1?x2?y2?4} C. {(x,y)|1?x2?y2?4} D. {(x,y)|1?x2?y2?4} 10. 设f(x,y)?x3y?xy2?2x?3y?1 ,则fy?( 3, 2 )?( )
A.39 B.40 C.41 D.42 11.设z?x2y?exy,则
?z?y(1,2)?( )
2A. 1?e B. 1?e C. 1?2e D. 1?2e
12.设z?exy,则
222?z|(1,2)?( ) ?x2A. 4e B. 4e C. 2e D. 2e 13. f(x,y,z)?A. ?x2?y2?z2,则梯度gradf(1,1,?3)的值为( ).
111; B. ?1,2,?2?; C. ?22?1?11,111,?3??; D. 0 11?14.f(x,y)?2?x?y的极值点是( ) A.(1,-1) B. (1,1) C.(0,0) D. (0,2)
15.函数z在点(?f(,xy)x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的 ( )。 A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
?f(,xy)x16、函数z在点(0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的:
A.必要而非充分条件; B.充分而非必要条件;
C.充分必要条件; D.既非充分又非必要条件。
17.设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微,且fx?(x0,y0)?0, fy?(x0,y0)?0,
fxx??(x0,y0)?0, fyy??(x0,y0)?0,则函数f(x,y)在(x0,y0)处( ).
A. 必有极值,可能是极大,也可能是极小 B. 可能有极值,也可能无极值
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C. 必有极大值 D. 必有极小值 18.设f(x,y)?xy,则f(x,y)在(0,0)点处( ).
A. 连续但偏导数不存在 B. 不连续也不存在偏导数 C. 连续且偏导数存在 D. 不连续但偏导数存在
?xy,(x,y)?(0,0)?19. 二元函数f(x,y)??x2?y2在点(0,0)处 ( )
?(x,y)?(0,0)?0, A. 连续,偏导数存在 B. 连续,偏导数不存在
C. 不连续,偏导数存在 D. 不连续,偏导数不存在
220. 设z?f(x,y)?cos(xy),则f'')?( ) xx(1,2? A.
?? B.? C.? D.??
22xy21.设z?e,则dz= ( )。
A. edx B. exy(ydx?xdy) C. ydx?xdy D. exy(dx?dy)
xy?2z22. 设二元函数z?ecosy,则?( )
?x?yx A. exsiny B. ex?exsiny C. ?excosy D. ?exsiny
?2z23.设z?cos(xy),则2=( )
?y2 A.xsin(xy) B.?xsin(xy) C.xcos(xy) D.?xcos(xy) 24.下列说法正确的是 ( ) A.偏导数存在是该点连续的充分条件 C.偏导数存在是该点可微的必要条件
2222224242B.偏导数存在是该点可微的充要条件 D.偏导数连续是该点可微的充要条件
25.函数u?8xy?2y?4x?6z在原点沿向量a?{2,3,1}方向的方向导数为( )。 A.?814 B.
228144 C.
314 D. ?314
??u26.函数u?x?y?z?3xy在点M(1,1,1)处沿l?{1,2,2}方向的方向导数
?l( ) A.
M为
531 B. C. {1,2,2} D. {?1,4,2} 353第 3 页 共 27 页
?27.函数u?8xy?2y?4x?6z在原点沿向量a?{2,3,1}方向的方向导数为( )
22A.?83314 B.
814 C.
14 D.?14
28.函数z?2x2?y2在点P(1,1)处的梯度方向的方向导数等于( ) A. 5 B. ?5 C. 25 D. ?25 29.设z?ex?2y,x?sint,y?t3,则dzdt?( )。 A. esint?2t3(cost?6t2) B. z?esint?2t3(cost?3t2)
C. esint?2t3(?cost?6t2); D. z?esint?2t3(cost?3t2)。 30.设f(xy,x?y)?x2?y2,则 f'x(x,y)?f'y(x,y)? ( ) A. 2?2y B. 2?2y C. 2x?2y D. 2x?2y
31. 设z?f(x,y,x),f可微,则
?zy?y?()
A. f2? B. ?xy2f3? C. f2??xy2f3? D. f2??xy2f3? xy?232. 设z?e,则z?x?y=( )。
A. exy(1?xy) B. exy(1?y) C. exy(1?x) D. exy?xy
233.设f(r)具有二阶连续导函数,而r?x2?y2,u?fr(),则?u?2u?x2??y2=( A. f??(r) B. f??(r)?1f?(r) C. f??(r)?1f?(r) D. r2rrf??(r) 34. 设f(x,y)?ln(x?2y3x) ,则fy?(1,0)?( ) A.
23 B.32 C.1 D.0 35. 设D:x2?y2?1,则
??xdxdy=( ).
DA.? B.1 C.0 D. 2? 36.设域D:x2
+y2
≤1,f是域D上的连续函数,则
??f(x2?y2)dxdy?( )
D第 4 页 共 27 页
)。 A.2??rf(r)dr B. 4??rf(r)dr C. 2??001110f(r)dr D. 4??rf(r)dr
02r37.设积分区域D?{(x,y)|x2?y2?1,x?0,y?0},则 A. 2? B. ? C. 38.设D是矩形域 0?x???d?=( )。
D?? D. 24π,?1?y?1,则??xcos(2xy)dxdy的值为( ). 4DA. 0 B. ?111 C. D. 24239、设积分区域D是圆环1?x2?y2?4 ,则二重积分A.C.
??Dx2?y2dxdy?( )
?? 2? 0 2? d?? r2dr B.? 1 4 2? 0 2? d?? r dr
1 4 0 d?? rdr D.? 1 22 0 d?? r dr
1 240.设I1???(x?y)D2其中D?{(x,y)|(x?2)2?(y?1)2?1},d?,I2???(x?y)3d?,
D则( )
A.I1?I2 B.I1?I2 C. I1?I2 D. 无法比较
2241. 设D:x?y?1,则?ye??xdxdy=( ). D2A. ?(1?e) B. ?(1?) C. 0 D. ?(1?) 42.设D由x?0,y?1,y?x围成,则
A.D.
1e1e??f(x,y)dxdy?( )
D? 1 0 1 0 ydy?f(x,y)dx 0 1 B.
? 1?x 1 0dx?f(x,y)dy 0 x C.
? 1 0dy?f(x,y)dx
y 1?dy?f(x,y)dx
043. 交换二次积分顺序后, A. C.
? 1 0 dx? 0 f(x,y)dy=( )。
1 1 ?x 0 0 1?y? 1 0 dy? f(x,y)dx B. ? dy? 0 1 f(x,y)dx f(x,y)dx
dxdydz化为三次积22????x?y?1? 1- x 0 dy? f(x,y)dx D. ? dy? 0 0 1 1 02244. 设?是平面z?1与旋转抛物面x?y?z所围区域,则
分等于( ) A.
? 2? 0d?? 1 2? 1 1rrdrdzd?dr B.? r2? 0? r21?r2? 0dz 01?r2 1第 5 页 共 27 页
? 1 1 1rrdr?2dz D.?d??2dr?dz C.?d?? 0 01?r2 r ?? r1?r2 045.设f(x,y)连续,且 f(x,y)?xy???f(u,v)dudv,其中D是由y?0,y?x2,x?1 ? 1D所围区域,则f(x,y)= ( ) A. xy B. 2xy C. xy?1 D. xy?1 846.设f(x,y)在D:x2?y2?1,y?0连续,则A.
??f(x,y)d??( )
D 1-x2 0 1?x21?x2? 2? 0d??f(rcos?,rsin?)rdr B. ?dx? 0 1 1 0 1f(x,y)dy
f(x,y)dy
C.
? ? 0d??f(rcos?,rsin?)rdr D. ? ?1dx? ? 0 147.若区域D为(x,y)|x?1,y?1,则
-1
????xeDDcos(xy)。 sin(xy)dxdy=( )
A. e B. e C. 0 D. π 48. 设D由x?0,y?1,y?x围成,则 A.
C.
??f(x,y)dxdy?( ).
1 x 0 0 1 y? 1 0dy?f(x,y)dx B. ?dx?f(x,y)dy
0 1? 1 0dy?f(x,y)dx D. ?dy?f(x,y)dx
y 0 0 149.设f(x,y)为连续函数,则积分
?dx?01x20f(x,y)dy??dx?11x222?x0f(x,y)dy
22?x可交换积分次序为( ) A.C.
?101dy?f(x,y)dx??dy?01y22?y0f(x,y)dx B. ?dy?f(x,y)dx??dy?00112?x0x0f(x,y)dx
?0dy?2?yyf(x,y)dx D. ?dy?2f(x,y)dx
50. 交换二次积分顺序后,A.C.
? 1 0 dx? 1?x 0 f(x,y)dy=( )
1 1 ?x 0 0? 1 0 dy? f(x,y)dx B.? dy? 0 1 1 0 0 1 f(x,y)dx f(x,y)dx
? 1- x 0 dy? f(x,y)dx D.? dy? 1?y 051.在公式
?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1?(xe??D2ni中?是指( )
A.最大小区间长度 B.小区域最大面积 C.小区域直径 D.小区域最大直径
2252. 设D:x?y?1,则?y2)dxdy=( ).
A. ?(1?e) B. ?(1?) C. ?(e?1) D. ?(1?)
1e1e第 6 页 共 27 页
x2y2253.设L表示椭圆2?2?1,方向逆时针,则?(x?y)dx?( )
LabA.πab B.-πab C.a?b D. 0 54. 设L是y=4x从(0,0)到(1,2)的一段,则
22
22?yds?( )
LA.
?0x1?4xdx B. ?22011y2x2y1?dy C. ?x1?dx D. ?1?4y2dy
004455. 设L是从点A(1,0)到点B(-1,2)的弧段,则曲线积分 A.2 B.22 C.2 D.0
222256. 设?为球面x?y?z?a(a?0),则
? L(x?y)ds=( )
1dS的值为( )。 ??222x?y?z?4πa D. 4π 322257. 设S是球面x2?y2?z2?R2,则曲面积分??(x?y?z)dS? ( )
A. 2π B. 3π C.
SA. ?R B. 2?R C. 4?R D. 6?R 58. 设L是从点(0,0)到点(2,1)的直线段,则
4444? L2yds? ( )。
A. 5 B.
510 C. 10 D. 2259.用格林公式求由曲线C所围成区域D的面积A,则A=( )
A. C.
?Cxdy?ydx
B. D.
?Cydx?xdy
1xdy?ydx 2?CL1ydx?xdy 2?C60.已知曲线积分
?F(x,y)(ydx?xdy)与积分路径无关,则F(x,y)必满足条件( )
A. xFy?yFx B. xFy?yFx?0 C. xFx?yFy D. xFx?yFy 61. 设L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段,则
?(x?y)ds?( ).
LA. 2 B. 1 C. 2 D. 3 62. 设L为从点A(1,1)到点B(1,0)的直线,则下列等式正确的是( ) A.
11 xdx?1 xdy?1 yds?? ydy?? B. C. D. ??? L? L L L22第 7 页 共 27 页
63.若曲线积分
A. ?? L(x2?3y)dx?(ax?sin2y)dy与路径无关,则常数a?( )。
11 B. ?3 C. D. 3
33x2y2264.设L表示椭圆2?2?1,方向逆时针,则?(x?y)dx?( )
Lab A.?ab B. ??ab C. a?b D. 0 65.设L是从点A(1,0)到点B(-1,2)的有向弧段,则曲线积分
22?(x?y)ds?( )。
LA.2 B. 22 C. 2 D. 0 66.曲线弧A. C.
上的曲线积分和
上的曲线积分有关系 ( )
??ABf(x,y)ds???f(x,y)ds B. ?BABAABf(x,y)ds??f(x,y)ds
BABAABf(x,y)ds??f(?x,?y)ds?0 D. ?f(x,y)ds??f(?x,?y)ds
AB67.设I?( ) A. C.
????zdv,其中??{(x,y,z,)x2?y2?z2?1,z?0},经球坐标变换后,I?
?2??00d??2d??r3sin?cos?dr B. ?d??d??r2sin?dr
012??1000?2?0d??d??rsin?cos?dr D. ?d??2d??r3sin?cos?dr
3000002
?12??1
68. 设L是y=4x从(0,0)到(1,2)的一段,则
2 22? Lyds?( )
A.
? 0x1?4x2dx B.? 1 0 1x2?y?y1???dy C. ?x1?dx
04?2? D.
? 01?4y2dy
22?yx?P?Qy?x69.设I???cx2?y2dx?x2?y2dy,,因为?y??x?(x2?y2)2,所以( )
A. 对任意闭曲线C,I?0;
B. 在曲线C不围住原点时,I?0; ?PC. 因与?Q在原点不存在,故对任意的闭曲线C,I?0;
?x?yD. 在闭曲线C围住原点时I=0,不围住原点时 I?0。 70. 级数
??(?1)nn?11。 (p?0)的敛散情况是( )pn第 8 页 共 27 页
A. p?1时绝对收敛,p?1时条件收敛 B. p?1时绝对收敛,p?1时条件收敛 C. p?1时发散,p?1时收敛 D. 对任何p?0,级数绝对收敛
71.当|x|?1时,幂级数
?(?1)n?0?n。 x3n?1的和函数为( )
A.
xxxx?? B. C. D.
1?x31?x31?x31?x372.级数
?(?1)nn?1?1n?12 ( )
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定 73. 若级数
?un?1?n 收敛,则级数
?(?1)n?1?nun( )
A.收敛但不绝对收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定 74.下列幂级数中收敛区间为??1,1?的是( )
???1n1n(?1)nnA.?2x B. ?x C. ?x D. ?xn
nn?1nn?1nn?1n?1?75. 下列级数中条件收敛的是( )
???nnn1n1A. ???1?; B. ???1?n; C. ???1?2; D. ???1?
n?1nnn?1n?1n?1n?1n???76.已知级数
2收敛,则对于级数 aa?n?n,下列说法正确的是( ) n?1n?1 A. 必定收敛 B. 必定发散 C. 条件收敛 D. 可能收敛,也可能发散 77. 若无穷级数
?nn?1?1 a?1收敛,则a满足 ( )。
A. a?0 B. a?0 C. a?1 D. a?1
78.下列级数中发散的是( )
3n?2nA.?2 B. ?5nn?12n?1n?1?1??11n C. ? D.(?) ?22nn?1100n?11?n?1?(?1)nn79. 设级数?(?1)(),则该级数( ).
nn?1?nA. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 不确定
80.下列说法正确的是 ( )
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A. 若
?un?1??n发散,则必有limun?0 B. 若limun?0,则
n??n???un?1?n必收敛
C. 若
?un?1?n收敛,则必有limun?0 D.
n???un?1?n的敛散性与limun?0无关
n??81. 下列级数中收敛级数是( )
???1n15?2nA.? B. C. D. (1?) ???22nn3n?12n?1n?11?nn?1n?182. 下列级数条件收敛的是 ( )
???n1nn1n1A. ?(?1) B. ?(?1) C. ?(?1) D. ?(?1) 21?nn(1?n)nnn?1n?1n?1n?1n??2n?n !3n?n !83.设级数?(1)与级数?(2),则( ) nnnnn?1n?1? A. 级数(1)(2)都收敛 B. 级数(1)(2)都发散
C. 级数(1)发散,级数(2)收敛 D. 级数(1)收敛,级数(2)发散
?xnn(?1)84. 幂级数?2n?3的收敛区间为( ) n?01? C. ?1 , 1? D. ??1 , 1 ? A.(?1 , 1 ) B. ??1 , ?85.设k是非零常数,则
?n?0?(?1)nk1?n2( )
A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.敛散性与k有关
二、填空题
1.函数z?ye2x在点(0,1)处沿向量{?1212,1212}方向的方向导数为 。
2. 函数z?ye在点(0,1)处沿向量{?2x,}方向的方向导数为 .
3.函数f(x,y)?x?xy?y在点(1,1)处方向导数的最大值为 . 22??u4.函数u?x?y?z?3xy在点M(1,1,1)处沿l?{1,2,2}的方向导数
?l22422M? 。
5.函数z?x?y在点(1,2)处沿从点A(1,2)到点B(2,2+3)的方向的方向导数等于 。
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6.曲线x?e2t,y?2t,z??e?3t在对应于t?0点处的切线方程为 。 7.曲面z?4?x2?y2在点 处的切平面平行于平面2x+2y+z=0. 8. 曲面z?ex?2xy?3在点(1,2,0)处的切平面方程为 。 9.函数u?2xy?z2在点(2,?1,1)处沿方向角为??为 。
10. 设z?xy ,则全微分 dz? . 11.设z?ln(xy2),则dz? 。 12. z?(sinx)y,则全微分dz= . z13.设 z?e?xy, 则全微分dz? 。
?3,???4,???3的方向导数
14.设f(x,y)?(sin2x)cos2y,则df(x,y)? 。
dz? . dt?z3? ; 16.已知方程z?2xz?3y?0确定隐函数z?z(x,y),则?x15.设z?ex?2y3,而x?sint,y?t,则
17.设z,则?sin(3xy??)y?z?xx?2y?1? 。
y?2u18.设u?xy?,则= 。
x?x?y19.设z?yx2?y2,则
?z? 。 ?y?z? 。 ?y20.设方程 x?2y?3z?2xyz 确定z?f(x,y),则 21.设 z?e?xy, 则
z?z= . ?y22. limsinxy? .
x?0xy?2xy2?xy?4=
23.极限limx?0y?0第 11 页 共 27 页
24.若函数f(x,y)?x2?2xy?3y2?ax?by?6在点(1,?1)处取得极值,则常数
a?______,b?_______。
25. 若函数z?2x2?2y2?3xy?ax?by?c 在点(-2,3)处取得极小值-3,则常数a,b,c之积abc= . 26. 梯度grad(1)= . 22x?y27.设f(x,y)???(1,2)= . x2?y2,则fxy?28.设f(x,y)?ln(x?y2),则fxy(1,2)? 。 29.设z?x f( x?ye) , f(u) 可微,则30.设z?yln(xy2),则
x?z ? . ?x?z?y(1,2)? 。
?2u31.设函数u?x,则? 。
?x?yyz32.z?f(x,y,),f可微,则
2xxy?z? 。 ?y34.设f(x,y)?e?2y,则f'x(1,0)? 。 3x35、已知方程
?zxx?ln确定隐函数z?z(x,y),则? 。
?xyz2336.函数z?x?y?2xy?y?2的驻点是 。 37.交换二次积分
?10dx?2f(x,y)dy的次序得 .
xx38.交换积分顺序后,39.改变二次积分40.变换
?dx? 0 1 1 xf(x,y)dy? 。
? 4 2dy?f(x,y)dx的积分次序为 。
y 4? 1 0 dx? 1?x2 ?1?x2 f(x, y) dy的积分次序后为 .
41.交换二次积分的次序42. 交换二次积分
?2 0 ?dx? 1 cosxf(x,y)dy? ;
2 2?x 1 0?dx? 0 1 x 0f(x,y)dy??dx?f(x,y)dy的次序得 . 第 12 页 共 27 页
43. 设D为矩形0?x?1 , ?1?y?1 ,则二重积分 3 dxdy? . D??44.设D为?(x,y)|0?x?1,0?y?2x?,则
??(1?x)dxdy= 。
D45.?为三个坐标面及平面x?2y?z?1所围成闭区域,则46.设D:x2?y2?2x,则
???2dxdydz? ???ydxdy?= . D47.设?为球体x2?y2?z2?1的第一卦限部分,则为 .
???f(x,y,z)dv化成三次积分
?48.设?为立体0?x?1 , ?1?y?1 ,0?z?2,则三重积分
???(1?x)dxdydz? . ?49.设平面薄片占有平面区域D,其上点(x,y)处的面密度为?(x,y),如果?(x,y)在D上连续,则薄片的质量M = 。 50.设
f(x,y)为连续函数,则交换积分次序后二次积分
?dy? 0 1 1 y f(x,y)dx? 。
x2?y2?1/2,要使f(x,y)处处连续,则22x?y?1/2?ln(1?x2?y2)51.f(x,y)???AA= 。
52. 设L为从点A(0,0)到点B(2,1)的直线,则
? Lyds= . 53.设L是xOy 平面上点A(0,0)到点B(1,2)的直线,方向是从A到B,则
? L(1?y)dy= 。
54.设L为从点A(0,0)到点B(2,1)的直线,则55.设L为y??Lyds= 。
x上从点(1,1)到(0,0)的曲线弧,则?L(x?1)dy? 。
56. 设L为从点A(1,1)到点B(1,0)的直线,则57. 设L为圆周 x?y?4,方向为顺时针,则
22? L yds?___________________。
? ydx?2xdy? 。
L58.设L为三顶点分别为(0,0),(3,0),(3,2)的三角形边界正向,则
??(2x?y?4)dx?(5y?L3x?6)dy_________________. =
60.设曲面方程z?f(x,y),其在xoy平面上的投影为D,则求该曲面的面积公式为 ;
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222261.设?为立体0?z?x?y,?1?x?y?1?x,?1?x?1,则
???dxdydz? .
?62.设P(x,y)、Q(x,y)在xoy平面上具有一阶连续偏导数,则曲线积分
?
L P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径无关 和
及 是相互等价的。
63.由旋转抛物面z?1?x2?y2与z?0所围封闭立体的体积为 .
64.设曲线段的参数方程为x=φ(t), y=ψ(t),其中α≤t≤β。如果曲线段上的点(x,y)处线密度函数为ρ(x,y),则曲线段的质量的计算公式为 . 65.设L是点(0,?)到点(?,0)的直线段,则
? Lsinydx?sinxdy?_________。
66.设L是从A(1,?1)沿y2?x到B(1,1)的弧段,则
? Lx2ydx? ;
67.设?为立体0?x?1 , ?1?y?1 ,0?z?2,则三重积分68. 变换
???(1?x)dxdydz? ?? 1 0 dx? 1?x2 ?1?x2 f(x, y) dy的积分次序后为 . . 69.设?是平面z?1与旋转抛物面x2?y2?z所围区域,为 .
70.设积分区域?:x?y?4, 1?z?5,则
积分为 ;
71.设f(x,y)是连续函数,则二次积分为 。
22???f(x,y,z)dv化成三次积分
????? 1 0f(x2?y2)dv在柱面坐标系下的三次
?dy? y yf(x,y)dx交换积分次序后
72.已知有界闭区域D的边界是光滑曲线L,L的方向为D的正向,则用第二型曲线积分
写出区域D的面积公式 。 73.格林公式
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy???(D?Q?P?)dxdy 成立的条件是 ?x?y 。 74.幂级数
n2nx的收敛半径为 。 ?n3n?0?75. 设幂级数
?an?0?nx的收敛半径是4,则幂级数?anx2n?1的收敛半径是 . nn?0?第 14 页 共 27 页
76.级数
?nxn?1?n?1的和函数S(x)? 。
77.幂级数
?(?1)nn?0??1xn的收敛区间为 。 n(n?2)?2n78.如果幂级数一定收敛。 79. f(x)???的收敛半径是1,则级数在最大的一个开区间 内an?x?1?n?01展开成(x?1)的幂级数为 。 3?x80.级数
1是收敛的,其和为 . ?n(n?1)n?13 的和为 。 ?nn?12?81.级数
82.幂级数
?nxn?1?n?1的和函数S(x)? . 83.将函数f(x)??1 展开成关于x的幂级数为_________________________。 4?x84. 幂级数
1?xn的收敛半径为 . ?nn?1n?3?(x?1)n85.幂级数?的收敛区间为 。 nn?3n?186.级数
2 的和为 。 ?n3n?1?n?xn87. 幂级数 ???1?的收敛域为 。
nn?188.级数
?(?1)nn?1?1是 (发散,条件收敛,绝对收敛)的。
2n?100
三、解答题
1.求曲线x?t?sint,y?1?cost,z?4sin程。
2.求椭球面x?2y?z?1 上平行于平面 x?y?2z?0的切平面方程。
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222?t在对应于t?点处的切线方程及法平面 方
223.求曲面x2?4y2?2z2?6上点(2,2,3)处的切平面方程与法线方程。 4.求曲线x=2t+7t,y=4t-2,z=5t+4t在点(-5,-6,1)处的切线及法平面方程。 5.求曲线x在点(处的切线及法平面方程。 ?2t??7t,y4t?2,zt?5?4t??56,,)16.在椭圆抛物面z?x?22
2
2212y?1上求一点,使该点的切平面与平面2x?y?z?0平行, 4?u?l
。
并求该点的切平面及法线方程。
7.求函数u?x2?y2?3xy在点M(1,?2)处沿其梯度方向l的方向导数
M
?8.求z?ln(x?y)在点M(3,4)处沿向量l??1,0?的方向导数.
229.设z?xf(yex),f(u)可微,求
?z?z,。 ?x?y?z?z,。 ?x?y10.设z?z(x,y)是由方程F(y?x,yz)?0所确定的隐函数,其中F可微,求
?2z?2z11.设z?ln(x?x?y),求2,。
?x?x?y2212.设z?(y?3x)sinx,求
?z?z,。 ?x?yx?y?2z13. 设z?arctg ,求
1?xy?x?y? 2z14.设方程 z?3xyz?a 确定z?f(x,y),求
?x?y33?2z15.设方程x?z?2ye确定z?f(x,y),试求。
?x?y22216.设方程x3?y3?z3?xyz?6?0 确定z?f(x,y),求
?z?z,。 ?x?y?2z?2z17.设z?f(x?y),其中f具有二阶导数,求2,。
?x?x?y32?2z18.设z?(lnx),求。
?x?yy第 16 页 共 27 页
?2z19. 设z? ,求。
22?x?yx?y1?z?2z20.设z?f(u,x,y),u?xe,其中f具有连续的二阶偏导数,求。 ,?x?x?yy? 2z21. 设方程 z?3xyz 确定z?f(x,y),求
?x?y3y?z?2z22. 设z?f(xy,), 求。 ,x?x?x?y2?z?z?2z23. 已知方程x?y?z?e确定二元隐函数z?z(x,y),试求。 ,,?x?y?x?y2z24、设z?sinx?F(siny?sinx),其中F(u)可导,试求
?z?zcosy?sinx。 ?x?y25.设z?xy?xF(u)而u?y?z?z?y。 ,F(u)为可导函数,试求xx?x?y?2z26.求由方程xy?yz?zx?1所确定的函数z(x,y)的偏导数。
?x?y?2z27. 设z?f(xy,xy),f(u,v)具有二阶连续偏导,求
?x?y22?z?2z,28. 设z?f(x?y, 2xy),其中f(u,v)具有二阶连续偏导数,求。 ?x?x22229、设z?f(x,y)由方程?(cx?az,cy?bz,cz)?0确定,求
?z?z,。 ?x?y30. 设方程cosx?cosy?cosz?1 确定的隐函数z=z(x,y),求dz。 31. 设u?xy?yz?zx,计算梯度grad(u)|(1,1,1). 32.求函数z?e(x?y?2y)的极值。 33.求三元函数u?x的全微分du。 34.设u?xze ,求全微分du。
35.设z?f(x , y )由方程 F(x?az , y?bz ) ?0确定,F(u,v)可微,a 和b是已知常数,
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zy2222322x2yz求a?z?z?b 。 ?x?yaa?(a?0)的极值。 xy36.求函数f(x,y)?xy?37. 求函数f(x,y)?x2?xy?y2?2x?y的极值。
38.在xoy平面上求一点,使得它到x=0,y=0和x+2y-16=0三直线的距离平方之和为最小。 39. 求函数f(x,y)?(6x?x2)(4y?y2)的极值。 40. 求函数f(x,y)?x2?xy?y2?2x?y的极值。
41. 现用铁板做成一个表面积为36的无盖长方体水箱,问长、宽、高各为多少时,体积最大?
42.在椭圆x2?4y2?4上求一点,使其到直线2x?3y?6?0的距离为最短。
43.求I?? 1 0dx?e?ydy
x 1244.计算二重积分
22D,是由x?y?2x和y?x围成的面积小的那部分区域。 yd???D45.计算二重积分
1x2y?,y?x,y?2围成。 ,其中D由 ()dxdy??xyD46.计算二重积分
2D:y?x?16?y,其中。 xydxdy??D47.利用二重积分计算由平面所围立体的体积
xyz???1 (其中a,b,c?0) 及坐标面x?0,y?0,z?0abc ??xcos(x?y)dxdy。
D48.设D是以O(0,0)、A(1,0)、B(1,1)为顶点的三角形区域,求 49.求
sinxdxdy,D由y?2x,x?2y与x?2围成的第一象限中的区域。 ??xD22?,其中是由曲面与平面z?4所围成的闭区域。 z?x?yzdxdydz???50.计算三重积分51. 求
????(x?2?y2?z2)dv,?为上半个球面x2?y2?z2?a2和圆锥面
z?x2?y2所围区域。
222?zdvx?y?z?4 , z?0 ,积分区域为上半个球体:???52. 求
?第 18 页 共 27 页
53.求二重积分54. 计算I?向。
55. 求二重积分
22 (x?y?x)d?,其中D是由直线y=2,y=x及y=2x所围成的闭区域。??D?L(2xy?x2)dx?(x?y2)dy,其中L是y=x2和y2=x所围区域的边界曲线的正
??(x?y)dxdy,D由 x?y?1 围成。
d56.利用极坐标计算二次积分
?2?2dx?4?x20x2?y2dy
。
57. 求曲面z?2?x2?y2与曲面z?x2?y2所围立体的体积。 58.求
y2D,为由与x轴围成的区域。 arctand?y?1?x??xD2(x???y)d?,其中D为以点A(0,0),B(1,1),C(0,1)为顶点的三角形区域. D59.求
60.求
22,D:x?y?x。 (1?y)d???D61. 设?为立方体:0?x?a,0?y?a,0?z?a(a?0),求三重积分
???(x?y)dxdydz.
?65. 求使
??D。 a2?x2?y2dxdy?1 的 a 值 ,其中D:x2?y2?a2(a?0)
22263.设有圆形簿片D:x?y?a,其面密度为f(x,y)?e64.利用柱坐标计算三重积分成的区域。 65.设?是由z??(x2?y2),求簿片的质量。
22?,其中是由曲面与平面z?4所围z?x?yzdxdydz????x2?y2及z?1所围的有界闭区域,计算???(x2?y2?z)dv。
?66. 用格林公式计算
? (x?yL2)dx?3xydy ,其中L为圆周x2?y2?2x上从点0(0,0)
顺时针到点A(2,0)这段曲线。 67.用格林公式计算
?L (x2?2y)dx?3xdy ,其中L为圆周x2?y2?2x上从点0(0,0)
顺时针到点A(2,0)这段曲线。
68.计算(ex?y)dx?xdy,其中L是从A(1.0)沿半圆周y?1?x2逆时针到B(-1,0)
?L69. 计算曲线积分 ,L是正向圆周
x2?y2??2
2270. 验证(2xcosy?ysinx)dx?(2ycosx?xsiny)dy是某个函数的全微分,并求出它
第 19 页 共 27 页
的一个原函数。 71.求曲线积分
?L(x2?y)dx?(x?sin2y)dy ,其中L是在圆周x2?y2?2x上由点(0,
0)顺时针到点(1,1)的弧段。 72.计算I?xdy?ydx22,其中L是沿曲线(x?2)?y?1 逆时针方向一周。 ? Lx2?y273.求曲线积分ydx?sinxdy,其中L:y?sinx(0?x??)与x轴所围曲线,取正向。
L?74.试计算
1ttt??x2?y2?z2ds,其中?为曲线x?ecost,y?esint,z?e上相应于t从
0变到2?的这段弧。
22
75.求由曲面z=x+y与z=4所围立体的体积。 76.计算弧.
77.求曲面积分78.计算79.求
?Lxdx?ye2x?x2dy其中L是在圆周y=2x-x2由点(0,0)顺时针到点(1,1)的一段
2??xyzdxdy,其中?为球面x??y2?z2?a2在第一卦限部分的外侧.
到B(-1,0)。
?y)dx?xdy,其中L是从A(1,0)沿半圆周?(exL?Lyzds ,其中L的方程为x?2t,y?3sint,z?3cost,0?t??2。
81计算曲线积分界线。
?(2x?yL2)dx?(2x?1)dy,L是由y?x2和y2?x所围区域的正向边
83.将函数ln(1?x?2x)展开成x的幂级数。 84.试把f(x)?21展开成x的幂级数。
(1?x)285、把f(x)?x展开成(x?5)的幂级数。
x2?5x?6?n286.判断级数?n的敛散性
n?132?n!87.判断级数?2n的敛散性
n?13(?1)n2n88.求幂级数 ?x 的收敛区间及和函数。 n5n?1??n第 20 页 共 27 页
89.判别级数四、综合题
?(?1)n?1?n1ln(1?)是否收敛,如果收敛,是绝对收敛,还是条件收敛?
nx21.证明极限lim2不存在。
x?0x?y2y?0?2z?2z2.设z?f(x?y, 2xy) ,其中f(u,v)具有二阶连续偏导数,求2,。
?x?x?y22x?2z3.设z?f(,xy),其中f(u,v)具有二阶连续的偏导数,求。
y?x?y4.设z?xf(x2-y2,xy),f 可微,求
2?z?z,。 ?x?y5. 设du?(x?y)dx?(1?2xy)dy,求函数u(x,y)。 6. 设函数z(x,y)由方程F(x?zz?z?z,y?)?0确定,证明:x?y?z?xy yx?x?y7.设du?(2xcosy?y2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy,.试求二元函数u(x,y) 8、u?sinx?F(siny?sinx),F(t)可微, 证明:
?u?ucosy?cosx?(cosx)(cosy) ?x?y9.平面薄片由y?2x,x?1,y?0围成,其上各点的面密度等于该点到x轴的距离,试求薄片的质量。
10.现用铁板做成一个表面积为36的无盖长方体水箱,问长、宽、高各为多少时,体积最大?并求最大体积。
11. 要造一个容积为k的长方体无盖水池,应如何选择水池的尺寸,方可使它的表面积最小。
?12.求z?ln(x?y)在点M(3,4)处沿下列方向的方向导数:(1)沿向量l??1,0?;(2)
22沿梯度方向的方向导数. 13.计算
?2xydx?xL2dy,其中L为有向折线OAB,这里O,A,B依次是点(0,0),(1,0),
(1,1)。 14.证明:
200?I?102dxdy?2。 22??x?y?10100?cosx?cosy第 21 页 共 27 页
15.设f(x)在[0,1]上连续,求证:
?10dy?eyf(x)dx??(e?ex)f(x)dx
00y1216. 设f(x)在?0,a?上连续,D?(x,y)x?y?a,0?x?a,试证明:
????D21?a?f(x)f(y)dxdy???f(x)dx?。
?2?017.函数z?z(x,y)由方程F( x?zz, y? )=0 确定,且F具有连续的偏导数,证明: yxx?z?z?y?z?xy。 ?x?y18.试求指数?,使曲线积分内与路径无关。
? (x,y) (x0,y0)x?x2?rdx?2rdy (r?x2?y2)在y?0的区域yy1xdy?ydx。 ? L219. 设xoy平面上正向曲线L围成的区域为D,证明:|D|?2?y20.用格林公式等两种不同的方法计算??edxdy,其中D是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为
D顶点的三角形闭区域。
21.用先对x和先对y两种方法求
22??cos(x?y)dxdy,其中D由x=0,y=?和y=x围成。
D22.设积分区域?由z?x?y , z?4围成,求23.求24.求
???xz dv
???? (x?2?y2)dv ,其中?由曲面z?x2?y2和平面z?h (h?0)围成。
222?,其中为球面x?y?z?1及三个坐标面围成的第一卦限内的部分。 ydv????25.设立体?由圆锥z?x2?y2和平面z?4围成,(1)用重积分求?的体积V;(2)
求?的边界面的面积S。
26.试用格林公式和曲线积分二种方法计算
?(2x?y?4)dx?(5y?3x?6)dy,其中LL为三顶点分别为A(0,0),B(3,0)和C(3,2)的三角形区域的正向边界线。 27.计算
?Lxydx?(y?x)dy,其中L的起点为A(1,1),终点为B(2,3),路径分别为
????????(1)直线y?2x?1; (2)折线AC?CB,C点为C(2,1)
28.设曲线积分为
? L2ydx?x2dy,根据下列路径计算该曲线积分:
(1)L为y?x上从点O(0,0)到点A(4,2)的曲线
第 22 页 共 27 页
(2)L为从点O(0,0)到点A(1,2)再到点B(1,0),最后回到点O(0,0)的折线. 29. 用曲线积分和格林公式两种方法计算
?L (x?y2)dx?3xydy ,其中L为圆周
x2?y2?2x上从点0(0,0)逆时针到点A(2,0)这段曲线。
30.设曲线L是从点A(0,1)到点B(1,0)的直线,试求下列曲线积分:
(1)
?( x?y )ds (2)?( x?y )dx
LL231. 已知du(x,y)?2xydx?x(1)求满足该等式的函数u(x,y);(2)设曲线L为dy,
,求?du(x,y) y?x上从点(1,1)到点(0,0)
L32.证明曲线积分计算积分值。
33. 设L是从点(1,0,1)到点(0,3,6)的直线段,试求三元函数的第一类曲线积分
?(3,4)(1,2)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy在整个xoy平面内与路径无关,并
? L xy2zds
34.设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y?x2和直线y?x所围成,它在点(x,y)处的面密度?(x,y)?x2y,试求(1)该薄片的质量; (2)该薄片的的质心。 35. 用格林公式等两种方法计算
? (x?yL2)dx?3xydy ,其中L为圆周x2?y2?2x上
从点0(0,0)顺时针到点A(2,0)这段曲线。 36.计算二重积分
??yd?:
D22 (1)D是由x?y?2x和y?x围成的面积小的那部分区域。
x (2)D是由y?e,y?x,x?0,x?1围成的区域。
2237. 设积分区域?:x?y?4 , 1?z?5,试从直角、柱面二个坐标系,把
???f(x,y,z)dv化成二种形式的三次积分。
?38.设
?a收敛,试证明:?2nn?1?an绝对收敛. nn?1?39.将函数f(x)?1 展开成 x 的幂级数,并求出收敛区间。
x2?x?640.将函数f(x)?arctanx展开成x的幂级数。
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?41.证明级数
?10(n?1)(n?2)是收敛的,并求出其和。
n??42、求幂级数?xnnn的收敛域
n?13??43.试讨论级数
?1(a?0)的敛散性。 n?11?an??.判别下列级数的敛散性: (1)?5n44n?2nnn; (2)n?17?6?() n?1n45. 求幂级数
??nxn的和函数s(x)和收敛区间。
n?1??46.证明正项级数
n?(3nn?14)是收敛的. ?47. 证明:
?1n?1n(n?1)(n?2)?14 48. 求微分方程y???3y??2y?5满足初始条件y|x?0?1,y?|x?0?2的特解。 49.求微分方程(x?2y)dx?xdy?0的通解。 50. 求方程y?ex??x0y(t)dt的解。
补充
一、选择题
1、空间坐标系中O(0,0,0),A(2,1,0),B(2,1,1),则向量AB与OB的夹角为( (A)
?2 (B) ?3 (C)
arccos66 2、设向量a??3,2,?1?,b???4??2,3,k??.已知a?b,则k?( ).
(A)
23 (B) 263 (C) 72 (D) 1
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)
3、在空间直角坐标系中,点(1,-3,4)关于原点的对称点是( )
(A) (-1,3,4) (B) (-1,3,-4) (C) (1,-3,-4) (D) (1,-3,4) 3、设x轴在平面Ax?By?Cz?D?0上,则必有( )
(A)A?D?0 (B)B?0,C?0 (C)B?0,C?0 (D)B?D?0 5. 平面3( ) x?5z?1?0(A)平行于z平面 (B)平行于y轴 (C)垂直于y轴 (D)垂直于x轴 ox6 向量a?{2,?3,6},则与a同向的单位向量为( )
(A) {2,?3,6} (B)?7.直线
??111{2,?3,6} (C) ?{2,?3,6} (D) {2,?3,6} 777x?2y?1z??与平面2x?4y?3z?2的位置关系是( ) 1?22 (A)平行 (B)重合 (C)垂直 (D)斜交
8、 向量 a?{4,?3,4},b?{2,2,1}, 则向量 a和 b 的夹角为 ( )
(A)
????arcsin?22 (B) 0 (C) arccos (D)
44141????????9、向量a?2i?3j?k与??4i?2j?2k的夹角为 ( )
(A)
? 2 (B) 0
(C) ? (D)
? 4?x?3z?5?010、直线?化成点向式方程为( )
y?2z?8?0?x?5y?1z?1x?5y?8z???? (B) 321321x?5y?2z?1x?5y?3z?2???? (C) (D) 32132111、平面方程 3x?5z?1?0中,下列结论正确的是( )
(A)
(A) 平行于zox 平面 (B) 平行于y 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 垂直于x 轴 12、下列平面中,与平面x?2y?z?1?0垂直的平面是( ) (A)x?2y?z?5?0 (B) 2x?y?3z?5?0 (C) x?y?3z?10?0 (D) 3x?5y?z?6?0 13、平面2z?3y?0是( )
(A) 与x轴平行但无公共点的平面 (B)与yOz平面平行的平面
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(C) 通过x轴的平面 (D) 与x轴垂直的平面 14、直线
x?1yz?1??与平面3x-y+z=0的位置关系是( ) 221(A) 垂直 (B) 平行 (C) 重合 (D) 斜交
二、填空题
?y2??x2?11、曲线 ?4 绕x轴旋转一周,所得的旋转曲面的方程为 .
?z?0?2、在y轴上与点A?1,-3,7?和B?5,7,-5?等距离的点是 .
3、在空间直角坐标系中,点(1,-2,3)关于原点对称的点的坐标是为 . 4、平面x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夹角θ= .
????????ππ5、设点A位于第I卦限,向径OA与x轴,y轴的夹角依次为和,且OA?6,则点A
34的坐标为 .
?1,?2,2,b?1,,1?4,则夹角(a,b)=_______. 6、设a?????????a7、设a?{0,1,2},b?{?1,1,?3},则同时垂直于和b的单位向量为 .
?????8、设向量a与b?{2,?1,2}平行,a?b??18,则a=
x?12y?9z?1??与平面3x?5y?z?2?0的交点为 431??1 , -1, k ?与向量 b??2 , 4, 2 ? 垂直,则k=_____________. 10、设向量a??9、直线
11、过点(2,?1,3)且垂直于直线三、解答题
x?1yz?1??的平面方程为 . 12?11、求过点
?2,0,?3?且与直线??x-2y?4z-7=0垂直的平面方程.
?3x?5y-2z?1=0?x?7z?1?02、 求过点M0(2,4,0) 且与直线 l1:? 平行的直线方程.
y?3x?2?0???3、一平面过点?1,0,?1?且平行于向量a??2,1,1?和b??1,?1,0?,试求此平面方程.
4、求通过点P(1,2,3)且垂直于两平面2x?y?z?0 ,x?y?2z?1?0的平面方程。
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5、求过点
?3,1,?2?且与直线
x?5y?3z??重合的平面方程. 5216.求过点
M0(1,0,?2)且与平面?:3x?4y?z?6?0平行,又与直线
L1:x?3y?2z??垂直的直线l的方程。 1417.求平行于x轴,且过点M(3,?1,2)及N(0,1,0)的平面方程。
8.求过点M0(1,0,?2)且与平面3x?4y?z?6?0平行,又与直线L:直的直线方程。
x?3y?2z?? 垂1419、求过点(0,?1,3)且与平面?:x?2y?2z?1?0垂直的直线方程,并求出直线与平面的交
点坐标. 10、验证两直线L1:的平面方程。 四、综合题 1.求过点
xy?5z?2x?2y?4z?2????与L2:相交,并求出它们所在121311?2,1,3?且与直线
x?1y?1z??垂直相交的直线的方程. 32?12、求过点A(1,1-1),B(-2,-2,2)和C(1,-1,2)三点的平面方程。
x?y?z?0??x?z?1?03、证明:l与l2:?垂直。 :?1y?z?1?0x?y?1?0??
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