模型在初中数学中的应用”“ 一线三等角

模型的提炼”“一线三等角一、 德州卷）·2015 年山东例1、（ . BC=AP·BPB=90°.求证：AD·上

一点，P 为AB∠DPC=∠A=∠(1)问题：如图1，在四边形ABCD 中，点(2)探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理 .由(3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t（秒），当以D 为圆心，以DC 为半 . 的值AB相切，求t 径的圆与

问题探究) ( 1) 变式1 ( 2012 年烟台 如图6，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD1E1

作． ACD1 ，使∠AHK = ∠BCD2E2，过点C作直线KH 交直线AB 于点H和正方形 的数量关系，

并加以证明．与线段D2N 试探究线段D1M ．D2N ⊥ KH，垂足分别为点M、N，D1M ⊥ KH 拓展延伸( 2)

1 K1H1作直线”中的正方形改为正三角形，过点C ，若将 如图7“问题探究，K2H2，分别交

直线AB 于点H1、H2，使∠AH1K1 = ∠BH2K2 = ∠ACD1 ． 作D1M ⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N． D1M = D2N 是否仍成立? 若成立，给出证明; 若不成立，说明理由．

2 如图8，若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变． D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求: 在图8 中补全 )图形，注明字母，直接写出结论，不需证明

二、添加辅助线后运用基本图形 例1、在△ABC中，AB =2，∠B = 45°，以点A为直角顶点作

例2、 ( 2013 年海淀区一模22 题最后一问) 如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5， 的边长．△ABC 、l3上，求、21/10，等边△ABC 的三个顶点分别在l1l2l2、l3之间的距离是

等腰Ｒt△ADE，点D 在BC 上，点E 在AC上，若CE=5， 的长。CD求

例3、 如图，在矩形纸片AＢＣＤ 中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝４，在ＡＢ 边上取点Ｇ，现将纸片沿ＥＧ 翻折，使点Ａ

落在ＣＤ 边上的点Ｆ 处，当ＡＥ＝３时，求ＢＧ 的长。

三、应用举例 、等腰三角形底边上的一线三等角1 B.∠∠MDN=BCAB=AC,D为的中点，以D为

顶点作例1、如图5，在 三角形ABC中，(1) 相似的三角形。ADEE,不添加辅助线，写出图中所有与三角形DM交AC边于点A如图5，当射线DN经过时，(2) 如图6，将∠MDN绕点D逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点，（E和A点不重合），不添加辅助 线，写出图中所有相似的三角形，并证明。(3) 的长。EF的面积等于三角形面积的1/4时，求线段6中，若AB=AC=10，BC=12，当三角形DEF在图

例2、 如图8，在Rt⊿ABC 中，AB = AC =2，∠A = 90°，现取一块等腰直角三角板，将45° 角的顶点放在BC 中点O

．BOE = α( 45° ≤ α ≤ 90°) CF = y，∠BE =xAC 分别交于点E、F，设，AB处，三角板的

直角边与线段、 ;的取值范围的函数关系式，并写出x ( 1) 试求y 与x

;并说明理由OEF ∠的大小关系?∠( 2) 试判断BEO 与 若能，求出对应? 能否成为等腰三角形O

在三角板绕点旋转的过程中，⊿OEF ( 3)

若不能，请说明理由．; x 的值

【例3】（2012四川·成都卷）如图，△ABC和△DEF两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P，线段EF 与射线 ．相交于点QCA

（1） ；△CQE△BPE≌，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ时，求证：如图①（2） ；CEQBPE

∽△，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△②（2）如图 的代数式表示）a 、Q 两点间的

距离（用含并求当BP=a，CQ=9a/2 时，P

6、（东城一模24.） 等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.

（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；

（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.

、四边形中的一线三等角2 上两个动点，、CD 分别是M、N BC，、如图，正方形例1ABCD 的边长为1cm 的最大值BC 上的运动过程中y 在求点的长为，的长为，设

⊥且始终保持AM MNBM x cmCNy cm.M