一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法
一元二次不等式与特殊的高次不等式解法
例1 解不等式(x?4)(x?1)?0.
分析：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等式的
?x?1?0?x?1?0?x?1?0?x?1?0解集是下面两个不等式组：?与?的解集的并集，即{x|?}∪{x|?}=
x?4?0x?4?0x?4?0x?4?0?????x?1?0?x?1?0φ∪{x|-4 ?x?4?0?x?4?0∈φ或-4 小结：一元二次不等式ax2?bx?c?0(或ax2?bx?c?0)(a?0)的代数解法： 设一元二次不等式ax2?bx?c?0(a?0)相应的方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根为 x1、x2且x1?x2，则ax2?bx?c?0?a(x?x1)(x?x2)?0； ?x?x1?0,?x?x1?0,?x?x1,?x?x1,①若a?0,则得? 或???或??x?x2?0,?x?x2?0.?x?x2,?x?x2.当x1?x2时，得x?x1或x?x2；当x1?x2时，得x?R,且x?x1. ②若a?0,则得??x?x1?0,?x?x1?0,?x?x1,?x?x1, 或???或??x?x2?0,?x?x2?0.?x?x2,?x?x2.当x1?x2时，得x1?x?x2；当x1?x2时，得x??. 分析二：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集. 解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x（从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x轴分为三部分：（-?，-4）（-4，1）（1，+?）；②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号 x+4 x-1 (x-1)(x+4) 例2：解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0； 解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-2，1，3；③列表如下： -2 1 3 1 （-?，-4） - - + （-4，1） + - - （1，+?） + + + 一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法 x+2 x-1 x-3 各因式积 - - - - + - - + + + - - + + + + ④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2 小结：此法叫列表法，解题步骤是： ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……； ②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1 直接写出解集：{x|-2 例2图 练习图 ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）； ④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x轴下方的区间. 注意：奇穿偶不穿 例3 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)<0. 解：①检查各因式中x的符号均正；②求得相应方程的根为：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图： ④∴原不等式的解集为：{x|-1 2 一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法 说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x1)n时，n为奇数时，曲线在x1点处穿过数轴；n为偶数时，曲线在x1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”. 练习：解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)?0. 解：①将原不等式化为：(x-3)(x+1)(x+2)2?0；②求得相应方程的根为：-2（二重），-1，3； ③在数轴上表示各根并穿线，如图： ④∴原不等式的解集是{x|-1?x?3或x=-2}. 说明：注意不等式若带“=”号，点画为实心，解集边界处应有等号；另外，线虽不穿-2点，但x=-2满足“=”的条件，不能漏掉. 2．分式不等式的解法 例4 解不等式： x?3?0. x?7错解：去分母得x?3?0 ∴原不等式的解集是?x|x?3?. ?x?3?0?x?3?0x?3解法1：化为两个不等式组来解：∵\\ ?0??或?x?7x?7?0x?7?0???x∈φ或?7?x?3??7?x?3，∴原不等式的解集是?x|?7?x?3?. 解法2：化为二次不等式来解： ∵ ?(x?3)(x?7)?0x?3?0????7?x?3，∴原不等式的解集是?x|?7?x?3? x?7?x?7?0说明：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)?0，则不等式解集中应注意x?-7的条件，解集应是{x| -7 解法是：移项，通分，右边化为0，左边化为 x2?3x?2?0. 例5 解不等式：2x?2x?3f(x)的形式. g(x)解法1：化为不等式组来解较繁. 22?x2?3x?2?(x?3x?2)(x?2x?3)?0?0??2解法2：∵2? x?2x?3??x?2x?3?0?(x?1)(x?2)(x?3)(x?1)?0，∴原不等式的解集为{x| -1 一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法 x?3?2. 答案： 2.{x|-13 x?3x?2三、小 结 练习：解不等式 1．特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律作；②注意边界点（数轴上表示时是“0”还是“.”）. 2．分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 f(x)f(x)>0(或<0)的形式，转化为：g(x)g(x)?f(x)g(x)?0?f(x)g(x)?0(或?)，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式 . ??g(x)?0?g(x)?03．一次不等式，二次不等式，特殊的高次不等式及分式不等式，我们称之为有理不等式. 4．注意必要的讨论. 5．一次、二次不等式组成的不等式组仍要借助于数轴. 五、思考题： 1． 解关于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0. 解：①将二次项系数化“+”为：(x2-x-12)(x+a)>0， ②相应方程的根为：-3，4，-a，现a的位置不定，应如何解？ ③讨论： ⅰ当-a>4，即a<-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -3 ⅱ当-3<-a<4，即-4 ∴原不等式的解集为{x| -3 ⅲ当-a<-3，即a>3时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| -a ⅳ0当-a=4，即a=-4时，各根在数轴上的分布及穿线如下： ∴原不等式的解集为{x| x>-3}. ⅴ当-a=-3，即a=3时，各根在数轴上的分布及穿线如下： 4