2．1.2 离散型随机变量的分布列
填一填
1.离散型随机变量的分布列 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列． 为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②?pi＝1.
i＝1n
2．两点分布
X 0 1 p P 1－p ．若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
3．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则
n－kCkMCN－M
P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m， n
CN
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. X 0 1 … m －－n0n1n－mC0C1CmMCN－MMCN－MMCN－MP … nCnCnCNNN 判一判 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(×)
2．在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．(×)
3．超几何分布的总体里只有两类物品．(√)
4．新生儿的性别、投篮是否命中，买到的商品是否为正品，可用两点分布研究．(√) 5．从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布．(√)
6．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X
5
表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝.(√)
21k1
X＝?＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则常数a＝.(√) 7．设随机变量X的分布列P??5?15
想一想 1.如何写出一个离散型随机变量分布列，分几步？ 提示：(1)首先确定随机变量X的取值；(2)求出每个取值对应的概率；(3)列表对应，即为分布列．
k
2．设随机变量X的分布列P(X＝i)＝i(i＝1,2,3)，则P(X≥2)等于多少？
2
提示：由已知得随机变量X的分布列为
X 1 2 3 kkkP 248由分布列的性质可得 kkk8＋＋＝1，∴k＝. 2487
kk213
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝＋＝.
48777
3．如何理解两点分布？
提示：(1)两点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)两点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0； (3)由互斥事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))． (4)在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究它．
4．如何理解超几何分布？
提示：在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等．
(1)在应用超几何分布解题时，应首先明确随机变量的取值是否满足超几何分布的使用范围．
(2)在产品抽样中，一般采用不放回抽样． (3)超几何分布的分布列为
X 0 1 … m nn－1n－mC0C1CmMCN－MMCN－MMCN－MP … nCnCnCNNN思考感悟：
练一练 1.若随机变量X的分布列为
X －2 P 0.1 －1 0.2 0 0.2 1 0.3 2 0.1 3 0.1
则当P(X A．(－∞，2] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2) 解析：随机变量X的分布列，知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X 答案：C 2．若随机变量X的分布列如下表所示，则a2＋b2的最小值为( ) X＝i 0 1 2 3 11P(X＝i) a b 4411A. B. 241611C. D. 84 ?a＋b?21122 解析：由分布列性质可知a＋b＝，而a＋b≥＝.故选C项． 228 答案：C 3．已知随机变量ξ的分布列为 ξ －2 －1 0 1 2 3 111111P 124312612设η＝ξ2－2ξ，则P(η＝3)＝________. 111 解析：由题意，可知P(η＝3)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝3)＝＋＝. 4123 1答案： 3 4．已知10名同学中有a名女生，若从这10名同学中随机抽取2名作为学生作表，恰好 16 抽到1名女生的概率是，则a＝( ) 45 A．1 B．2或8 C．2 D．8 1C1a?10－a?16aC10－a 解析：设抽取的女生人数为X，则X服从超几何分布，P(X＝1)＝＝＝， C2454510 解得a＝2或a＝8，故选B项． 答案：B 知识点一 离散型随机变量的分布列 1.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码． (1)求X的分布列； (2)求X的取值不小于4的概率． 解析：(1)随机变量X的可能取值为3,4,5,6， C313 P(X＝3)＝3＝， C620 2C131C3 P(X＝4)＝3＝， C6202C131C4 P(X＝5)＝3＝， C6102C111C5 P(X＝6)＝3＝， C62 所以随机变量X的分布列为 X 3 1P 20(2)X的取值不小于4的概率为 4 3 205 3 106 1 233119 P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＋＝. 2010220 2．一袋中装有5个球，编号分别为1,2,3,4,5.在袋中同时取3个球，以X表示取出3个球中的最小号码，写出随机变量X的分布列． 解析：随机变量X的可能取值为1,2,3. 当X＝1时，即取出的3个球中最小号码为1，则其他2个球只能在编号为2,3,4,5的4个 C2634 球中取，故有P(X＝1)＝3＝＝； C5105 当X＝2，即取出的3个球中最小号码为2，则其他2个球只能在编号为3,4,5的3个球中 C233 取，故有P(X＝2)＝3＝， C510 当X＝3时，即取出的3个球中最小号码为3，则其他2个球只能是编号为4,5的2个球， C212 故有P(X＝3)＝3＝.因此，X的分布列为 C510 X 1 2 3 331P 51010 知识点二 离散型随机变量分布列的性质 3.已知离散型随机变量X的分布列为