1＋51－5次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝__，x2＝____．

22在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．

方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到 __x＋3＝±2__ ，方程的根为x1＝ __－1__，x2＝__－5__.

归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p.

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 解下列方程：

(1)2y2＝8； (2)2(x－8)2＝50； (3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0. 解：(1)2y2＝8， (2)2(x－8)2＝50， y2＝4， (x－8)2＝25， y＝±2， x－8＝±5，

∴y1＝2，y2＝－2； x－8＝5或x－8＝－5， ∴x1＝13，x2＝3； (3)(2x－1)2＋4＝0， (4)4x2－4x＋1＝0， (2x－1)2＝－4<0， (2x－1)2＝0， ∴原方程无解； 2x－1＝0， 1

∴x1＝x2＝.

2

点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．

一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)

1．用直接开平方法解下列方程： (1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24； (3)9n2－24n＋16＝11.

－1±74±11解：(1)；(2)－1±26；(3).

33

点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．

2．已知关于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根是1，求a的值． 解：±1.

二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 用直接开平方法解下列方程：

(1)3(x－1)2－6＝0 ; (2)x2－4x＋4＝5； (3)9x2＋6x＋1＝4; (4)36x2－1＝0； (5)4x2＝81; (6)(x＋5)2＝25； (7)x2＋2x＋1＝4.

解：(1)x1＝1＋2，x2＝1－2； (2)x1＝2＋5，x2＝2－5； 1

(3)x1＝－1，x2＝；

311

(4)x1＝，x2＝－；

6699

(5)x1＝，x2＝－；

22 (6)x1＝0，x2＝－10； (7)x1＝1，x2＝－3.

学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)

1．用直接开平方法解一元二次方程． 2．理解“降次”思想．

3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0?

学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

21．2.1 配方法(2)

1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．

2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．

重点：掌握配方法解一元二次方程．

难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．

(2分钟)

1．填空：

(1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2； (2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2； pp(3)x2＋px＋__()2__＝(x＋____)2.

222．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．

一、自学指导．(10分钟)

问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少米？

设场地的宽为x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16 m2，得到方程__x(x＋6)＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．

探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?

对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？

解：移项，得x2＋6x＝16，

6b

两边都加上__9__即__()2__，使左边配成x2＋bx＋()2的形式，得

22

__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，

左边写成平方形式，得

__(x＋3)2＝25__，

开平方，得

__x＋3＝±5__， (降次)

即 __x＋3＝5__或__x＋3＝－5__， 解一次方程，得x1＝__2__，x2＝__－8__．

归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的

是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．

问题2：解下列方程：

(1)3x2－1＝5； (2)4(x－1)2－9＝0； (3)4x2＋16x＋16＝9.

15

解：(1)x＝±2；(2)x1＝－，x2＝；

2271

(3)x1＝－，x2＝－.

22

归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤： (1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0； (2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数a；

(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．

二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．填空：

(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2； 11 (2)x2－x＋____＝(x－____)2；

42(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2. 2．解下列方程：

(1)x2＋6x＋5＝0; (2)2x2＋6x＋2＝0； (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0. 解：(1)移项，得x2＋6x＝－5，

配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4， 由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5. (2)移项，得2x2＋6x＝－2，

二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1， 335

配方得x2＋3x＋()2＝(x＋)2＝，

2243553

由此可得x＋＝±，即x1＝－，

2222