1+51-5次方程,从而得到方程(2x-1)2=5的两个解为x1=__,x2=____.
22在解上述方程的过程中,实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程,这样问题就容易解决了.
方程x2+6x+9=4的左边是完全平方式,这个方程可以化成(x+__3__)2=4,进行降次,得到 __x+3=±2__ ,方程的根为x1= __-1__,x2=__-5__.
归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那么可得x=±p或mx+n=±p.
二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟) 解下列方程:
(1)2y2=8; (2)2(x-8)2=50; (3)(2x-1)2+4=0; (4)4x2-4x+1=0. 解:(1)2y2=8, (2)2(x-8)2=50, y2=4, (x-8)2=25, y=±2, x-8=±5,
∴y1=2,y2=-2; x-8=5或x-8=-5, ∴x1=13,x2=3; (3)(2x-1)2+4=0, (4)4x2-4x+1=0, (2x-1)2=-4<0, (2x-1)2=0, ∴原方程无解; 2x-1=0, 1
∴x1=x2=.
2
点拨精讲:观察以上各个方程能否化成x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,若能,则可运用直接开平方法解.
一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟)
1.用直接开平方法解下列方程: (1)(3x+1)2=7; (2)y2+2y+1=24; (3)9n2-24n+16=11.
-1±74±11解:(1);(2)-1±26;(3).
33
点拨精讲:运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程时,最容易出错的是漏掉负根.
2.已知关于x的方程x2+(a2+1)x-3=0的一个根是1,求a的值. 解:±1.
二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 用直接开平方法解下列方程:
(1)3(x-1)2-6=0 ; (2)x2-4x+4=5; (3)9x2+6x+1=4; (4)36x2-1=0; (5)4x2=81; (6)(x+5)2=25; (7)x2+2x+1=4.
解:(1)x1=1+2,x2=1-2; (2)x1=2+5,x2=2-5; 1
(3)x1=-1,x2=;
311
(4)x1=,x2=-;
6699
(5)x1=,x2=-;
22 (6)x1=0,x2=-10; (7)x1=1,x2=-3.
学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)
1.用直接开平方法解一元二次方程. 2.理解“降次”思想.
3.理解x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)中,为什么p≥0?
学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)
21.2.1 配方法(2)
1.会用配方法解数字系数的一元二次方程.
2.掌握配方法和推导过程,能使用配方法解一元二次方程.
重点:掌握配方法解一元二次方程.
难点:把一元二次方程转化为形如(x-a)2=b的过程.
(2分钟)
1.填空:
(1)x2-8x+__16__=(x-__4__)2; (2)9x2+12x+__4__=(3x+__2__)2; pp(3)x2+px+__()2__=(x+____)2.
222.若4x2-mx+9是一个完全平方式,那么m的值是__±12__.
一、自学指导.(10分钟)
问题1:要使一块矩形场地的长比宽多6 m,并且面积为16 m2,场地的长和宽分别是多少米?
设场地的宽为x m,则长为__(x+6)__m,根据矩形面积为16 m2,得到方程__x(x+6)=16__,整理得到__x2+6x-16=0__.
探究:怎样解方程x2+6x-16=0?
对比这个方程与前面讨论过的方程x2+6x+9=4,可以发现方程x2+6x+9=4的左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程;而方程x2+6x-16=0不具有上述形式,直接降次有困难,能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗?
解:移项,得x2+6x=16,
6b
两边都加上__9__即__()2__,使左边配成x2+bx+()2的形式,得
22
__x2__+6__x__+9=16+__9__,
左边写成平方形式,得
__(x+3)2=25__,
开平方,得
__x+3=±5__, (降次)
即 __x+3=5__或__x+3=-5__, 解一次方程,得x1=__2__,x2=__-8__.
归纳:通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法,叫做配方法;配方的目的
是为了降次,把一元二次方程转化为两个一元一次方程.
问题2:解下列方程:
(1)3x2-1=5; (2)4(x-1)2-9=0; (3)4x2+16x+16=9.
15
解:(1)x=±2;(2)x1=-,x2=;
2271
(3)x1=-,x2=-.
22
归纳:利用配方法解方程时应该遵循的步骤: (1)把方程化为一般形式ax2+bx+c=0; (2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边; (3)方程两边同时除以二次项系数a;
(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.
二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟) 1.填空:
(1)x2+6x+__9__=(x+__3__)2; 11 (2)x2-x+____=(x-____)2;
42(3)4x2+4x+__1__=(2x+__1__)2. 2.解下列方程:
(1)x2+6x+5=0; (2)2x2+6x+2=0; (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0. 解:(1)移项,得x2+6x=-5,
配方得x2+6x+32=-5+32,(x+3)2=4, 由此可得x+3=±2,即x1=-1,x2=-5. (2)移项,得2x2+6x=-2,
二次项系数化为1,得x2+3x=-1, 335
配方得x2+3x+()2=(x+)2=,
2243553
由此可得x+=±,即x1=-,
2222