有了前几节的基础知识，再加上本节的内容，你就能够借助于LINGO建立并求解复杂的优化模型了。

LINGO有9种类型的函数：

1．1．基本运算符：包括算术运算符、逻辑运算符和关系运算符 2．2．数学函数：三角函数和常规的数学函数 3．3．金融函数：LINGO提供的两种金融函数

4．4．概率函数：LINGO提供了大量概率相关的函数

5．5．变量界定函数：这类函数用来定义变量的取值范围 6．6．集操作函数：这类函数为对集的操作提供帮助

7．7．集循环函数：遍历集的元素，执行一定的操作的函数

8．8．数据输入输出函数：这类函数允许模型和外部数据源相联系，进行数据的输入输

出

9．9．辅助函数：各种杂类函数 4.1 基本运算符

这些运算符是非常基本的，甚至可以不认为它们是一类函数。事实上，在LINGO中它们是非常重要的。 4.1.1 算术运算符

算术运算符是针对数值进行操作的。LINGO提供了5种二元运算符： ＾ 乘方 ﹡ 乘 ／ 除 ﹢ 加 ﹣ 减

LINGO唯一的一元算术运算符是取反函数“﹣”。 这些运算符的优先级由高到底为： 高 ﹣（取反） ＾ ﹡／ 低 ﹢﹣

运算符的运算次序为从左到右按优先级高低来执行。运算的次序可以用圆括号“（）”来改变。

例4.1 算术运算符示例。 2﹣5／3，(2﹢4)／5等等。 4.1.2 逻辑运算符

在LINGO中，逻辑运算符主要用于集循环函数的条件表达式中，来控制在函数中哪些集成员被包含，哪些被排斥。在创建稀疏集时用在成员资格过滤器中。

LINGO具有９种逻辑运算符：

#not# 否定该操作数的逻辑值，＃not＃是一个一元运算符 #eq# 若两个运算数相等，则为true；否则为flase #ne# 若两个运算符不相等，则为true；否则为flase

#gt# 若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为true；否则为flase #ge# 若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase #lt# 若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为true；否则为flase

页 第9

#le# 若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为true；否则为flase #and# 仅当两个参数都为true时，结果为true；否则为flase #or# 仅当两个参数都为false时，结果为false；否则为true 这些运算符的优先级由高到低为： 高 #not#

#eq# #ne# #gt# #ge# #lt# #le# 低 #and# #or#

例4.2 逻辑运算符示例

2 #gt# 3 #and# 4 #gt# 2，其结果为假（0）。 4.1.3 关系运算符

在LINGO中，关系运算符主要是被用在模型中，来指定一个表达式的左边是否等于、小于等于、或者大于等于右边，形成模型的一个约束条件。关系运算符与逻辑运算符#eq#、#le#、#ge#截然不同，前者是模型中该关系运算符所指定关系的为真描述，而后者仅仅判断一个该关系是否被满足：满足为真，不满足为假。

LINGO有三种关系运算符：“=”、“<=”和“>=”。LINGO中还能用“<”表示小于等于关系，“>”表示大于等于关系。LINGO并不支持严格小于和严格大于关系运算符。然而，如果需要严格小于和严格大于关系，比如让A严格小于B：A

这里ε是一个小的正数，它的值依赖于模型中A小于B多少才算不等。

下面给出以上三类操作符的优先级： 高 #not# ﹣（取反） ＾ ﹡ ／

﹢﹣

#eq# #ne# #gt# #ge# #lt# #le# #and# #or# 低 <= = >= 4.2 数学函数

LINGO提供了大量的标准数学函数： @abs(x) 返回x的绝对值

@sin(x) 返回x的正弦值，x采用弧度制 @cos(x) 返回x的余弦值 @tan(x) 返回x的正切值

@exp(x) 返回常数e的x次方 @log(x) 返回x的自然对数

@lgm(x) 返回x的gamma函数的自然对数 @sign(x) 如果x<0返回-1；否则，返回1

@floor(x) 返回x的整数部分。当x>=0时，返回不

超过x的最大整数；当x<0时，返回不低于x的最大整数。

@smax(x1,x2,?,xn) 返回x1，x2，?，xn中的最大值 @smin(x1,x2,?,xn) 返回x1，x2，?，xn中的最小值

例4.3 给定一个直角三角形，求包含该三角形的最小正方形。 解：如图所示。

C a x E

B b A

D

页 第10

CE?asinx,AD?bcosx,求最小的正方形就相当于求如下的最优化问题：

minmax?CE,AD,DE0?x?DE?acosx?bsinx,

??

2LINGO代码如下： model: sets:

object/1..3/: f; endsets data:

a, b = 3, 4; !两个直角边长，修改很方便; enddata

f(1) = a * @sin(x); f(2) = b * @cos(x);

f(3) = a * @cos(x) + b * @sin(x); min = @smax(f(1),f(2),f(3)); @bnd(0,x,1.57); end

在上面的代码中用到了函数@bnd，详情请见4.5节。 4.3 金融函数

目前LINGO提供了两个金融函数。 1．@fpa(I,n)

返回如下情形的净现值：单位时段利率为I，连续n个时段支付，每个时段支付单位费用。若每个时段支付x单位的费用，则净现值可用x乘以@fpa(I,n)算得。@fpa的计算公式为

n。

净现值就是在一定时期内为了获得一定收益在该时期初所支付的实际费用。

例4.4 贷款买房问题 贷款金额50000元，贷款年利率5.31%，采取分期付款方式（每年年末还固定金额，直至还清）。问拟贷款10年，每年需偿还多少元？ LINGO代码如下：

50000 = x * @fpa(.0531,10); 答案是x=6573.069元。

2．@fpl(I,n)

返回如下情形的净现值：单位时段利率为I，第n个时段支付单位费用。@fpl(I,n)的计算公式为

k?1?1(1?I)k?1?(1?I)I?n(1?I)?n。

fpl(I,k)细心的读者可以发现这两个函数间的关系：

n@fpa(I,n)??@k?1

4.4 概率函数

1．@pbn(p,n,x)

二项分布的累积分布函数。当n和（或）x不是整数时，用线性插值法进行计算。 2．@pcx(n,x)

2

自由度为n的χ分布的累积分布函数。

页 第11

3．@peb(a,x)

当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且允许无穷排队时的Erlang繁忙概率。 4．@pel(a,x)

当到达负荷为a，服务系统有x个服务器且不允许排队时的Erlang繁忙概率。 5．@pfd(n,d,x)

自由度为n和d的F分布的累积分布函数。 6．@pfs(a,x,c)

当负荷上限为a，顾客数为c，平行服务器数量为x时，有限源的Poisson服务系统的等待或返修顾客数的期望值。a是顾客数乘以平均服务时间，再除以平均返修时间。当c和（或）x不是整数时，采用线性插值进行计算。

7．@phg(pop,g,n,x)

超几何（Hypergeometric）分布的累积分布函数。pop表示产品总数，g是正品数。从所有产品中任意取出n（n≤pop）件。pop，g，n和x都可以是非整数，这时采用线性插值进行计算。

8．@ppl(a,x)

Poisson分布的线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从均值为a的Poisson分布。

9．@pps(a,x)

均值为a的Poisson分布的累积分布函数。当x不是整数时，采用线性插值进行计算。 10．@psl(x)

单位正态线性损失函数，即返回max(0,z-x)的期望值，其中随机变量z服从标准正态分布。

11．@psn(x)

标准正态分布的累积分布函数。 12．@ptd(n,x)

自由度为n的t分布的累积分布函数。 13．@qrand(seed)

产生服从(0,1)区间的拟随机数。@qrand只允许在模型的数据部分使用，它将用拟随机数填满集属性。通常，声明一个m×n的二维表，m表示运行实验的次数，n表示每次实验所需的随机数的个数。在行内，随机数是独立分布的；在行间，随机数是非常均匀的。这些随机数是用“分层取样”的方法产生的。

例4.5 model: data:

M=4; N=2; seed=1234567; enddata sets:

rows/1..M/; cols/1..N/;

table(rows,cols): x; endsets data:

X=@qrand(seed); enddata end

如果没有为函数指定种子，那么LINGO将用系统时间构造种子。 14．@rand(seed)

返回0和1间的伪随机数，依赖于指定的种子。典型用法是U(I+1)=@rand(U(I))。注意

页 第12