是无理数。
证法二：
xn(a?bx)n,则有 定理 设a,b,n,为正整数，令f(x)?n!（1）f(?x)?f(x)；
（2）当x?0,x?时，f(k)(x)(0?k?2n)取值为整数；
（3）假设?是有理数，即??,a,b为即约正整数，则?0f(x)sinxdx为整数，由此可知?不可能是有理数。 证明 （1）直接验算可得
aa1nn(?x)n[a?b(?x)]n(a?bx)(b?x)na(a?bx)nxnbbbf(?x)????f(x)； bn!n!n!ab?abab（2）可由（1）得
aaf(k)(x)?f(k)(?x).(?1)k,k?1,2,...2n;f(k)(0)?f(k)()(?1)k,k?1,2...,2n;显
bba然f()?f(0)?0，
bak?1,2,...n?1；由于x?0是f(x)的n阶零点，于是f(k)(0)?f(k)()?0，b1ni1利用f(x)??Cn(?b)ixn?1an?1，当i?0,1,...n时，f(n?1)(0)?Cni(?b)i(n?i)!an?1
n!i?0n!为正整数，所以f(k)(0)和f(k)()均为整数(k?0,1,...,2n),f(2n?1)(x)?0；
（3）假设?是有理数，即??，其中a,b为即约正整数。 用分部积分法并由（2）的结果，即知?0f(x)sinxdx为整数，事实上，由于f(k)(0),f(k)(?),sin(k)(0),sin(k)(?)(k?1,2,...,2n)均为整数，且
f(2n?1)(x)?0，
?abab经过分部积分得：
??0f(x)sinxdx??f(x)(?1)n(sinx)(2n)dx0n(2n?1)??(?1)[f(x)(sinx)?(?1)[f(x)(sinx)n?0??f'(x)(sinx)(2n?1)dx]0?(2n?1)?0?f(x)(sinx)'(2n?1)?0??f''(x)(sinx)(2n?1)dx]0??(?1)n[f(x)(sinx)(2n?1)?0?f'(x)(sinx)(2n?1)?0?..??f(2n)(x)sinxdx]0??(?1)n[f(x)(sinx)(2n?1)?f'(x)(sinx)(2n?2)?...?(?f(2n?1)(x)sinx)?(?f2n(x)cosx)]?0，由此可知?0f(x)sinxdx为整数； 另一方面，当0?x?时，有
1nna1na1na2n1a2nnnf(x)?xb(?x)?b[x(?x)]?b(2)?()，
n!bn!bn!4bn!4b??a21a2n即0?f(x)?()，于是0??0f(x)sinxdx?()?0(n??)，这就表
n!4bn!4bn?ab明?0f(x)sinxdx不是整数，这个矛盾说明了?不是有理数，因此?是无理数。
认识了?是无理数，从理论上彻底解决了求?精确值的问题。从理论上讲，人们尽管可以求得它准确到任意有限位小数的值，但实际上永远不可能得到准确值--有无限多位。
?是超越数的证明
?虽然在1822年，林德曼给出了?是超越数的证明，但其证明相当冗长。后来很多数学家对这个证明进行了简化并且给出了初等证明。下面用反证法来说明。
定理 ?是超越数
证明：若?是代数数，则??i?也是代数数，以?1??,?2,...?n表示?的极小多项式的全部零点，记m?den(?)，由e???1，则有
(1?e?1)(1?e?2)...(1?e?n)?0 （1）
（1）式也可以写成2n个e?之和，其中 ???1?1?...??n?n， ?i为0或1.
假设这些?有l个不为零，记?1,...,?l，那么（1）式写为 q?e??...?e??0,q?2n?l。
1l设p为充分大的素数，含多项式f(x)为 f(x)?mlpxp?1(x??1)p...(x??l)p 和
J??I(?k)???0e?k?1k?1ll?kk?uf(u)du
四、π的计算
?值是多少和它是怎样被计算出来的？国内外关于?值计算方面的论著颇丰，但归纳起来主要有五种：割圆术、分析法、椭圆积分法、概率模型法。下面就分别以这四种方法来计算?值。
割圆术
古希腊数学家、物理学家阿基米德是割圆术的鼻祖，因此介绍阿基米德的割圆方法，其他割圆方法都可以从此出得来。
阿基米德割圆术的数学思想是：圆周长介于这个圆的内接多边形和外切多边形之间，当这些多边形的边数增加时，圆周长和它们的周长差相差越小；因此，通过计算这些多边形的周长来接近圆的周长--
只要多边形的边数增多到某种程度，就能得到符合精确度的圆周长进而得到一定精度的?值。
线。显然，此时有
如图所示，o为圆心，AB为⊙O的外 切正6边形一边的一半，OA为半径， ∠AOB=`30o,O是角∠AOB的角平分
OBOA265?2,?3?。把这两个式子相加，就得到ABAB153OA?AB571OBCBOA?OBAC?CBOA?OBOA??。又或。该式子?,?AB153ABACOAACOAACOA?AB571OA571??与前面的比较，就得到。 AB153AC153 从这个不等式出发，立即可以推出圆外切正6边形、正12边形的周长与直径之比的上界。同样，计算圆内接正多边形的边长，可以确定比值的下界。利用比例关系和勾股定理重复上述过程，一直算到96边形，最后得到
外切96边形周长 14688222236336内接正96边形周长 ???????。
11直径直径7120177467342由此可得出223/71???22/7。事实上采用较简单的22/7，而不取
223/71。
阿基米德首次科学而准确地确定223/71???22/7。取?两位实用值为3.14或22/7。从理论上指出了一种可以求得任意准确度的?值的计算方法——-割圆术即“古典方法”。且第一次在科学中提出误差估计及其准确度和如何确定的问题，即用上下界确定近似值；这与其后的祖冲之确定?值的计算方法有异曲同工之妙。