【典例】 如图13所示，矩形区域abcd(包括边界)充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从ad边中点O处，以垂直磁场且跟ad边成30°角的速度射入一带电粒子。已知粒子质量为m、电荷量为q，ad边长为L，不计粒子重力。
图13
(1)若要粒子从ab边上射出，则入射速度v0的大小范围是多少？(ab边足够长) (2)粒子在磁场中运动的最长时间是多少？
v2mv00
解析 (1)若粒子速度为v0，由qv0B＝m得R＝
RqB若轨迹与ab边相切，如图所示，设此时相应速度为v01，则
LR1＋R1sin θ＝ 2
将R1＝
mv01qBL代入上式可得v01＝ qB3m若轨迹与cd边相切，如图所示，设此时粒子速度为v02，则
LR2－R2sin θ＝ 2
将R2＝
mv02qBL代入上式可得v02＝ qBmqBLqBL (2)设粒子入射速度为v，在磁场中经过的弧所对的圆心角为α，则t＝ 大，在磁场中运动的时间也越长，由图可知，粒子在磁场中运动的半径r≤R1时，运动时间最长，弧所对的圆心角为(2π－2θ)。 所以粒子在磁场中运动的最长时间为 t＝ （2π－2θ）m5πm＝。 qB3qB答案 (1) qBLqBL5πm 1.如图14，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B＝0.60 T。磁场内有一块足够大平面感光板ab，板面与磁场方向平行。在距ab为l＝16 cm处，有一个点状的α粒子放射源S，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v＝3.0×10 m/s。已知α粒子的电荷量与质量之比＝5.0×10 C/kg。现只考虑在纸面内运动的α粒子，求ab板上被α粒子打中区域的长度。 6 qm7 图14 解析 α粒子带正电，故其在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动。用R表示轨道半径， v2 有qvB＝m R由此得R＝ 代入数值得R＝10 cm，可见2R>l>R。 因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在下图中N左侧与ab相切，则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点。为确定P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心、R为半径、作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，垂线与ab的交点即为P1。即NP1＝R－（l－R）。 2 2 mvqB 再考虑N的右侧。α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作弧，交ab于N右侧的P2点，此点即α粒子能打到的右侧最远点。 由图中几何关系得NP2＝（2R）－l，所求长度为P1P2＝NP1＋NP2 代入数值得P1P2＝20 cm。 答案 20 cm 2.如图15所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m、带电荷量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行。 2 2 10 图15 (1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A点，则初速度的大小是多少？ (2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？ 解析 (1)如图甲所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R1，则由几何关系得R1＝ 3r 3 v21 又qv1B＝m R1 得v1＝ 3Bqr。 3m 甲 乙 (2)如图乙所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R2， 则由几何关系有(2r－R2)＝R2＋r 3rv23Bqr可得R2＝，又qv2B＝m，可得v2＝ 4R24m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过 3Bqr3Bqr (2) 3m4m 解决带电粒子的临界问题的技巧方法 (1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。 (2)临界问题的一般解题流程 3Bqr。 4m22 2 2 答案 (1) 11 (3)从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。 12