离散数学习题解

5.17.略

25

5.18.略

5.19.略

5.20.略

5.21.略

5.22.略

5.23.在自然推理系统 F 中, 证明下面推理:

(1) 每个有理数都是实数, 有的有理数是整数, 因此有的实数是整数.

(2) 有理数, 无理数都是实数, 虚数不是实数, 因此虚数既不是有理数, 也不是无理数. (3) 不存在能表示成分数的无理数, 有理数都能表示成分数, 因此有理数都不是无理数.

(1)

设 F(x):x 为有理数, R(x):x 为实数, G(x):x 是整数. 前提: 结论: 证明: ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑥

?x(F(x) ?G(x)) F(c) ?G(c)

F(c) G(c)

?x(F(x) ?R(x)) F(c) ?R(c) R(c) R(c) ?G(c) ?x(R(x) ?G(x))

前提引入 ①EI ②化简 ②化简 前提引入 ⑤UI

③⑥假言推理 ④⑦合取 ⑧EG

?x(F(x) ?R(x)), ?x(F(x) ?G(x)) ?x(R(x) ?G(x))

(2)

设: F(x):x 为有理数, G(x):x 为无理数, R(x)为实数, 前提: 结论: 证明: ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ?x((F(x) ?G(x) ?R(x)) F(y) ?G(y)) ?R(y) ?x(H(x) ??R(x)) H(y) ??R(y)

?R(y) ???(F(y) ?G(y)) H(y) ???(F(y) ?G(y)) H(y) ??(?F(y) ??G(y)) 前提引入 ①UI 前提引入 ③UI ②置换 ④⑤假言三段论 ⑥置换

?x((F(x) ?G(x)) ?R(x)), ?x(H(x) ??R(x)) ?x(H(x) ??(?F(x) ??G(x)))

H(x)为虚数

离散数学习题解

⑧

?x(H(x) ??(?F(x) ??G(x)))

⑦UG

26

(3)

设: F(x):x 能表示成分数, G(x):x 为无理数, 前提: 结论: 证明: ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ?x(H(x) ?F(x)) H(y) ?F(y)

?x(G(x) ??F(x)) G(y) ??F(y) F(y) ??G(y) H(y) ??G(y) ?x(H(x) ??G(x))

前提引入 ①UI 前提引入 ③UI ④置换

②⑤假言三段论 ⑥UG

?x(G(x) ??F(x)), ?x(H(x) ?F(x)) ?x(H(x) ??G(x))

H(x)为有理数

5.24.在自然推理系统 F 中, 构造下面推理的证明:

每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车. 每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车. 有的人不喜欢乘汽车, 所以有的人不喜欢步行. (个体域为人类集合)

令 F(x): x 喜欢步行, G( x): x 喜欢骑自行车, H(x): x 喜欢乘汽车. 前提: ?x(F(x) ???G(x)), ?x(G(x) ??H(y)), ?x?H(x). 结论: ?x?F(x). ① ?x(G(x) ??H(y)) ② G(c) ??H(c) ③ ?x?H(x) ④ ?H(c) ⑤ G(c)

⑥ ?x(F(x) ???G(x)) ⑦ F(c) ???G(c) ⑧ ?F(c) ⑨ ?x?F(x)

前提引入 ①UI 前提引入 ③UI

②④析取三段 前提引入 ⑥UI ⑤⑦拒取 ⑧EG

5.25.略

离散数学习题解 27

习题六

6.1. 选择适当的谓词表示下列集合:

(1)小于 5 的非负整数 (2)奇整数集合

(3)10 的整倍数的集合

(1){x|x∈??0≤x<5} (2){x|x=2k+1?k∈?} (3){x|x=10k?k∈? }

6.2. 用列元素法表示下列集合: (1)S1＝

{x|x 是十进制的数字} (2)S2＝{x|x＝2?x＝5} (3)S3＝{x|x＝x∈??3

(4)S4＝{x|x∈\\?x2－1＝0?x>3} (5)S5＝{?x, y>|x, y∈??0≤x≤2??1≤y≤0}

(1) S1={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (2) S2={2,5}

(3) S3={4,5,6,7,8,9,10,11} (4) S4=??

(5) S5={?0, ?1?,?1, ?1?,?2, ?1?,?0,0?,?1,0?,?2,0?}

6.3. 略 6.4. 设 F 表示一年级大学生的集合, S 表示二年级大学生的集合, M 表示数学专业学生的集合, R 表示计算机

专业学生的集合, T 表示听离散数学课学生的集合, G 表示星期一晚上参加音乐会的学生的集合, H 表示 星期一晚上很迟才睡觉的学生的集合. 问下列各句子所对应的集合表达式分别是什么? 请从备选的答 案中挑出来.

(1)所有计算机专业二年级的学生在学离散数学课. (2)这些且只有这些学离散数学课的学生或者星期一晚上去听音乐会的学生在星期一晚上很迟才睡觉.

(3)听离散数学课的学生都没参加星期一晚上的音乐会.

(4)这个音乐会只有大学一, 二年级的学生参加. (5)除去数学专业和计算机专业以外的二年级学生都去参加了音乐会.

备选答案:

①T?G∪H ②G∪H?T ③S∩R?T ④H＝G∪T ⑤T∩G＝??⑥F∪S?G

⑦G?F∪S ⑧S??(R∪M) ?G ⑥G?S??(R∩M)

答案:

(1) ③S∩R?T (2) ④H=G∪T (3) ⑤T∩G=??(4) ⑦G?F∪S

(5) ⑧S??(R∪M) ?G

6.5. 确定下列命题是否为真:

(1) ????(2) ?∈??(3) ??{?} (4) ?∈{?}

(5){a, b}?{a, b, c, {a, b, c}}

离散数学习题解

(6){a, b}∈{a, b, c, {a, b }} (7){a, b}?{a, b, {{a, b}}} (8){a, b}∈{a, b, {{a, b}}}

28

(1) 真(2)假(3) 真(4) 真(5) 真(6) 真(7) 真(8) 假

6.6. 略 6.7. 略 6.8. 略 6.9. 略 6.10.略 6.11.略 6.12.略 6.13.略 6.14.略 6.15.略 6.16.略 6.17.略 6.18.略 6.19.略 6.20.略 6.21.略 6.22.略 6.23.略 6.24.略 6.25.略 6.26.略 6.27.略 6.28.略 6.29.略 6.30.略 6.31.略 6.32.略 6.33.略 6.34.略 6.35.略 6.36.略 6.37.略 6.38.略 6.39.略 6.40.略 6.41.略 6.42.略 6.43.略 6.44.略 6.45.略