北 京 交 通 大 学
2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B）
学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师
题号 得分 阅卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 一．（本题30分，其每小题各3分） （1） 方程z??1?i?t（t为实参数）给出的曲线是 ； （2） 复数1?i3的指数形式是 ； （3） 函数
z?1zz?4?2?2，z=0为 级极点，z??2i为 级极点；
（4） 计算3?4 ；
（5） 若f(z)??n?0nz2nn，则其收敛半径 ；
（6） 计算留数：Res??cosz?z3?,0? ； ?（7） 函数f?z??u?x,y??iv?x,y?在z??x,y?可微的充要条件
为 ；
（8） 曲线C:x?y在映射f(z)?1z下的像是 ；
第 1 页 共 8 页
（9） C为以a为圆心，r为半径的圆周，计算??1?5i?（10） 判断???2??n?1?ndzC?z?a?n（n为正整数） ；
的敛散性 .
二、计算题（25分，每小题各5分） (1)、计算积分?Rezdz其中积分路径C为：
C①连接由原点到1+i的直线段；
②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i的直线段所组成的折线.
(2)、已知：f?z?? (3)、计算?zsinz?1?e?z3求：Res[f(z),0]
z?rln?1?z?dz?0?r?1?
（4）、计算?
1z2C?9?z??z?i?dz，其中C为正向圆周：|z|?2。
（5）计算?ezdz.
2z?1三、求积分?
ez?4zz2?z?1?2dz（7分）
32四、求解析函数f(z)?u(x,y)?v(x,y)，已知u?x,y??x?3xy ，且f?0??i.
（7分）
五、验证v?x,y??arctg?x?0?在右半z平面内满足Laplace方程，即
x第 2 页 共 8 页
y???0,???0；其中????x2???y2， 并求以此为虚部的解析函数f?z?.（8
分）
六、（8分）求函数f?z??1?z?1??z?2?分别在如下区域展成洛朗展式
（1）0?|z?1|?1. （2）0 七、求实轴在映射??八、求函数f?t??? 一、(1)直线y=x (2)2e(3)一;二 (4)2(5)2 (6)?12?132iz?i下的象曲线（8分） ?0?的傅立叶变换（7 ??1,t????0,t????分） ????2k???i3?? 2313?1?i3?;?2 ;2??1?i3? (7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微 ②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即ux?vy,uy??vx. (8)x=-y ?2?i,n?1(9)? 0,n?1?(10发散 二、(1) ①连接原点到点1+i的直线段的参数方程为： z=(1+i)t(0?t?1) 第 3 页 共 8 页 1 故 ?Rezdz=??Re??1?i?t???1?i?dt C01 =?1?i??tdt 0 = 1?i2 ②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t (0?t?1), 连接由点1到点1+i的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t (0?t?1), 即 z=1+it (0?t?1), 11故 ?Rezdz=?RetdtC???Re?1?it??idt0 011 =?tdt?i?dt 00 = 12?i (2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。 将被积函数展为罗朗级数 3??z?z?z?????3!??232??z?1??????3!?? zsinz?1?e?z3???z???z?????2!??23??zz?z??????1?2!??3， 后面那个分式在z=0为解析，故可展为z的幂级数： 1?a1z?? （其中a1及以下各项不需关心） 于是在z=0的去心邻域内有 第 4 页 共 8 页