北 京 交 通 大 学

2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B）

学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师

题号 得分 阅卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 一．（本题30分，其每小题各3分） （1） 方程z??1?i?t（t为实参数）给出的曲线是 ； （2） 复数1?i3的指数形式是 ； （3） 函数

z?1zz?4?2?2，z=0为 级极点，z??2i为 级极点；

（4） 计算3?4 ；

（5） 若f(z)??n?0nz2nn，则其收敛半径 ；

（6） 计算留数：Res??cosz?z3?,0? ； ?（7） 函数f?z??u?x,y??iv?x,y?在z??x,y?可微的充要条件

为 ；

（8） 曲线C:x?y在映射f(z)?1z下的像是 ；

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（9） C为以a为圆心，r为半径的圆周，计算??1?5i?（10） 判断???2??n?1?ndzC?z?a?n（n为正整数） ；

的敛散性 .

二、计算题（25分，每小题各5分） (1)、计算积分?Rezdz其中积分路径C为：

C①连接由原点到1+i的直线段；

②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i的直线段所组成的折线.

(2)、已知：f?z?? (3)、计算?zsinz?1?e?z3求：Res[f(z),0]

z?rln?1?z?dz?0?r?1?

（4）、计算?

1z2C?9?z??z?i?dz，其中C为正向圆周：|z|?2。

（5）计算?ezdz.

2z?1三、求积分?

ez?4zz2?z?1?2dz（7分）

32四、求解析函数f(z)?u(x,y)?v(x,y)，已知u?x,y??x?3xy ，且f?0??i.

（7分）

五、验证v?x,y??arctg?x?0?在右半z平面内满足Laplace方程，即

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y???0,???0；其中????x2???y2， 并求以此为虚部的解析函数f?z?.（8

分）

六、（8分）求函数f?z??1?z?1??z?2?分别在如下区域展成洛朗展式

（1）0?|z?1|?1. （2）0

七、求实轴在映射??八、求函数f?t???

一、(1)直线y=x

(2)2e(3)一;二 (4)2(5)2 (6)?12?132iz?i下的象曲线（8分）

?0?的傅立叶变换（7

??1,t????0,t????分）

????2k???i3??

2313?1?i3?;?2

;2??1?i3?

(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微

②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即ux?vy,uy??vx. (8)x=-y

?2?i,n?1(9)?

0,n?1?(10发散

二、(1) ①连接原点到点1+i的直线段的参数方程为：

z=(1+i)t(0?t?1)

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1 故

?Rezdz=??Re??1?i?t???1?i?dt

C01 =?1?i??tdt

0 =

1?i2

②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t (0?t?1),

连接由点1到点1+i的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t (0?t?1), 即 z=1+it (0?t?1),

11故

?Rezdz=?RetdtC???Re?1?it??idt0

011 =?tdt?i?dt

00 =

12?i

(2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。 将被积函数展为罗朗级数

3??z?z?z?????3!??232??z?1??????3!??

zsinz?1?e?z3???z???z?????2!??23??zz?z??????1?2!??3，

后面那个分式在z=0为解析，故可展为z的幂级数： 1?a1z?? （其中a1及以下各项不需关心） 于是在z=0的去心邻域内有

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