陈家璧版-光学信息技术原理及应用习题解答(8-11章) 下载本文

习 题

8.1利用4f系统做阿贝—波特实验,设物函数t(x1,y1)为一无限大正交光栅

t(x1,y1)???1xx??1yy?rect(1)?comb(1)???rect(1)?comb(1)?

a1b1??b2a2b2??b1 其中a1、a2分别为x、y方向上缝的宽度,b1、b2则是相应的缝间隔。频谱面上得

到如图8-53(a)所示的频谱。分别用图8-53(b)(c)(d)所示的三种滤波器进行滤波,求输出面上的光强分布(图中阴影区表示不透明屏)。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) (b) (c) (d) 图8.53(题8.1 图)

解答:根据傅里叶变换原理和性质,频谱函数为 T ( fx , fy ) = ? [ t ( x1 , y1 )]

= { 将函数展开得 T ( fx , fy ) =

xxyy11? [rect(1)]·? [comb(1)] } ?{? [rect(1)·? [comb(1)]} b1a1b1b2a2b2a1a1a1{sinc(a1fx)+sinc(1)δ(fx-)+sinc(1)δ(fx+)+???} b1b1b1b1b1 ?

a2a1a1sinc(a2fy)+sinc(2)δ(fy-)+sinc(2)δ(fy+)+???} b2b2b2b2b2{(1) 用滤波器(b)时,其透过率函数可写为

1 fx = + 1/ b1 fy = 0 F ( fx , fy ) = 0 fx 1/ b1 fy = 任何值 滤波后的光振幅函数为 T·F =

a1a11sinc(1)[δ(fx-)+δ(fx+)] b1b1b1b1 输出平面光振幅函数为 t’(x3,y3)= ? -1[ T·F ]

=

2?x32?x3a1asinc(1){exp[j()]+exp[-j()]} b1b1b1b1 =

2?x32a1asinc(1)?cos() b1b1b12 输出强度分布为

4a12a122?x3 I(x3,y3)= sinc()?cos() 2bbb1114?x32a12a1 = sinc()?cos() - C 2b1b1b1其中C是一个常数,输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。

(2)用滤波器(c)时,其透过率函数可写为

1 fx ,fy 0

F ( fx , fy ) = 0 fx = fy = 0 滤波后的光振幅函数为 T·F =

2a1b1a2b2{{sinc(a11a1)?(fx-)+sinc(1)?(fx+)+???} b1b1b1b1a21a1)?(fy-)+sinc(2)?(fy+)+???} b2b2b2b2 ?

sinc( 输出平面光振幅函数为 t’(x3,y3)= ? -1[ T·F ]

= {

xaxx1[rect(3)?comb(3)] - 1rect(3)}

b1b1b1a1b1yyy1a[rect(3)?comb(3)] - 2rect(3)} b2a2b2b2b2 × {

输出强度分布为

I(x3,y3)= t’(x3,y3)2 有两种可能的结果,见课本中图8.9和图8.10。

(3)用滤波器(d)时,输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布,方向与滤波狭缝方向垂直,周期为b’,它与物光栅周期b1、b2的关系为

111=+ b’b12b22

8.2 采用图8-53(b)所示滤波器对光栅频谱进行滤波,可以改变光栅的空间频率,若光栅线密度为100线/mm,滤波器仅允许 + 2级频谱透过,求输出面上干板记录到的光栅的线密度。

解答:根据对8.1题的分析,当滤波器仅允许+ 2级频谱通过时,输出平面上的光振幅应

表达为

t’(x3)= ? -1 { sinc(a122)[?(fx-)+?(fx+)]} b1b1b14?x32a1a1sinc()cos = b1b1b1其振幅分布为一周期函数,空间频率是基频的2倍。而干板记录到的是强度分布:

24a12a124?x3 I = sinc()cos2b1b1b1 =

8?x32a12a1 - C sinc()cos2b1b1b12其中C是一个常数。

答:干板上记录到的光栅频率是基频的4倍,即400线/mm。

8.3 在4f系统中,输入物是一个无限大的矩形光栅,设光栅常数d = 4,线宽a =1,最

大透过率为1,如不考虑透镜有限尺寸的影响, (a)写出傅里叶平面P2上的频谱分布表达式;

(b)写出输出平面复振幅和光强分布表达式; (c)在频谱面上作高通滤波,挡住零频分量,写出输出平面复振幅和光强分布表达 式; (d)若将一个π位相滤波器 exp(jπ) x2,y2 ≤ x0,y0 H(x2,y2)=

0 其它

放在P2平面的原点上,写出输出平面复振幅和光强分布表达式,并用图形表示。

解答:将8.1题结果代入,其中b1 = d = 4,a1 = a = 1,除去与y分量有关的项,可得

(a)P2平面上的频谱分布为:

11111T(fx)={sinc(fx)+sinc()?(fx-)+sinc()?(fx+)+???}

44444(b)输出平面:

复振幅 t(x3)= ? -1 [T(fx)]

若不考虑透镜尺寸的影响,它应该是原物的几何像,即

x1[rect(x3)?comb(3)] 44x1光强分布 I (x3) = | t (x3)| 2 = [rect(x3) ?comb(3)]2

164 t (x3) =

(c)挡住零频分量,输出平面情况与8.1题(3)相同,即 t (x3) =

xx11[rect(x3)?comb(3)]-rect(3) 4444 I = | t (x3) | 2

由于a = d / 4,所以强度将出现对比度反转,像光栅常数仍为d = 4,线宽为 a’= 3,见下图

t(x3) I(x3)

0 x3 ··· ··· ··· ··· 0 x3

(d)将一个位相滤波器置于零频上。滤波器可表达为 exp(j ) f x = f y = 0 H(f x,f y)=

1 f x,f y 0 只考虑一维情况,频谱变为 T’(f x)= T(f x)·H(f x)

11111{sinc(fx)exp(j?)+sinc()?(fx-)+sinc()?(fx+)+???} 4444411111={-sinc(fx)+sinc()?(fx-)+sinc()?(fx+)+???} 44444=

输出平面上的复振幅为

t (x3) = ? -1[T(f x)·H(f x)] = -

xx111rect(x3)+[rect(x3)?comb(3)] - rect(3) 444448.4 图8-54所示的滤波器函数可表示为:

1 fx>0 H(ff ,fy)= 0 fx=0

-1 fx<0 此滤波器称为希尔伯特滤波器。

证明希尔伯特滤波能够将弱位相物体的位相变化转变为光强的变化。

y L1 fy L2

x fx

x'

y'

图8.54(题8.4 图)

解答:位相物可表达为

t0(x1,y1)= A·exp [ j ?(x1,y1)]

对于弱位相物有? 1弧度,上式近似为(忽略A)

t0(x1,y1) 1+ j ?(x1,y1)

滤波平面得到

T(fx,fy)= ? [t0(x1,y1)]