[习题解答]

9-3 两个相同的小球质量都是m，并带有等量同号电荷q，各用长为l的丝线悬挂于同一点。由于电荷的斥力作用，使小球处于图9-9所示的位置。如果?角很小，试证明两个小球的间距x可近似地表示为

.

解 小球在三个力的共同作用下达到平衡，这三个力分别是重力

mg、绳子的张力T和库仑力f。于是可以列出下面的方程式

,(1)

图9-9

,(2)

(3)

因为?角很小，所以

,

.

利用这个近似关系可以得到

,(4)

. (5)

将式(5)代入式(4)，得

,

由上式可以解得

.

得证。

9-4 在上题中， 如果l = 120 cm，m = 0.010 kg，x = 5.0 cm，问每个小球所带的电量q为多大？

解 在上题的结果中，将q解出，再将已知数据代入，可得

.

9-5 氢原子由一个质子和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是r0 = 5.29?10?11m。质子的质量M = 1.67?10?kg，电子的质量m = 9.11?10?kg，它们的电量为 ?e =1.60?10?19C。

27

31

(1)求电子所受的库仑力；

(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？

(3)求电子绕核运动的速率。

解

(1)电子与质子之间的库仑力为

.

(2)电子与质子之间的万有引力为

.

所以

.

(3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力，所以

,

从上式解出电子绕核运动的速率，为

.

9-6 边长为a的立方体，每一个顶角上放一个电荷q。

(1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为

.

(2) F的方向如何？

解 立方体每个顶角上放一个电荷q，由于对称性，每个电荷的受力情况均相同。对于任一顶角上的电荷，例如B角上的qB，

它所受到的力

、

和

大小也是相等的，即

图9-10

.

首先让我们来计算 的大小。

由图9-10可见， 、 和 对

的作用力不产生x方向的分量；

对

的作用力f1的大小为

,

f1的方向与x轴的夹角为45?。

对

的作用力f2的大小为

,

f2的方向与x轴的夹角为0?。

对

的作用力f3的大小为

,

f3的方向与x轴的夹角为45?。

对

的作用力f4的大小为

,

f4的方向与x轴的夹角为?，

于是

。

.

所受合力的大小为

.

(2) F的方向：F与x轴、y轴和z轴的夹角分别为?、?和?，并且

,

.

9-7 计算一个直径为1.56 cm的铜球所包含的正电荷电量。

解 根据铜的密度可以算的铜球的质量

.

铜球的摩尔数为

.

该铜球所包含的原子个数为

.

每个铜原子中包含了29个质子，而每个质子的电量为1.602?10?19 C，所以铜球所带的正电荷为

.

9-8 一个带正电的小球用长丝线悬挂着。如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度E，我们就把一个带正电的试探电荷q0 引入该点，测定F/q0。问F/q0是小于、等于还是大于该点的电场强

度E？

解 这样测得的F / q0是小于该点的电场强度E的。因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动， q0受力F减小了。

9-9 根据点电荷的电场强度公式

,

当所考查的点到该点电荷的距离r接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。对此应作何解释？

解 当r? 0时，带电体q就不能再视为点电荷了，只适用于场源为点电荷的场强公式不再适用。这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。

9-10 离点电荷50 cm处的电场强度的大小为2.0 N?C?1 。求此点电荷的电量。

解 由于

,

所以有

.

9-11 有两个点电荷，电量分别为5.0?10?C和2.8?10?C，相距15 cm。求：

78

(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；

(2)作用在每个电荷上的力。

图9-11

解 已知

= 5.0?10?C、

7

= 2.8?10?C，它们相距

8

r = 15 cm ，如图9-11所示。

(1) 在点B产生的电场强度的大小为

,

方向沿从A到B的延长线方向。

在点A产生的电场强度的大小为

,

方向沿从B到A的延长线方向。

(2)

对 的作用力的大小为

,

方向沿从B到A的延长线方向。

对 的作用力的大小为

.

方向沿从A到B的延长线方向。

9-12 求由相距l的 ?q电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：

(1)轴的延长线上距轴心为r处，并且r >>l；

(2)轴的中垂面上距轴心为r处，并且r >>l。

解

图9-12

(1)在轴的延长线上任取一点P，如图9-12所示，该点距轴心的距离为r。P点的电场强度为

.

在r >> l的条件下，上式可以简化为

.(1)

令

,(2)

这就是电偶极子的电矩。这样，点P的电场强度可以表示为

图9-13

.(3)

(2)在轴的中垂面上任取一点Q，如图9-13所示，该点距轴心的距离为r。Q点的电场强度为

也引入电偶极子电矩，将点Q的电场强度的大小和方向同时表示出来：

.

9-13 有一均匀带电的细棒，长度为L，所带总电量为q。求：

(1)细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且a>>L；

(2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且a>>L。

解

(1)以棒中心为坐标原点建立如图9-14所示的坐标系。在x轴上到O点距离为a处取一点P，在x处取棒元dx，它所带电荷元为?dx ，该棒元到点P的距离为a? x，它在P点产生的电场强度

图9-14

为

.

整个带电细棒在P点产生的电场强度为

,

方向沿x轴方向。

(2)坐标系如图9-15所示。在细棒中垂线(即y轴)上到O点距离为a处取一点P，由于对称性，整个细棒在P点产生的电场强度只具有y分量

Ey。所以只需计算Ey就够了。

仍然在x处取棒元dx，它所带电荷元为?dx，它在P点产生电场强度的y分量为

图9-15

.

整个带电细棒在P点产生的电场强度为

,

方向沿x轴方向。

9-14 一个半径为R的圆环均匀带电，线电荷密度为?。求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a的一点的电场强度。

解以环心为坐标原点，建立如图9-16所示的坐标

图9-16

系。在x轴上取一点P，P点到盘心的距离为a。在环

上取元段dl，元段所带电量为dq = ? dl，在P点产生的电场强度的大小为

.

由于对称性，整个环在P点产生的电场强度只具有x分量Ex。所以只需计算Ex就够了。所以

.

9-15 一个半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为?。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距

a的一点的电场强度。

解 取盘心为坐标原点建立如图9-17所示的坐标系。在x轴上取一点P，P点到盘心的距离为a。为计算整个圆盘在P点产生的电场强度，可先在圆盘上取一宽度为dr的圆环，该圆环在P点产生的电场强度，可以套用上题的结果，即

图9-17

,

的方向沿x轴方向。整个圆盘在P点产生的电场强度，可对上式积分求得

.

9-16 一个半径为R的半球面均匀带电，面电荷密度为?。求球心的电场强度。

解 以球心O为坐标原点，建立如图9-18所示的坐标系。在球面上取宽度为dl的圆环，圆环的半径为r。显然

,

图9-18

圆环所带的电量为

.

根据题9-14的结果，该圆环在球心产生的电场强度为

,

方向沿x轴的反方向。由图中可见，

,, 将这些关系代入上式，得

.

所以

,

E的方向沿x轴的反方向。

9-19 如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面S内的电荷，其量用q表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为E?，另一类是处于高斯面S外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为E ?，显然高斯面上任一点的电场强度E = E ?+ E?。试证明：

(1)

；

(2)

。

解 高斯面的电通量可以表示为

.

显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。

高斯定理表述为“通过任意闭合曲面S的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以?0，而与S以外的电荷无关。”可见，高斯面S以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。这句话在数学上应表示为

. (1)

所以，关系式 的成立是高斯定理的直接结果。

因为

,

于是可以把高斯定理写为

.

将式(1)代入上式，即得

. (2)

9-20 一个半径为R的球面均匀带电，面电荷密度为?。求球面内、外任意一点的电场强度。

解 由题意可知，电场分布也具有球对称性，可以用高斯定理求解。

图9-19

在球内任取一点，到球心的距离为r1，以r1为半径作带电球面的同心球面S1，如图9-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得

,

由此解得球面内部的电场强度为

.

在球外任取一点，到球心的距离为r2，以r2为半径作带电球面的同心球面S2，如图9-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得

,

即

.

由此解得

,

E2的方向沿径向向外。

9-21 一个半径为R的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为?。求圆柱体内、外任意一点的电场强

度。

解 显然，电场的分布具有轴对称性，圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径向向外，可以用高斯定理求解。

在圆柱体内部取半径为r1、长度为l的同轴柱面

图9-20

S1(见图9-20)作为高斯面并运用高斯定理

.

上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的积分，前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零，只剩下对侧面的积分，所以上式可化为

,

于是得

,

方向沿径向向外。

用同样的方法，在圆柱体外部作半径为r2、长度为l的同轴柱面S2，如图9-20所示。在S2上运用高斯定理，得

.

根据相同的情况，上面的积分可以化为

,

由上式求得

,

方向沿径向向外。

9-22 两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为 ??，两板相距d。当d比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。

(1)求两板之间的电场强度；

(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过1.5?10?s的时间撞击在对面的正电板上，若

8

d = 2.0 cm，求电子撞击正电板的速率。

解

(1)在题目所说情况下，带等量异号电荷的两平行板构成了一个电容器，并且电场都集中在两板之间的间隙中。作底面积为?S的柱状高斯面，使下底面处于两板间隙之中，而上底面处于两

图9-21

板间隙之外，并且与板面相平行，如图9-21所示。在此高斯面上运用高斯定理，得

,

由此解得两板间隙中的电场强度为

.

(2)根据题意可以列出电子的运动学方程

,

.

两式联立可以解得

.

9-24 一个半径为R的球体均匀带电，电量为q，求空间各点的电势。

解 先由高斯定理求出电场强度的分布，再由电势的定义式求电势的分布。

在球内： ，根据高斯定理，可列出下式

,

解得

,

方向沿径向向外。

在球外： ，根据高斯定理，可得

,

解得

,

方向沿径向向外。

球内任意一点的电势：

, ().

球外任意一点的电势：

, ().

9-25 点电荷+q和?3q相距d = 1.0 m，求在它们的连线上电势为零和电场强度为零的位置。

解

(1)电势为零的点：这点可能处于+q的右侧，也可能处于+q

图9-22

的左侧，先假设在+q 的右侧x1处的P1点，如图9-22所表示的那样可列出下面的方程式

.

从中解得

.

在+q左侧x2处的P2点若也符合电势为零的要求，则有

.

解得

.

(2)电场强度为零的点：由于电场强度是矢量，电场强度为零的点只能在 +q的左侧，并设它距离+q为x，于是有

.

解得

.

9-26 两个点电荷q1 = +40?10?C和q2 = ?70?10?C，相距10 cm。设点A是它们连线的中点，点B的位置离q1 为

9

9

8.0 cm，离q2 为6.0 cm。求：

(1)点A的电势；

图9-23

(2)点B的电势；

(3)将电量为25?10C的点电荷由点B移到点A所需要作的功。

-9

解 根据题意，画出图9-23。

(1)点A的电势：

.

(2)点B的电势：

.

(3)将电荷q从点B移到点A，电场力所作的功为

,

电场力所作的功为负值，表示外力克服电场力而作功。

9-27 一个半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为?。求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电势，再由电势求该点的电场强度。

解 以盘心为坐标原点、以过盘心并垂直于盘面的轴线为x轴，建立如图9-24所示的坐标系。在x

图9-24

轴上任取一点P，点P的坐标为x。在盘上取半径为

r、宽为dr的同心圆环，该圆环所带电荷在点P所产生的电势可以表示为

.

整个圆盘在点P产生的电势为

.

由电势求电场强度

.

9-28 一个半径为R的球面均匀带电，球面所带总电量为Q。求空间任意一点的电势，并由电势求电场强度。

解 在空间任取一点P，与球心相距r。在球面上取薄圆环，如图9-25中阴影所示，该圆环所带电量为

图9-25

.

该圆环在点P产生的电势为

. (1)

式中有两个变量，a和?，它们之间有下面的关系：

,

微分得

. (2)

将上式代入式(1)，得

.

如果点P处于球外，

，点P的电势为

. (3)

其中

Q = 4?R2? .

如果点P处于球内， ，点P的电势为

. (4)

由电势求电场强度：

在球外，

,

方向沿径向向外。

,

在球内， ：

.

9-30 如图9-26所示，金属球A和金属球壳B同心放置，它们原先都不带电。设球A的半径为R0 ，球壳B的内、外半径分别为R1 和R2。求在下列情况下A、B的电势差：

图9-26 (2)使A带+q；

(1)使B带+q；

(3)使A带+q，使B带?q；

(4)使A带?q，将B的外表面接地。

解

(1)使B带+q：这时A和B等电势，所以

.

(2)使A带+q：这时B的内表面带上了?q，外表面带上了+q，A、B之间的空间的电场为

,

方向沿径向由内向外。所以

.

(3)使A带+q，使B带?q：这时B的内表面带?q，外表面不再带电，A、B之间的空间的电场不变，所以电势差也不变，即与(3)的结果相同。

(4)使A带?q，将B的外表面接地：这时B的内表面感应了+q，外表面不带电，A、B之间的空间的电场为

,

方向沿径向由外向内。所以

.

9-31 两平行的金属平板a和b，相距d = 5.0 mm，两板面积都是S =150 cm，带有等量异号电荷?Q =

2

2.66?10-8 C，正极板a接地，如图9-27所示。忽略边缘效应，问：

(1) b板的电势为多大？

(2)在a、b之间且距a板1.0 mm处的电势为多大？

解

图9-27

(1)可以证明两板之间的电场强度为

.

于是可以求得b板的电势，为

.

(2)根据题意，a板接地，电势为零，两板之间的任何一点的电势都为负值。所求之点处于a、b之间、且到a板的离距为

处，所以该点的电势为

.

9-32 三块相互平行的金属平板a、b和c，面积都是200 cm，a、b相距4.0 mm，a、c相距2.0 mm，b、c两板都接地，如图9-28所示。若使

2

a板带正电，电量为3.0?10-7C，略去边缘效应，求：

(1) b、c两板上感应电荷的电量；

图9-28

(2) a板的电势。

解

(1) a板带电后，电荷将分布在两个板面上，其面电荷密度分别为?1和?2。由于静电感应，b板与a板相对的面上面电荷密度为 ??1，c板与a 板相对的面上面电荷密度为??2。c板和b板都接地，电势

为零。所以

,

即

. (1)

式中E1和d1是a、b之间的电场强度和板面间距，E2和d2是a、c之间的电场强度和板面间距。另外

. (2)

式(1)、(2)两式联立，可以解得

,

.

b板上的电量为

,

c板上的电量为

.

(2) a板的电势

.

9-33 如图9-29所示，空气平板电容器是由两块相距0.5 mm的薄金属片A、B所构成。若将此电容器放在一个金属盒K内，金属盒上、下两壁分别与A、B都相距0.25 mm，电容器的电容变为原来的几倍？

解 设原先电容器的电容为C0，放入金属盒中后，形成了如图9-30所示的电容器的组合。根据题意，有

图9-29

.

CA与CB串联的等效电容为

.

图9-30

CAB与C0并联的等效电容C就是放入金属盒中后的电容：

.

可见，放入金属盒中后，电容增大到原来的2倍。

9-34 一块长为l、半径为R的圆柱形电介质，沿轴线方向均匀极化，极化强度为P，求轴线上任意一点由极化电荷产生的电势。

解 以圆柱体轴线的中点为坐标原点建立如图9-31所示的坐标系，x轴沿轴线向右。根据公式

,

图9-31

圆柱体的右端面(A端面)的极化电荷密度为+??，B端面的极化电荷密度为???。它们在轴线上任意

一点(坐标为x)产生的电势可以套用题9-27的结果。A面上的极化电荷在该点产生的电势为

.

B面上的极化电荷在该点产生的电势为

.

该点的电势应为以上两式的叠加，即

.

9-35 厚度为2.00 mm的云母片，用作平行板电容器的绝缘介质，其相对电容率为2。求当电容器充电至电压为400 V时，云母片表面的极化电荷密度。

解 云母片作为平行板电容器的电介质，厚度等于电容器极板间距。根据极板间电压，可以求得云母片内的电场强度：

.

云母片表面的极化电荷密度为

.

9-36 平行板电容器两极板的面积都是S = 3.0?10m，相距d = 3.0 mm。用电源对电容器充电至电压U0 = 100 V， 然后将电源断开。现将一块厚度为b = 1.0 mm、相对电容率为?r = 2.0的电介质，平行地插入电容器中，求：

-2

2

(1)未插入电介质时电容器的电容C0 ；

(2)电容器极板上所带的自由电荷q；

(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度E1 ；

(4)电介质内的电场强度E2 ；

(5)两极板之间的电势差U；

(6)插入电介质后电容器的电容C。

解

(1)未插入电介质时电容器的电容为

.

(2)电容器极板上所带的自由电荷为

.

(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度为

.

(4)电介质内的电场强度为

.

(5)两极板之间的电势差为

.

(6)插入电介质后电容器的电容为

.

9-37 半径为R的均匀电介质球，电容率为?，均匀带电，总电量为q。求：

(1)电介质球内、外电位移的分布；

(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；

(3)电介质球内极化强度的分布；

(4)球体表面和球体内部极化电荷的电量。

解 电介质球体均匀带电，电荷体密度为

.

(1)电介质球内、外电位移的分布

球内，即 ：

,

,

方向沿径向向外。

球外，即 ：

,

,

方向沿径向向外。

(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布

电场强度的分布

球内，即 ：

,

方向沿径向向外。

球外，即 ：

,

方向沿径向向外。

电势的分布

球内，即 ：

.

球外，即 ：

.

(3)电介质球内极化强度的分布

球内，即 ：

,

方向沿径向向外。

在球外P = 0。

(4)球体表面和球体内部极化电荷的电量

球体表面的极化电荷密度为

,

极化电荷的总量为

.

因为整个球体的极化电荷的代数和为零，所以球体内部的极化电荷总量为?q?。

9-38 一个半径为R、电容率为?的均匀电介质球的中心放有点电荷q，求：

(1)电介质球内、外电位移的分布；

(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布；

(3)球体表面极化电荷的密度。

解

(1)电介质球内、外电位移的分布

,

,

方向沿径向向外。

无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用的。

(2)电场强度的分布

：

,

方向沿径向向外。

：

,

方向沿径向向外。

电势的分布

：

.

：

.

(3)球体表面极化电荷的密度

紧贴点电荷的电介质极化电荷总量为

.

电介质球表面上的极化电荷总量为

,

所以电介质表面的极化电荷密度为

.

9-39 图9-32中A是相对电容率为?r的电介质中离边界极近的一点，已知电介质外的真空中的电场强度为E，其方向与界面法线n的夹角为?，求：

(1) A点的电场强度；

(2)点A附近的界面上极化电荷密度。

解

(1)求解点A的电场强度可以分别求出点A电场强度的切向分量 和法向分量

，而这两个分量可以根据边界条件求得。

图9-32

根据电场强度的切向分量的连续性可得

.

根据电位移矢量的法向分量的连续性可得

.

点A的电场强度的大小为

,

电场强度的方向与表面法向n的夹角??满足下面的关系

.

(2)点A附近的界面上极化电荷密度为

.

9-40 一平行板电容器内充有两层电介质，其相对电容率分别为?r1 = 4.0和?r2= 2.0，厚度分别为d1 = 2.0

mm和d2= 3.0 mm，极板面积为S = 5.0?10-3m2 ，两板间的电势差为U0 = 200 V。

(1)求每层电介质中的电场能量密度；

(2)求每层电介质中的总电场能；

(3)利用电容与电场能的关系，计算电容器中的总能量。

解

(1)两板间的电势差可以表示为

,

所以

.

于是可以求得电介质中的电场强度

,

.

电介质中的能量密度为

,

.

(2)第一层电介质中的总电场能为

.

第二层电介质中的总电场能为

.

(3)题意所表示的电容器相当于两个电容器的串联，这两个电容器的电容分别为

和 .

它们串联的等效电容为

.

电容器中的总能量为

.

也可以利用上面的结果来计算

.

两种计算方法所的结果一致。