第二章 平面向量(B) 综合测试卷 (时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是( ) A．－6 B．6 C．9 D．12 2．下列命题正确的是( ) A．单位向量都相等

B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0 D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1.

3．设向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是( )

4

A．(－，2)

3

4

B．(－∞，－)∪(2，＋∞)

34

C．(－2，)

3

4

D．(－∞，2)∪(，＋∞)

3

→→→→

4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则AD·BD等于( ) A．8 B．6 C．－8 D．－6 5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与向量b的夹角是( ) ππππA. B. C. D. 6432

6．关于平面向量a，b，c，有下列四个命题： ①若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa； ②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；

③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λa＋μb； ④若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)． 其中正确的命题是( )

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则向量a在向量b上的投影等于( )

1212

A．－4 B．4 C．－ D.

55→→→

8．设O，A，M，B为平面上四点，OM＝λOB＋(1－λ)·OA，且λ∈(1,2)，则( ) A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上 C．点A在线段BM上

D．O，A，B，M四点共线

→1→→

9．P是△ABC内的一点，AP＝(AB＋AC)，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为( )

3

3

A. B．2 C．3 D．6 2

→→→→→→→

10．在△ABC中，AR＝2RB，CP＝2PR，若AP＝mAB＋nAC，则m＋n等于( ) 278

A. B. C. D．1 399

11．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)等于( )

433A．－ B．－ C．0 D. 555

12．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是( ) A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a

C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 14．a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.

1

15．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直

2

线l的方程为________．

→→→

16．已知向量OP＝(2,1)，OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，设M是直线OP上任意一点(O为坐标原

→→

点)，则MA·MB的最小值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)

→→→1→→1→

17．(10分)如图所示，以向量OA＝a，OB＝b为边作?AOBD，又BM＝BC，CN＝CD，用

33

→→→

a，b表示OM、ON、MN.

18．(12分)已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2， 求：(1)(a－2b)·(a＋b)；

(2)|a＋b|； (3)|3a－4b|.

13

19．(12分)已知a＝(3，－1)，b＝?，?，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝

?22?

k＋t2

－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．

t

→→→

20．(12分)设OA＝(2,5)，OB＝(3,1)，OC＝(6,3)．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

→→

22．(12分)已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设OA＝a，OB＝

→→

b，OP＝ma，OQ＝nb.

11

求证：＋＝3.

mn

第二章 平面向量(B)

答案

1．B [∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6.] 2．C [∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b |a－b|2＝a2＋b2－2a·b |a＋b|＝|a－b|.∴a·b＝0.] 3．A [∵a与b的夹角大于90°，∴a·b<0，∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0，即3m2－

4

2m－8<0，∴－

3

→→→→→→→

4．A [∵AD＝BC＝AC－AB＝(－1，－1)，∴BD＝AD－AB＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)， →→∴AD·BD＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8.]

a·b31

5．C [∵a(b－a)＝a·b－|a|2＝2，∴a·b＝3，∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉

|a|·|b|1×62

π＝.] 3

6．B [由向量共线定理知①正确；若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③错误；若a·b＝a·c，则a(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)，所以④正确，即正确命题序号是①④.]

a·ba·b12

7．A [向量a在向量b上的投影为|a|cos〈a，b〉＝|a|·＝＝－＝－4.]

|a||b||b|3

→→→→→→→→

8．B [∵OM＝λOB＋(1－λ)OA＝OA＋λ(OB－OA)∴AM＝λAB，λ∈(1,2)，∴点B在线段AM上，故选B.]

S△ABC2S△ABD2AD

9．C [设△ABC边BC的中点为D，则＝＝. APS△ABPS△ABP

S△ABC→1→→2→→3→→3→

∵AP＝(AB＋AC)＝AD，∴AD＝AP，∴|AD|＝|AP|.∴＝3.]

3322S△ABP

417→→→→2→→22→→4→1→

10．B [AP＝AC＋CP＝AC＋CR＝AC＋(AB－AC)＝AB＋AC故有m＋n＝＋＝.]

33393939

3

11．B [由已知得4b＝－3a－5c，将等式两边平方得(4b)2＝(－3a－5c)2，化简得a·c＝－.

5

3

同理由5c＝－3a－4b两边平方得a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－.]

5

12．B [若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)