＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．] 13．2
解析 ∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，
∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． ∵向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0. ∴λ＝2. 14．7
1
解析 ∵|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b＝25×12＋32－10×1×3×(－)＝49.
2
∴|5a－b|＝7.
15．2x－3y－9＝0
→
解析 设P(x，y)是直线上任意一点，根据题意，有AP·(a＋2b)＝(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x－3y－9＝0. 16．－8
→→→→
解析 设OM＝tOP＝(2t，t)，故有MA·MB＝(1－2t,7－t)·(5－2t,1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2
→→
－8，故当t＝2时，MA·MB取得最小值－8.
→→→→→→→1→→1→15
17．解 BA＝OA－OB＝a－b.∴OM＝OB＋BM＝OB＋BC＝OB＋BA＝a＋b.
3666
→→→→1→1→2→22又OD＝a＋b.ON＝OC＋CN＝OD＋OD＝OD＝a＋b，
263331511→→→22
∴MN＝ON－OM＝a＋b－a－b＝a－b.
336626
1
－?＝－4. 18．解 a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×??2?(1)(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12. (2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a＋b|＝23.
(3)|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19， ∴|3a－4b|＝419.
?1?2＋?3?2＝1. 19．解 由题意有|a|＝?3?2＋?－1?2＝2，|b|＝?2??2?
13∵a·b＝3×－1×＝0，∴a⊥b.
22
t3－3t2
∵x·y＝0，∴[a＋(t－3)b](－ka＋tb)＝0.化简得k＝. 4
k＋t212k＋t21772∴＝(t＋4t－3)＝(t＋2)－.即t＝－2时，有最小值为－. t444t4
→→→→→→
20．解 设OM＝tOC，t∈[0,1]，则OM＝(6t,3t)，即M(6t,3t).MA＝OA－OM＝(2－6t,5－3t)， →→→→→MB＝OB－OM＝(3－6t,1－3t)．若MA⊥MB，则MA·MB＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0.
2211?111
即45t2－48t＋11＝0，t＝或t＝.∴存在点M，M点的坐标为(2,1)或??5，5?. 315
21．解 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角， ?2te1＋7e2?·?e1＋te2?得<0， |2te1＋7e2|·|e1＋te2|即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.
2
整理得：2te2e2＋7te21＋(2t＋7)e1·2<0.(*) ∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°. ∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1
1
∴(*)式化简得：2t2＋15t＋7<0.解得：－7 2 当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)． 2t＝λλ＝－14????对比系数得?7＝λt，∴?14 t＝－??2??λ<0∴所求实数t的取值范围是?－7，－ ? 14??141? ∪－，－. 2??22? 22. 证明 如右图所示， →1→→1 ∵OD＝(OA＋OB)＝(a＋b)， 22→2→1 ∴OG＝OD＝(a＋b)． 33 11→→→1 ∴PG＝OG－OP＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋b. 333 →→→ PQ＝OQ－OP＝nb－ma. 又P、G、Q三点共线， →→ 所以存在一个实数λ，使得PG＝λPQ. 11 ∴(－m)a＋b＝λnb－λma， 3311 ∴(－m＋λm)a＋(－λn)b＝0. 33∵a与b不共线， 1 －m＋λm＝0， ①3∴ 1 －λn＝0， ②3 11 由①②消去λ得：＋＝3. mn ???