显然F(x)在[x1,x2]上满足罗尔定理的三个条件，于是存在??(x1,x2)?(0,1)使得F?(?)?0，即f?(?)?1，这与题设f?(x)?1(x?(0,1))矛盾，故唯一性也成立．证毕．
例7 假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数，并且g??(x)?0， f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0，
试证：（1）在开区间(a,b)内g(x)?0；
（2）在开区间(a,b)内至少存在一点?，使
f(?)f??(?)． ???g(?)g(?)分析 证（1）可采用反证法，设存在c?(a,b)使得g(c)?0，且由已知条件
g(a)?g(b)?0，
可以两次利用罗尔定理推出与g??(x)?0相矛盾的结论．问题（1）是基本题．证（2）的关键是构造辅助函数?(x)，使得?(a)??(b)?0，且??(x)?f(x)g??(x)?f??(x)g(x)，通过观察可知?(x)?f(x)g?(x)?f?(x)g(x)．构造?(x)是本题的难点．
证 （1）反证法．设存在c?(a,b)，使得g(c)?0，由于
g(a)?g(b)?g(c)?0，
对g(x)分别在区间[a,c]和[c,b]上应用罗尔定理，知至少存在一点?1?(a,c)，使得g?(?1)?0．至少存在一点?2?(c,b)，使得g?(?2)?0．再对g?(x)在区间[?1,?2]上应用罗
尔定理，知至少存在一点?3?(?1,?2)，使得g??(?3)?0，这与题设g??(x)?0矛盾，从而得证．
（2）令?(x)?f(x)g?(x)?f?(x)g(x)，则?(a)??(b)?0．对?(x)在区间[a,b]上应用罗尔定理，知至少存在一点??(a,b)，使得??(?)?0，即
f(?)g??(?)?f??(?)g(?)?0．
又因g(x)?0，x?(a,b)，故g(?)?0，又因为g??(x)?0，所以g??(?)?0，因此有
f(?)f??(?)． 证毕． ?g(?)g??(?)?ex,例8 验证函数f(x)???1?x,x?0x?01在[?1,]上拉格朗日中值定理的正确性．
e分析 此题主要考查拉格朗日中值定理的条件是否满足． 解 因为limf(x)?limex?1，limf(x)?lim(1?x)?1，则 ????x?0x?0x?0x?0f(0?)?f(0?)?f(0)，
1故f(x)在x?0处连续，故f(x)在[?1,]上连续．又因为
e
f(0??x)?f(0)e?x?1f??(0)?lim??lim??1，
?x?0?x?0?x?x?(0)?lim?f??x?0f(0??x)?f(0)(1??x)?1?lim??1， ?x?0?x?x11故f?(0)?1从而f(x)在(?1,)内可导．则由拉格朗日中值定理知存在??(?1,)使
ee11f()?f(?1)?f?(?)(?1)， ee?ex,x?0ee即f?(?)?，而f?(x)??，所以e??，解得??1?ln(1?e)．
1,x?01?e1?e?例9 设0??????2，证明
??????． ?tan??tan??2cos?cos2?分析 当???时，即证此式中的
1tan??tan?1． ??cos2????cos2?tan??tan?可看成函数f(x)?tanx在区间[?,?]上的改变量与相应自变量的
???改变量之商，故可考虑用拉格朗日中值定理证明．
证明 当???时，不等式中等号成立．
当???时，设f(x)?tanx．由于f(x)在[?,?](0??????2在(?,?)内)上连续，
可导，利用拉格朗日中值定理得
tan??tan?1?，?(0???????)． 2???cos?2因为0????????2，所以
111．从而可得 ??cos2?cos2?cos2?1tan??tan?1， ??cos2????cos2?即
??????．证毕． ?tan??tan??2cos?cos2?注 用中值定理（通常是用拉格朗日中值定理）证明不等式的具体做法：首先选择适当的函数及区间，然后利用中值定理，得到一含有?的等式；其次对等式进行适当地放大或缩小，去掉含有?的项即可．
例10 设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)?f(b)．证明在(a,b)内至少存在一点?，使得f?(?)?0．
证法1 因为f(x)不恒为常数，故至少存在一点x0?(a,b)，使得
f(x0)?f(a)?f(b)．
先设f(x0)?f(a)?f(b)，在[a,x0]?[a,b]上运用拉格朗日中值定理，于是可知存在
??(a,x0)?(a,b)，使得f?(?)?1[f(x0)?f(a)]?0． x0?a若f(x0)?f(a)?f(b)，则在[x0,b]?[a,b]上运用拉格朗日中值定理知，同样可知存在
??(x0,b)?(a,b)，f?(?)?综上所述，命题得证．
1[f(b)?f(x0)]?0． b?x0证法2 反证法．
若不存在这样的点?，则对任意的x?(a,b)，f?(x)?0，所以f(x)在[a,b]上单调不增，而f(a)?f(b)，故f(x)在[a,b]上为常数，与题设矛盾．所以命题得证．证毕．
例11 设函数f(x)在[0,1]上可导，且
0?f(x)?1，f?(x)??1， 证明：方程f(x)?1?x在(0,1)内有唯一的实根．
分析 要证方程f(x)?1?x在(0,1)内有唯一的实根，实际上相当于证明函数
F(x)?f(x)?x?1 有唯一的零点，零点的存在可以根据已知用零点定理或者罗尔定理证明，唯一性可以利用反证法或函数的单调性来证明．
证明 先证存在性．令F(x)?f(x)?x?1，则F(x)在[0,1]内连续，且
F(0)?f(0)?1?0，F(1)?f(1)?0．
由闭区间上连续函数的零点定理知，存在??(0,1)，使F(?即?为方程f(x)?1?x)?0，
的实根．
唯一性（用反证法证）
若f(x)?1?x在(0,1)内有两个不等实根x1，x2(0?x1?x2?1)，即
f(x1)?1?x1，f(x2)?1?x2．
对f(x)在[x1,x2]上利用拉格朗日中值定理，至少存在一点??(x1,x2)?(0,1)，使得
f?(?)?f(x2)?f(x1)(1?x2)?(1?x1)???1．
x2?x1x2?x1这与题设条件f?(x)??1矛盾．唯一性得证．证毕． 注 此题与例6类似．
例12 （05研） 已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?0，f(1)?1． 证明：（1）存在??(0,1)，使得f(?)?1??；
（2）存在两个不同的点?，??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1． 证明 （1）令g(x)?f(x)?x?1，则g(x)在[0,1]上连续，且g(0)??1?0，g(1)?1?0，
故由零点定理知存在??(0,1)，使得g(?)?f(?)???1?0，即f(?)?1??．
（2）由题设及拉格朗日中值定理知，存在??(0,?)，??(?,1)，使得
f?(?)?f?(?)?f(?)?f(0)1??， ???0?f(1)?f(?)1?(1??)?， ??1??1??1??从而f?(?)f?(?)?1????1．证毕．
?1??注 要证在(a,b)内存在?、?，使某种关系式成立的命题，常利用两次拉格朗日中值定理，或两次柯西中值定理，或者柯西中值定理与拉格朗日中值定理并用．
ex?esinx例13 求极限lim．
x?0x?sinx分析 该极限属于
0型，可用洛必达法则，根据题目的特点可用拉格朗日中值定理，0可用导数的定义，也可以将指数差化成乘积后用等价代换．
解法1 用洛必达法则．
ex?esinxex?cosxesinxex?sinxesinx?cos2xesinx ?lim?limlimx?0x?0x?0x?sinx1?cosxsinxex?cosxesinx?sinxcosxesinx?2cosxsinxesinx?cos3xesinx ?lim?1．
x?0cosx解法2 对函数f(x)?ex在区间[sinx,x]（或[x,sinx]）上使用拉格朗日中值定理可
ex?esinx得?e?，其中sinx???x或x???sinx．当x?0时，??0，故 x?sinxex?esinx?lime??1． lim??0x?0x?sinx解法3 用导数的定义．
x?sinxex?esinx?e0ex?sinx?e0eu?e0sinxe?lime?lim?lim?(eu)?|u?0?1． limx?0x?0x?sinxx?sinx?0x?0x?sinx?0u?0u?0sinx?xsixnex?e?1sixne解法4 ，当x?0时， ?ex?sinxx?sinxex?sinx?1x?sinx，