最新版高等数学课后习题答案(复旦大学出版社)(李开复编) 下载本文

f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)1?1?lim?0, x?1?x?1x?1故x?1为不可导点.同理x??1也为不可导点.故选C. 例15 设F(x)?max{f1(x),f2(x)}的定义域为(?1,1),其中 f1(x)?x?1,f2(x)?(x?1)2,

试讨论F(x)的可导性.若可导,求其导数.

分析 本质上F(x)是分段函数即

?f(x),f1(x)?f2(x)F(x)??1,

f(x),f(x)?f(x)?212由此可知需先解出不等式

?f1(x)?f2(x)???1?x?1

与 ??f1(x)?f2(x)??1?x?1.

?x?1?(x?1)2?f1(x)?f2(x)由?即??1?x?1???1?x?1解得?1?x?0,此时F(x)?1?x.

?x?1?(x?1)2?f1(x)?f2(x)而由?即??1?x?1???1?x?1解得0?x?1,此时F(x)?(1?x)2.则有

?1?x?0?1?x,  F(x)?? 2(1?x),  0?x?1?且

?1?x?0?1,    F'(x)??

0?x?1?2(1?x),  当x?0时,

F(x)?F(0)limx?0?x?0x?0(1?x)2?1=xlim=2, ?0?xlim?F(x)?F(0)x?0(1?x)?1=xlim=1, ?0?x

即F?(0)?F?(0),所以F(x)在x?0处不可导.故

???1?x?0?1,   F?(x)??.

2(1?x),  0?x?1?例16 设函数何选择a,b?

??exf(x)????ax?b2x?1,若要f(x)为可导函数,应如x?1解 显然当x?1及x?1时,f(x)可导,故要使f(x)为可导函数,只需使其在x?1处可导.由可导与连续的关系,应该首先选择a,b,使其在x?1连续.因

f(1)?e,f(1?)?e,f(1?)?a?b,

故当a?b?e即b?e?a时,f(x)在x?1连续.又

f(x)?f(1)ex?eex?1?1x2?1f??(1)?lim?lim?elim?elim?2e, x?1?x?1?x?1x?1?x?1x?1?x?1x?1f(x)?f(1)ax?b?eax?(e?a)?ef??(1)?lim?lim?lim?a, x?1?x?1?x?1?x?1x?1x?122因此当a?2e,b??e时,f?(1)存在,从而f(x)为可导函数.

例17 设f(x)?sinx,?(x)?x2.求f[??(x)],f?[?(x)],[f(?(x))]?. 分析 三个函数中都有导数记号,其中f[??(x)]表示函数求得??(x)后再与f复合;?(x)对x求导,f?[?(x)]表示函数f对?(x)求

导,即f(u)对u求导,而u??(x);[f(?(x))]?表示复合函数f[?(x)]关于自变量x求导.

解 f?(x)?cosx,??(x)?2x.则

f[??(x)]=f(2x)=sin2x,f?[?(x)]=cosx2,

以及

[f(?(x))]?=f?[?(x)]???(x)=2xcosx2.

例18 设y?sin2(1?lnx).求dy.

xdx分析 本题既可直接由复合函数求导法则求导,也可利

用微分的形式不变性先求出dy,然后可得dy.

dx解法1 直接由复合函数求导法则,令u?sinv,v?1?lnx,

x则

dydx=dy?du?dv

dudvdx=2u?cosv?lnx2?2

x=lnx2?2?sin2(1?lnx).

xx解法2 利用一阶微分的形式不变性

1?lnx1?lnx1?lnxdy=dsin2()=2sin()dsin()

xxx=2sin(1?lnx)cos(1?lnx)d(1?lnx)=lnx2?2?sin2(1?lnx)dxxxxxx

dydx?21?lnx=lnx2?sin2(). xx

例19 设y?xaaa?ax?aaax,a?0.求dy.

dxa分析 xa为幂函数;ax为指数函数与幂函数复合而成的函数;而aa也为复合函数,它是指数函数与指数函数复合而

x成的函数.

解 dy=(xdxaa)??(ax)??(aa)?=aa?xaaxa?1?(exa?lna)??(eax?lna)?

=a=a

a?xa?xaa?1?ax?lna?(xa)??aa?lna?(ax)?

axaa?1?ax?alna?xa?1?aa?ax?(lna)2

ax=aa?xaa?1?axa?1?ax?lna?(lna)2?aaax?x.

例20 若??(x)存在,y??(sec2x)?arcsinx.求dy.

分析 可以先求出dy,也可利用微分的形式不变性求一

dx阶微分.

解法1 dy=??(sec2x)(sec2x)??dx11?x2=2??(sec2x)?sec2xtanx?11?x2,

所以

dy=[2??(sec2x)?sec2xtanx?11?x2]dx.

解法

dx1?x22

dy=d[?(sec2x)?arcsinx]=d?(sec2x)?darcsinx=??(sec2x)dsec2x?=[2??(sec2x)?sec2xtanx?11?x2]dx.

例21 设f?(cosx)?cos2x.求f??(x). 解法1 在f?(cosx)?cos2x的两边微分,得

f??(cosx)dcosx??2sin2xdx, 即

f??(cosx)?(?sinx)dx??4sinxcosxdx,

化简得

f??(cosx)?4cosx.

令cosx?t,则f??(t)?4t.于是可得

f??(x)?4x,|x|?1.

解法2 由于